Обозначение функций
Одно неверное прочтение пускает под откос всю тему: f(x) как «f умножить на x». Машину с прорезью нельзя ни на что умножить — поэтому картинка сильнее объяснения.
Обновлено
Почти каждый встречает f(x) и читает это как «f умножить на x». И это не небрежность: во всех остальных местах алгебры две вещи, написанные рядом, действительно перемножаются. 2x — да. a(b+c) — да.
Поэтому лечение — не предупреждение, а другая картинка: машина, в которую вы опускаете число.
Обратите внимание на скобки вокруг входа. f(x) — это не f умножить на x, а имя машины и то, что вы в неё положили.
Сначала имя, потом то, что вы в неё положили
Читайте f(3) вслух как «f от 3», а не «f три». Буква f — это имя машины, а скобки держат то, что вошло. Ничего не умножается, потому что машина — не величина.
С этой картинкой запись начинает окупаться. Она хранит два факта в одном символе — что вошло и что вышло, — чего простое y не умеет. Запись y = 7 называет значение; запись f(2) = 7 называет значение и аргумент, который его дал.
Она же позволяет нескольким функциям ужиться на одной странице. Если рядом f и g, то f(2) и g(2) однозначны там, где два y — нет.
Вычисление: подставить, в скобках
Чтобы найти f(3), замените каждый x в правиле на 3 — и поставьте это 3 в скобки.
При f(x) = 2x + 1:
f(3) = 2(3) + 1 = 7
С положительным числом скобки кажутся излишней придирчивостью. Они перестают казаться такими, как только аргумент отрицателен:
f(-2) = 2(-2) + 1 = -3
Без них вы напишете 2 - 2 + 1 и получите 1, что не является ответом ни на что. Одна эта привычка убирает большую часть знаковых ошибок в теме.
Аргументом не обязано быть число. Дайте машине a + 1, и получится f(a+1) = 2(a+1) + 1 = 2a + 3 — та же подстановка, только куском вместо цифры.
Каждое значение — это точка
Дайте машине несколько аргументов и выпишите пары:
| x | f(x) | как точка |
|---|---|---|
| -2 | -3 | (-2, -3) |
| 0 | 1 | (0, 1) |
| 3 | 7 | (3, 7) |
Эти пары — координаты, а значит, значения функции складываются в картинку.
Поэтому f(x) = 2x + 1 и y = 2x + 1 чертят одну и ту же прямую. Это одно и то же правило; запись через функцию просто не теряет имя аргумента.
f(7) и f(x) = 7 — противоположные вопросы
На этом различии стоит притормозить.
f(7) даёт машине 7 и спрашивает, что выйдет. Это подстановка, и она занимает одну строку.
f(x) = 7 говорит, что на выходе получилось 7, и спрашивает, что было на входе. Это уравнение, которое надо решить:
Значит, f(4) = 9. Вперёд — это арифметика, назад — алгебра, а запись в обоих направлениях выглядит почти одинаково, — именно поэтому стоит назвать разницу вслух хотя бы раз.
Попробуйте
Если f(x) = 2x + 1, чему равно f(-4)?
Если получилось -3 или 9, дело в скобках: аргумент надо умножить на 2, а не прибавить к ней или вычесть из неё.
Два слова, которые встретятся дальше
Множество аргументов, которые машина принимает, — это её область определения; множество значений, которые она может выдать, — её множество значений. Оба обычно записывают промежутками, и оба — вопросы о самой машине, а не о каком-то одном числе, которое вы в неё положили.
Частые вопросы
- Что значит f(x)?
- Это то, что выдаёт функция с именем f, когда вы даёте ей x. Буква f — имя, как табличка на машине, а скобки держат то, что вы кладёте внутрь. Это не f, умноженное на x: скобки здесь означают «применена к», а не «умножить».
- Как вычислить f(3)?
- Замените каждый x в правиле на 3 — в скобках — и посчитайте. Если f(x) = 2x + 1, то f(3) = 2(3) + 1 = 7. Скобки вокруг числа не дают испортиться отрицательному аргументу: f(-2) = 2(-2) + 1 = -3, тогда как без них легко написать 2 - 2 + 1.
- Зачем писать f(x), а не y?
- Потому что так видно, какой аргумент дал это значение. С помощью y можно написать y = 5, но не то, что эта 5 получилась из x = 2; запись f(2) = 5 несёт оба факта в одном символе. Кроме того, несколько функций — f, g, h — могут жить на одной странице, не путая свои значения.
- Чем f(x) = 7 отличается от f(7)?
- Это противоположные вопросы. f(7) даёт машине 7 и спрашивает, что выйдет. f(x) = 7 говорит, что на выходе получилось 7, и спрашивает, что было на входе, — то есть нужно решать уравнение, а не подставлять. Путать эти две вещи — вторая по частоте ошибка в теме.
- Можно ли брать другие буквы вместо f и x?
- Да, и придётся. f, g и h — привычные имена функций, x — привычное имя аргумента, но от букв ничего не зависит: g(t) = 3t задаёт функцию g с аргументом t и ведёт себя точно так же. В прикладных задачах буквы обычно выбирают говорящие, например h(t) — высота через t секунд.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
Хотите проверить на своих числах?
Equation Solver Открыть калькулятор