Обозначение функций
Одно неверное прочтение пускает под откос всю тему: f(x) как «f умножить на x». Машину с прорезью нельзя ни на что умножить — поэтому картинка сильнее объяснения.
Обновлено
Почти каждый встречает f(x) и читает это как «f умножить на x». И это не небрежность: во всех остальных местах алгебры две вещи, написанные рядом, действительно перемножаются. 2x — да. a(b+c) — да.
Поэтому лечение — не предупреждение, а другая картинка: машина, в которую вы опускаете число.
Обратите внимание на скобки вокруг входа. f(x) — это не f умножить на x, а имя машины и то, что вы в неё положили.
Сначала имя, потом то, что вы в неё положили
Читайте f(3) вслух как «f от 3», а не «f три». Буква f — это имя машины, а скобки держат то, что вошло. Ничего не умножается, потому что машина — не величина.
С этой картинкой запись начинает окупаться. Она хранит два факта в одном символе — что вошло и что вышло, — чего простое y не умеет. Запись y = 7 называет значение; запись f(2) = 7 называет значение и аргумент, который его дал.
Она же позволяет нескольким функциям ужиться на одной странице. Если рядом f и g, то f(2) и g(2) однозначны там, где два y — нет.
Вычисление: подставить, в скобках
Чтобы найти f(3), замените каждый x в правиле на 3 — и поставьте это 3 в скобки.
При f(x) = 2x + 1:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
С положительным числом скобки кажутся излишней придирчивостью. Они перестают казаться такими, как только аргумент отрицателен:
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Без них вы напишете 2 - 2 + 1 и получите 1, что не является ответом ни на что. Одна эта привычка убирает большую часть знаковых ошибок в теме.
Аргументом не обязано быть число. Дайте машине a + 1, и получится f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3 — та же подстановка, только куском вместо цифры.
Каждое значение — это точка
Дайте машине несколько аргументов и выпишите пары:
| x | f(x) | как точка |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Эти пары — координаты, а значит, значения функции складываются в картинку.
Поэтому f(x) = 2x + 1 и y = 2x + 1 чертят одну и ту же прямую. Это одно и то же правило; запись через функцию просто не теряет имя аргумента.
f(7) и f(x) = 7 — противоположные вопросы
На этом различии стоит притормозить.
f(7) даёт машине 7 и спрашивает, что выйдет. Это подстановка, и она занимает одну строку.
f(x) = 7 говорит, что на выходе получилось 7, и спрашивает, что было на входе. Это уравнение, которое надо решить:
Значит, f(4) = 9. Вперёд — это арифметика, назад — алгебра, а запись в обоих направлениях выглядит почти одинаково, — именно поэтому стоит назвать разницу вслух хотя бы раз.
Попробуйте
Если f(x) = 2x + 1, чему равно f(-4)?
Если получилось -3 или 9, дело в скобках: аргумент надо умножить на 2, а не прибавить к ней или вычесть из неё.
Два слова, которые встретятся дальше
Множество аргументов, которые машина принимает, — это её область определения; множество значений, которые она может выдать, — её множество значений. Оба обычно записывают промежутками, и оба — вопросы о самой машине, а не о каком-то одном числе, которое вы в неё положили.
Частые вопросы
- Что значит f(x)?
- Это то, что выдаёт функция с именем f, когда вы даёте ей x. Буква f — имя, как табличка на машине, а скобки держат то, что вы кладёте внутрь. Это не f, умноженное на x: скобки здесь означают «применена к», а не «умножить».
- Как вычислить f(3)?
- Замените каждый x в правиле на 3 — в скобках — и посчитайте. Если f(x) = 2x + 1, то f(3) = 2(3) + 1 = 7. Скобки вокруг числа не дают испортиться отрицательному аргументу: f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, тогда как без них легко написать 2 - 2 + 1.
- Зачем писать f(x), а не y?
- Потому что так видно, какой аргумент дал это значение. С помощью y можно написать y = 5, но не то, что эта 5 получилась из x = 2; запись f(2) = 5 несёт оба факта в одном символе. Кроме того, несколько функций — f, g, h — могут жить на одной странице, не путая свои значения.
- Чем f(x) = 7 отличается от f(7)?
- Это противоположные вопросы. f(7) даёт машине 7 и спрашивает, что выйдет. f(x) = 7 говорит, что на выходе получилось 7, и спрашивает, что было на входе, — то есть нужно решать уравнение, а не подставлять. Путать эти две вещи — вторая по частоте ошибка в теме.
- Можно ли брать другие буквы вместо f и x?
- Да, и придётся. f, g и h — привычные имена функций, x — привычное имя аргумента, но от букв ничего не зависит: g(t) = 3t задаёт функцию g с аргументом t и ведёт себя точно так же. В прикладных задачах буквы обычно выбирают говорящие, например h(t) — высота через t секунд.
Хотите проверить на своих числах?
Решение уравнений Открыть калькулятор