SOHCAHTOA
«Противолежащий» и «прилежащий» — свойства не стороны, а стороны относительно угла. Почти любая ошибка в SOHCAHTOA — это непонятая до конца одна эта фраза.
Обновлено
SOHCAHTOA — хорошая мнемоника для того, что обычно уже наполовину известно, и она ничего не делает с тем, что действительно идёт не так. Ошибка почти никогда не в буквах. Она в том, что «противолежащий» и «прилежащий» восприняли как надписи, нарисованные на треугольнике, тогда как они целиком зависят от того, у какого угла вы стоите.
Измените треугольник ниже, затем переключите отмеченный угол с A на B — и посмотрите, как подписи меняются местами, а ни одна линия не сдвинулась.
Переключите отмеченный угол. Треугольник не сдвинулся, но противолежащий и прилежащий поменялись местами — вот почему этим двум словам всегда нужен угол рядом.
Называйте стороны от угла, а не от листа
Гипотенуза — простая: всегда самая длинная сторона, всегда напротив прямого угла, и она не меняется, из какого бы острого угла вы ни смотрели.
Две другие меняются:
- противолежащий катет — тот, который не касается вашего угла;
- прилежащий катет — тот, который касается.
Вот и всё правило именования, и потому у фигуры есть переключатель A/B. В треугольнике 3-4-5 сторона длины 4 противолежит одному углу и прилежит другому. Спрашивать, «является ли 4 противолежащим», — вопрос без ответа, пока не назван угол.
Три отношения
Когда стороны названы, мнемоника наконец что-то значит:
| отношение | это | мнемоника |
|---|---|---|
| синус | противолежащий к гипотенузе | SOH |
| косинус | прилежащий к гипотенузе | CAH |
| тангенс | противолежащий к прилежащему | TOA |
Два из них используют гипотенузу; тангенс — исключение и не использует её вовсе. Это часто самый быстрый способ выбрать: если гипотенузы в задаче нет нигде, вам нужен тангенс.
Почему размер не имеет значения
Вот факт, который вообще делает тригонометрию возможной. Удвойте все стороны прямоугольного треугольника — углы не изменятся, и ни одно отношение тоже, потому что удвоение сокращается:
(2*3)/(2*5) = 3/5
Значит, синус угла — свойство угла, а не какого-то конкретного треугольника. Именно поэтому может существовать таблица синусов и поэтому калькулятор отвечает, не спрашивая ни о чьих размерах.
Подвигайте два ползунка на фигуре, сохраняя их отношение — 3 и 4, затем 6 и 8, — и увидите, что три показания не сдвинутся.
Как выбрать нужное отношение
Метод всегда один и тот же, в три шага.
- Отметьте угол, затем подпишите от него три стороны.
- Посмотрите, какие две стороны участвуют в задаче: одна известна, другая нужна.
- Возьмите отношение, построенное из этих двух.
Лестница длиной 10 метров прислонена под углом 65° к земле; на какую высоту она достаёт? Лестница — гипотенуза, высота — сторона, противолежащая углу, значит противолежащий и гипотенуза — это синус: sin(65°) = h/10, откуда h = 10sin(65°).
Ни на одном шаге этого рассуждения не пришлось вспоминать формулу для лестниц.
Попробуйте
У прямоугольного треугольника катеты 6 и 8, значит его гипотенуза равна 10. Чему равен синус угла, противолежащего катету длиной 6?
Если получилось 6/8, гипотенузу перепутали с катетом — ровно та ошибка, ради предотвращения которой слово «гипотенуза» и существует.
Куда идти дальше
Отсюда два направления. Некоторые углы дают точные отношения вовсе без калькулятора — треугольники 30-60-90 и 45-45-90, — и их стоит знать наизусть. Дальше единичная окружность берёт те же три отношения и освобождает их от треугольника, так что они продолжают что-то значить и после 90 градусов.
Частые вопросы
- Что означает SOHCAHTOA?
- Синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему. Это мнемоника для трёх отношений в прямоугольном треугольнике, и работает она лишь тогда, когда известно, какая сторона считается противолежащей, а какая прилежащей, — а это зависит от выбранного угла.
- Какая сторона противолежащая, а какая прилежащая?
- Сначала выберите угол. Гипотенуза — всегда самая длинная сторона, всегда напротив прямого угла, и она не меняется. Из двух оставшихся сторон та, что не касается вашего угла, — противолежащая, а та, что касается, — прилежащая. Перейдите ко второму острому углу — и эти две поменяются местами.
- Как понять, что брать: синус, косинус или тангенс?
- Подпишите три стороны относительно вашего угла и посмотрите, какие две участвуют в задаче. Если речь о противолежащем катете и гипотенузе — это синус; о прилежащем и гипотенузе — косинус; о двух катетах без гипотенузы — тангенс. Выбор зависит от того, что дано и что нужно, а не от формы треугольника.
- Почему отношение не меняется, когда треугольник больше?
- Потому что при увеличении все стороны умножаются на один и тот же множитель, и любое отношение двух сторон остаётся прежним — множитель сокращается сверху и снизу. Два прямоугольных треугольника с одинаковыми углами подобны, поэтому синус 30 градусов — одно и то же число в треугольнике размером с монету и размером с поле.
- Работает ли SOHCAHTOA без прямого угла?
- Нет. Все три отношения определяются через прямоугольный треугольник, поэтому треугольнику без прямого угла нужны другие инструменты: теорема синусов или теорема косинусов. Обычный приём — провести высоту и разбить его на два прямоугольных, и именно так обе теоремы и выводятся.
Теперь сделайте это сами, по-настоящему
Прочитать чужое решение — не то же самое, что уметь решать. Курс математики Coddy сажает вас за доску, которая проверяет каждый ваш шаг, так что вы узнаёте, как на самом деле обстоят дела.
