Деление дробей

Почти всем для этого дают одну и ту же подсказку - перевернуть и умножить - и почти никому не говорят, почему она работает. Жаль, потому что причина проще самого правила и делает невозможным применить его наоборот.

Начните с того, что деление на самом деле спрашивает: сколько таких уложится в это? Двенадцать делить на 3 равно 4, потому что четыре тройки укладываются в 12. С дробями то же самое, и их можно посчитать.

Посчитайте части - и переворот появится сам

Полоса - это целое. Бледная закраска - первая дробь, то, что вы делите. Пронумерованные блоки - вторая дробь, приложенная вдоль полосы один за другим, а числа - это счёт.

При начальных значениях вы спрашиваете, сколько восьмых укладывается в три четверти. Появляется шесть блоков, значит:

(3/4)/(1/8) = 6

Теперь посмотрите, что такое счёт восьмых. В каждом целом их 8, поэтому спросить, сколько восьмых в чём-то содержится, - значит спросить, во сколько раз это больше одной восьмой, а это умножение на 8:

(3/4)/(1/8) = 3/4 * 8/1 = 24/4 = 6

Вот и переворот. Делить на дробь с 8 внизу - значит умножать на 8, потому что в каждой единице их 8. Превратить 1/8 в 8/1 - не фокус над числами, а переписанный вопрос.

У перевёрнутой дроби есть имя - обратная, и правило целиком звучит так: делить на дробь - значит умножать на обратную ей.

Переворачивается только вторая

Подвигайте ползунки так, чтобы вторая дробь стала больше первой, и счёт упадёт ниже 1 - последний блок станет пунктирным, потому что уложится только его часть. Эта неполная часть и есть причина, по которой ответ - дробь, а не целое число, а ещё это хорошая проверка того, какую дробь вы перевернули.

Деление несимметрично, поэтому порядок важен:

(3/4)/(1/2) = 3/4 * 2/1 = 3/2

(1/2)/(3/4) = 1/2 * 4/3 = 2/3

Те же две дроби, разные ответы. Перевернув не ту, вы получите обратную величину к верному ответу - ошибка, которая хорошо прячется: обе выглядят как правдоподобные дроби. Произнесённый вслух пример это лечит: число, на которое вы делите, и есть то, что переворачивается.

Целые числа, в обе стороны

Целое число - это дробь над 1, поэтому делить на 5 - значит умножать на 1/5:

(2/3)/5 = 2/3 * 1/5 = 2/15

именно это и должно получиться, если разделить две трети между пятью людьми: что-то маленькое. Обратное направление тоже стоит проделать:

6/(1/3) = 6 * 3/1 = 18

Восемнадцать третей в шести целых. Всякий раз, когда результат деления выходит больше исходного, проверьте, не делили ли вы на что-то меньше 1: если делили, больший ответ верен, а не является промахом.

Смешанное число сначала становится неправильным

2 + 1/2, делённое на 3/4, - это не «2 делить на что-то». Запишите смешанное число как 5/2, и в нём не останется ничего особенного:

(5/2)/(3/4) = 5/2 * 4/3 = 20/6 = 10/3

Попробуйте

(2/3)/(4/9)

Если получилось 8/27, вы перевернули первую дробь вместо второй. Если получилось 2/3 умножить на 4/9, вы не перевернули ничего: замена деления на умножение и переворот всегда происходят вместе.