Треугольник 30-60-90
Лишь у двух треугольников отношения сторон достаточно точны, чтобы их записать, — и потому только их и решают в уме. Оба получаются, если разрезать пополам знакомую фигуру.
Обновлено
У любого прямоугольного треугольника есть отношения между сторонами. Почти у всех это некрасивые десятичные дроби, требующие калькулятора. Ровно у двух — короткие точные выражения, которые можно записать, и потому они всплывают в задаче за задачей.
Переключайтесь между ними ниже и меняйте размер.
Подвигайте ползунок. Все стороны меняются, а три угла — нет; поэтому одно запомненное отношение решает треугольник любого размера.
Откуда берётся 30-60-90
Начните с равностороннего треугольника: три равные стороны, три угла по 60°. Разрежьте его ровно посередине, от верхней вершины к середине основания.
Разрез перпендикулярен основанию, значит, у вас прямой угол. Один из углов в 60° у основания уцелел. Верхний угол в 60° разделён пополам и стал 30°. Это и есть ваш треугольник 30-60-90 — и получился он из фигуры, стороны которой вы уже знали.
Теперь считайте стороны. Если у равностороннего треугольника сторона была 2, то гипотенуза половинки по-прежнему 2, а основание уменьшилось до 1. Высота следует из Пифагора:
h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, значит, h = sqrt(3).
Стороны 1, sqrt(3) и 2 — вот отношение, и оно точное, потому что пришло из точного построения, а не из измерения.
Какая сторона где
Правило, которое предотвращает большинство ошибок: большая сторона лежит против большего угла.
| угол | сторона | длина |
|---|---|---|
| 30° | короткий катет | x |
| 60° | длинный катет | x√3 |
| 90° | гипотенуза | 2x |
Так что гипотенуза вдвое длиннее короткой стороны, а не длинной. И поскольку sqrt(3) примерно 1,73, длинный катет оказывается между двумя другими — это быстрая проверка любого написанного ответа.
45-45-90 — это разрезанный пополам квадрат
Тот же приём, другая фигура. Возьмите квадрат со стороной 1 и разрежьте по диагонали. Оба оставшихся угла — 45°, катеты равны, а диагональ — гипотенуза:
d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, значит, d = sqrt(2).
Отношение 1 : 1 : sqrt(2). Этот треугольник появляется всюду, где есть квадраты: диагонали экранов, плитка, шахматные доски.
Как найти недостающую сторону
Всегда возвращайтесь к короткой стороне, а потом масштабируйте.
Дана гипотенуза. Треугольник 30-60-90 с гипотенузой 14: делим пополам, короткая сторона равна 7, длинный катет — 7sqrt(3).
Дан длинный катет. Треугольник 30-60-90 с длинным катетом 9: делим на sqrt(3), короткая сторона равна 3sqrt(3), значит, гипотенуза — 6sqrt(3).
Дан катет треугольника 45-45-90. Второй катет ему равен, а гипотенуза — этот катет, умноженный на sqrt(2).
Двигайте ползунок на фигуре, пока читаете это: арифметика выше — просто те же показания при трёх разных размерах.
Попробуйте
У треугольника 30-60-90 короткая сторона равна 6. Чему равен его длинный катет?
Оставьте 6sqrt(3), а не 10,39. Точная форма — это то, с чем может работать следующий шаг задачи, и то, что ищет проверяющий.
Точные значения тригонометрических функций получаются сами
Поскольку у этих двух треугольников стороны точные, у них точные синусы и косинусы — и именно оттуда берутся числа в любой таблице единичной окружности:
| угол | sin | cos |
|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 |
| 45° | √2/2 | √2/2 |
| 60° | √3/2 | 1/2 |
Три различных значения на всю первую четверть, а 30° и 60° — та же пара, только переставленная, чего и следует ожидать от одного треугольника, прочитанного от двух его острых углов.
Частые вопросы
- Каковы стороны треугольника 30-60-90?
- Они относятся как 1 : √3 : 2. Самая короткая сторона лежит против угла в 30 градусов, самая длинная — гипотенуза, ровно вдвое длиннее короткой, а оставшаяся сторона — короткая, умноженная на корень из 3. Такие пропорции имеет любой треугольник 30-60-90, какого бы он ни был размера.
- Откуда берётся отношение 30-60-90?
- Разрежьте равносторонний треугольник пополам по высоте. Один из углов в 60 градусов у основания сохраняется, верхний угол в 60 делится пополам и становится 30, а разрез даёт прямой угол. Основание тоже делится пополам, поэтому короткая сторона ровно вдвое меньше исходной стороны — отсюда и гипотенуза вдвое длиннее короткой. Высота дальше следует из теоремы Пифагора.
- Каковы стороны треугольника 45-45-90?
- Они относятся как 1 : 1 : √2. Его катеты равны, потому что равны два угла по 45 градусов, а гипотенуза — катет, умноженный на корень из 2. Это теорема Пифагора для квадрата, разрезанного по диагонали, — ведь именно им этот треугольник и является.
- Как найти недостающую сторону в особом треугольнике?
- Сначала вернитесь к короткой стороне, потом масштабируйте. Если дана гипотенуза треугольника 30-60-90, разделите её пополам — получите короткую сторону; если дан длинный катет, разделите его на корень из 3. Когда короткая сторона известна, две другие равны ей, умноженной на корень из 3 и на 2.
- Зачем это запоминать, если есть калькулятор?
- Потому что эти ответы точные, а у калькулятора — нет. Калькулятор выдаёт 8,660254 там, где на самом деле 5√3, а следующему шагу нужно именно точное значение: сократить, упростить или оставить ответ в радикалах. К тому же экзамены постоянно используют эти два треугольника как раз потому, что их можно решить без калькулятора.
