Bảng độ lệch từng hàng một, đúng phần mà bài kiểm tra chấm điểm.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Lấy một dãy số và trung bình của nó. Mỗi giá trị nằm cách trung bình một khoảng nào đó, và độ lệch chuẩn đại khái là độ lớn điển hình của các khoảng cách ấy. Nó không thể là trung bình cộng đơn thuần của chúng, vì các khoảng cách phía trên và phía dưới trung bình luôn triệt tiêu nhau đúng bằng 0. Vì vậy mỗi khoảng cách được bình phương trước, các bình phương được lấy trung bình, và phép khai căn cuối cùng hóa giải phép bình phương để đáp án trở về đơn vị ban đầu.
Đó là toàn bộ công thức, và phần bạn thực sự được chấm điểm là phần giữa: bảng gồm mỗi giá trị trừ đi trung bình, và bình phương của từng hiệu đó. Trang này in đầy đủ bảng đó, cùng tổng mà cả hai phương sai đem chia. Các máy tính khác in ra sigma rồi dừng, mà đó lại là phần duy nhất học sinh có thể tự tính bằng điện thoại.
Có hai số chia, và sự khác biệt này quan trọng. Chia tổng cho n khi các số của bạn CHÍNH LÀ toàn bộ nhóm, tức tổng thể. Chia cho n − 1 khi chúng là một mẫu đại diện cho thứ gì đó lớn hơn, vì trung bình của mẫu nằm hơi quá gần các giá trị của chính nó, và chia cho số nhỏ hơn một đơn vị sẽ bù lại điều đó. Cả hai luôn được hiển thị ở đây, để số chia là lựa chọn của bạn chứ không phải của trang.
Cộng tất cả các giá trị rồi chia cho số lượng giá trị. Giữ nó chính xác: nếu trung bình là 7/3, đừng viết 2.33, vì sai số đó sắp bị bình phương.
Đây là các độ lệch. Có cái âm, điều đó không sao; để kiểm tra, tổng của chúng phải đúng bằng 0.
Bình phương loại bỏ dấu và làm các khoảng cách lớn có trọng số lớn hơn. Cộng các bình phương lại: tổng đó là tổng bình phương độ lệch.
Chia cho n nếu các giá trị này là toàn bộ nhóm bạn quan tâm; chia cho n − 1 nếu chúng là một mẫu lấy từ thứ gì đó lớn hơn. Kết quả là phương sai.
Đó là độ lệch chuẩn. Nó có cùng đơn vị với dữ liệu ban đầu, điều mà phương sai không có.
Cùng các số với cả hai số chia. Để ý khoảng cách giữa hai đáp án thu hẹp khi dãy số dài ra.
| Giá trị | Trung bình | Tổng bình phương | σ (tổng thể) | s (mẫu) |
|---|---|---|---|---|
| 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 | 5 | 32 | 2 | 2.138 |
| 1, 2, 3, 4 | 2.5 | 5 | 1.118 | 1.291 |
| 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16 | 18 | 210 | 5.123 | 5.477 |
| 3, 3, 3 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 1, 2, 4 | 7/3 | 14/3 | 1.106 | 1.528 |
| 5, 15 | 10 | 50 | 5 | 7.071 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 6 | 40 | 2.828 | 3.162 |
| 100, 100, 100, 200 | 125 | 7500 | 43.301 | 50 |
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Tám giá trị có tổng 40, nên trung bình là 5. Các độ lệch là −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4 (tổng bằng 0, đúng như phải thế), và tổng bình phương của chúng là 32. Chia cho n = 8 được phương sai 4, và căn bậc hai đúng bằng 2. Nếu coi là mẫu thì là 32/7, cho khoảng 2.138.
1, 2, 3, 4Trung bình là 2.5 và tổng bình phương là 5. Chia cho 4, phương sai là 5/4 và độ lệch chuẩn là √5/2 ≈ 1.118; chia cho 3 thì là 5/3 và khoảng 1.291. Đáp án theo mẫu luôn lớn hơn, vì trung bình của mẫu bám hơi quá sát các giá trị của chính nó.
