Что такое прямая наилучшего приближения?

Прямая, проведённая через диаграмму рассеяния, чтобы кратко описать тренд точек. В точном смысле прямая наилучшего приближения есть прямая регрессии по методу наименьших квадратов: из всех возможных прямых та, у которой вертикальные промахи мимо точек, возведённые в квадрат и сложенные, дают наименьшую сумму.

Как найти прямую наилучшего приближения?

Найдите среднее x и среднее y. Угловой коэффициент равен сумме произведений (x минус среднее x) на (y минус среднее y), делённой на сумму квадратов (x минус среднее x). Свободный член равен среднему y минус угловой коэффициент, умноженный на среднее x. Для x = 2, 4, 6, 8, 10 и y = 3, 7, 8, 12, 15 получается угловой коэффициент 58/40 = 1,45 и свободный член 9 минус 1,45 × 6 = 0,3, то есть y = 1,45x + 0,3.

Должна ли прямая наилучшего приближения проходить через начало координат?

Нет. Она проходит через точку средних, а не через начало координат. Прямая, принудительно проведённая через (0, 0), является другой моделью; её используют, только когда есть причина, по которой y обязан быть 0 при x = 0, и обычно она хуже подходит к точкам.

Должна ли прямая наилучшего приближения проходить через какие-то из точек?

Нет, и обычно она не проходит ни через одну. Единственная точка, через которую она проходит всегда, это (среднее x, среднее y), и часто это вовсе не одна из точек данных. Прямая, проведённая так, чтобы задеть как можно больше точек, не является прямой наименьших квадратов.

Чем интерполяция отличается от экстраполяции?

Интерполяция означает прогноз y для x внутри диапазона данных, где прямую поддерживают точки с обеих сторон. Экстраполяция означает прогноз за пределами этого диапазона, где ничто в данных не говорит, что тренд продолжается. При хорошем приближении интерполяции обычно можно доверять; экстраполяция может сильно ошибаться даже при r, близком к 1.

Прямая наилучшего приближения и линейная регрессия одно и то же?

Да, в обычном смысле. Линейная регрессия является методом, а прямая наименьших квадратов, которую он даёт, и есть прямая наилучшего приближения. В школе линию тренда, проведённую на графике на глаз, тоже так называют, но она лишь оценка прямой регрессии, а не сама прямая.

Прямая наилучшего приближения

Через любое облако точек проходит ровно одна прямая, которая промахивается мимо них меньше всех, если мерить методом наименьших квадратов. Подвигайте точки, и она сдвинется, чтобы оставаться лучшей.

Автор: Nethanel Bar, Сооснователь и генеральный директор

Обновлено 23 сентября 2026 г.

Нанесите на график любые реальные данные, и точки откажутся лежать на одной прямой. Через облако всё равно можно провести прямую, передающую тренд, но разные люди с линейками проведут немного разные. Прямая наилучшего приближения решает спор: есть одна прямая, лучшая по точной мере, и формула, которая её находит.

Перетащите любую точку ниже, и прямая сдвинется, чтобы оставаться наилучшей. Оттащите точку далеко от остальных и заметьте, как сильно она тянет прямую к себе.

y = x + 1угловой коэффициент1свободный член1

Перетащите любую точку, и прямая сдвинется, чтобы оставаться наилучшей. Сильнее всего её тянут точки, далёкие от остальных.

Что значит «наилучшая»

Прямая промахивается мимо каждой точки на вертикальное расстояние: фактическое y точки минус y, которое прямая предсказывает при этом x. Это расстояние называется остатком точки. Хорошая прямая должна делать остатки маленькими, но просто сложить их нельзя: промахи выше прямой положительны, промахи ниже отрицательны, и они взаимно уничтожаются.

Поэтому каждый остаток сначала возводят в квадрат: так учитывается каждый промах, а большой промах весит намного больше маленького. Прямая наилучшего приближения делает сумму квадратов остатков настолько маленькой, насколько это возможно. Поэтому её называют прямой наименьших квадратов, и для любого набора точек, у которого не все x одинаковы, она ровно одна.

Две формулы

Запишем прямую как y = mx + b, а средние данных обозначим x̄ и ȳ. Минимизация суммы квадратов сразу даёт угловой коэффициент и свободный член:

m = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / Σ(x - x̄)²

b = ȳ - m x̄

В числителе формулы углового коэффициента стоит та же сумма произведений, что и в числителе коэффициента корреляции, поэтому у углового коэффициента и r всегда одинаковый знак. Знаменатель зависит только от x: он измеряет, насколько разбросаны значения x.

Разобранный пример

Пять точек: x = 2, 4, 6, 8, 10 и y = 3, 7, 8, 12, 15. Среднее x равно 6, среднее y равно 9.

x	y	x - 6	y - 9	произведение	(x - 6)²
2	3	-4	-6	24	16
4	7	-2	-2	4	4
6	8	0	-1	0	0
8	12	2	3	6	4
10	15	4	6	24	16
			сумма	58	40

Угловой коэффициент m = 58/40 = 29/20, то есть 1,45. Чтобы найти свободный член, подставьте точку средних в уравнение прямой и найдите b:

Значит, b = 3/10, и прямая наилучшего приближения y = 1.45x + 0.3. Калькулятор линейной регрессии делает то же самое по формулам с накопленными суммами и показывает каждую сумму.