1, 2, 4Trung bình là 7/3, không phải 2.33. Các độ lệch là −4/3, −1/3 và 5/3, bình phương của chúng là 16/9, 1/9 và 25/9, tổng là 14/3. Làm tròn trung bình trước sẽ vứt bỏ một chữ số ngay cả trước khi bình phương bắt đầu, vì vậy mỗi hàng của bảng ở đây đều là phân số.
3, 3, 3Mọi độ lệch đều bằng 0, nên tổng bình phương bằng 0 và độ lệch chuẩn cũng vậy. Đó là cách duy nhất để độ lệch chuẩn bằng 0: không phải "các số nhỏ" mà là "mọi giá trị đều như nhau".
100, 100, 100, 200Ba giá trị trùng khớp hoàn toàn, một giá trị thì không, và độ lệch chuẩn khoảng 43, lớn hơn một phần tư toàn bộ khoảng biến thiên. Chính việc bình phương khoảng cách đã cho giá trị xa đó trọng số lớn như vậy, và đó là lý do thước đo này giỏi phát hiện giá trị ngoại lai.
Ở số chia. Độ lệch chuẩn tổng thể chia tổng bình phương cho n, vì các giá trị là toàn bộ nhóm. Độ lệch chuẩn mẫu chia cho n − 1, vì trung bình của mẫu nằm hơi quá gần các giá trị của chính nó và chia cho số nhỏ hơn một đơn vị sẽ bù lại điều đó. Đáp án theo mẫu luôn lớn hơn.
Nếu các số của bạn là tất cả những gì bạn quan tâm, như điểm của cả lớp hay chiều cao của cả sáu đứa trẻ, hãy dùng công thức tổng thể. Nếu chúng là một mẫu được chọn để đại diện cho thứ gì đó lớn hơn, hãy dùng n − 1. Phần lớn bài tập thống kê yêu cầu độ lệch chuẩn mẫu, và phần lớn đề thi nói rõ cần loại nào.
Tìm trung bình, lấy mỗi giá trị trừ đi trung bình, bình phương từng hiệu, cộng các bình phương, chia cho n (hoặc n − 1), rồi khai căn bậc hai. Trang này in toàn bộ bảng đó để bạn so từng hàng với bài làm của mình, không chỉ con số cuối cùng.
Vì nếu không, tổng của chúng luôn đúng bằng 0: các khoảng cách dương và âm triệt tiêu nhau theo định nghĩa của trung bình. Bình phương loại bỏ dấu, đồng thời cho các khoảng cách lớn trọng số lớn hơn, vì vậy một giá trị ngoại lai ở xa làm độ lệch chuẩn thay đổi nhiều như thế.
Phương sai là trung bình của các độ lệch bình phương; độ lệch chuẩn là căn bậc hai của nó. Đơn vị của phương sai được bình phương, như kilôgam bình phương hay centimét vuông, rất khó diễn giải, nên người ta khai căn để đưa đáp án về đơn vị của dữ liệu.
Không bao giờ âm: nó là căn bậc hai của trung bình các bình phương. Chỉ bằng 0 khi mọi giá trị giống hệt nhau, vì đó là trường hợp duy nhất không có khoảng cách nào tới trung bình để đo. Nếu bạn ra số âm, một dấu đã bị bỏ sót ở đâu đó trong bảng.
Đại khái một giá trị điển hình nằm cách trung bình bao xa. Với dữ liệu có phân phối hình chuông, khoảng hai phần ba giá trị nằm trong phạm vi một độ lệch chuẩn quanh trung bình và khoảng 95% nằm trong phạm vi hai độ lệch chuẩn, nhờ vậy nó trở thành thước đo chuẩn cho câu hỏi "giá trị này có bất thường không?"
Vì đó là các đáp án chính xác. Trung bình của 1, 2 và 4 là 7/3, và mọi bình phương dựa trên 2.33 thay vào đó đều hơi sai. Số thập phân được đưa ra bên cạnh giá trị chính xác chứ không thay thế nó, và được ghi chú là giá trị gần đúng mỗi khi căn là số vô tỷ.