Она всегда проходит через точку средних

Преобразуйте формулу свободного члена, и получите ȳ = m x̄ + b. Это значит, что точка (x̄, ȳ) лежит ровно на прямой, какими бы ни были данные. В примере 1,45 × 6 + 0,3 = 9.

Это полезная проверка для любой вычисленной прямой и полезное начало, когда проводите её на глаз: сначала отметьте точку средних, затем поворачивайте линейку вокруг неё, пока точки не уравновесятся с обеих сторон.

Но одного прохождения через точку средних мало. Для x = 1, 2, 3, 4, 5 и y = 2, 4, 5, 4, 5 точка средних равна (3, 4), а прямая наименьших квадратов y = 0.6x + 2.2, сумма квадратов остатков 2,4. Прямые y = 0.5x + 2.5 и y = x + 1 тоже проходят через (3, 4), и их суммы квадратов равны 2,5 и 4. Из всех прямых через эту точку только угловой коэффициент 0,6 опускает сумму до 2,4.

Прогноз по прямой

Когда прямая есть, прогноз сводится к подстановке. При y = 1.45x + 0.3 значение x = 7 даёт 1,45 × 7 + 0,3 = 10,45.

Такой прогноз является интерполяцией: 7 лежит внутри данных, между точками при 6 и 8, так что с обеих сторон есть свидетельства, что тренд там сохраняется. Прогноз за пределами диапазона данных является экстраполяцией, и ничто в данных её не подкрепляет.

Конкретный случай. Шесть учеников готовились от 1 до 6 часов и набрали 52, 58, 61, 67, 70 и 76 баллов. Прямая наилучшего приближения y = 162/35x + 47.8, угловой коэффициент около 4,63 балла за час, при r ≈ 0,9959. Внутри данных она предсказывает хорошо: 4,5 часа дают около 68,63. Экстраполируйте на 12 часов, и она предскажет около 103,34 в тесте из 100 баллов. С прямой всё в порядке; просто описываемый ею тренд где-то за пределами данных заканчивается, и прямая не может знать где.

Когда прямая не та форма

Прямая наилучшего приближения существует всегда, даже когда прямая является неправильной моделью. У квадратов 0, 1, 4, 9, 16, 25 при x от 0 до 5 прямая наилучшего приближения y = 5x - 10/3 при r ≈ 0,9599, что звучит отлично, и всё же точки лежат на кривой. Её выдают остатки: положительные на обоих концах и отрицательные в середине. Страница про остатки показывает, как читать такую картину, а калькулятор квадратичной регрессии вместо прямой находит кривую.

Попробуйте сами

Фактическая точка при x = 4 равна (4, 7), так что прямая промахивается мимо неё на 0,9. Этот промах и есть остаток точки, а сумма квадратов всех пяти промахов, 1,9, меньше, чем может дать любая другая прямая для этих точек.

Частые вопросы

Что такое прямая наилучшего приближения?: Прямая, проведённая через диаграмму рассеяния, чтобы кратко описать тренд точек. В точном смысле прямая наилучшего приближения есть прямая регрессии по методу наименьших квадратов: из всех возможных прямых та, у которой вертикальные промахи мимо точек, возведённые в квадрат и сложенные, дают наименьшую сумму.
Как найти прямую наилучшего приближения?: Найдите среднее x и среднее y. Угловой коэффициент равен сумме произведений (x минус среднее x) на (y минус среднее y), делённой на сумму квадратов (x минус среднее x). Свободный член равен среднему y минус угловой коэффициент, умноженный на среднее x. Для x = 2, 4, 6, 8, 10 и y = 3, 7, 8, 12, 15 получается угловой коэффициент 58/40 = 1,45 и свободный член 9 минус 1,45 × 6 = 0,3, то есть y = 1,45x + 0,3.
Должна ли прямая наилучшего приближения проходить через начало координат?: Нет. Она проходит через точку средних, а не через начало координат. Прямая, принудительно проведённая через (0, 0), является другой моделью; её используют, только когда есть причина, по которой y обязан быть 0 при x = 0, и обычно она хуже подходит к точкам.
Должна ли прямая наилучшего приближения проходить через какие-то из точек?: Нет, и обычно она не проходит ни через одну. Единственная точка, через которую она проходит всегда, это (среднее x, среднее y), и часто это вовсе не одна из точек данных. Прямая, проведённая так, чтобы задеть как можно больше точек, не является прямой наименьших квадратов.
Чем интерполяция отличается от экстраполяции?: Интерполяция означает прогноз y для x внутри диапазона данных, где прямую поддерживают точки с обеих сторон. Экстраполяция означает прогноз за пределами этого диапазона, где ничто в данных не говорит, что тренд продолжается. При хорошем приближении интерполяции обычно можно доверять; экстраполяция может сильно ошибаться даже при r, близком к 1.
Прямая наилучшего приближения и линейная регрессия одно и то же?: Да, в обычном смысле. Линейная регрессия является методом, а прямая наименьших квадратов, которую он даёт, и есть прямая наилучшего приближения. В школе линию тренда, проведённую на графике на глаз, тоже так называют, но она лишь оценка прямой регрессии, а не сама прямая.