Đường cong y = a·bˣ khớp với dữ liệu tăng trưởng hoặc suy giảm, kèm tốc độ mỗi bước.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Một đường thẳng cộng thêm cùng một lượng sau mỗi bước của x. Nhiều thứ lại nhân lên theo cùng một hệ số: tiền gửi lãi kép, một đĩa nuôi cấy vi khuẩn, lượng pin còn lại, chênh lệch nhiệt độ giữa cốc nước đang nguội và căn phòng. Quy luật đó là y = a·bˣ, trong đó a là giá trị tại x = 0 và b là hệ số nhân sau mỗi bước. Nếu b lớn hơn 1 thì đại lượng tăng, nếu b nằm giữa 0 và 1 thì nó giảm, và (b trừ 1) tính theo phần trăm là tốc độ mỗi bước.
Cách khớp chuẩn là lấy logarit tự nhiên của mọi y. Nếu y = a·bˣ thì ln y = ln a + x·ln b, là một đường thẳng theo x. Vì vậy phương pháp này khớp một đường thẳng bình phương tối thiểu thông thường với các điểm (x, ln y), đọc ln b từ hệ số góc và ln a từ tung độ gốc, rồi bỏ logarit đi. Đây chính là việc lệnh ExpReg trên TI-84 và đường xu hướng mũ trong Excel làm, và trang này cho thấy mọi giai đoạn: cột ln y, đường thẳng đã khớp và hai phép lũy thừa đưa a và b trở lại.
Vì logarit là số vô tỉ, đây là máy tính hồi quy duy nhất trong bộ công cụ cho đáp án là số thập phân đã làm tròn thay vì phân số chính xác, và nó ghi rõ điều đó cạnh kết quả. Nó cũng cần mọi y lớn hơn 0, vì logarit của 0 hay của số âm không tồn tại. r² hiển thị là r² của đường thẳng khớp với ln y, chính là con số mà máy tính đồ thị báo cáo.
Thay mỗi y bằng ln y. Với x = 0, 1, 2, 3, 4 và y = 3, 6, 12, 24, 48, cột mới xấp xỉ 1,0986, 1,7918, 2,4849, 3,1781 và 3,8712.
Dùng công thức bình phương tối thiểu thông thường để tính hệ số góc và tung độ gốc trên các điểm (x, ln y). Ở đây hệ số góc khoảng 0,6931 và tung độ gốc khoảng 1,0986.
Hệ số góc là ln b và tung độ gốc là ln a, nên b = e mũ hệ số góc và a = e mũ tung độ gốc. Ở đây b ≈ e^0,6931 = 2 và a ≈ e^1,0986 = 3.
y ≈ 3·2ˣ, hoặc y ≈ 3e^(0,6931x) ở cơ số e. b = 2 nghĩa là mỗi bước nhân y với 2: tăng 100% mỗi bước, và thời gian nhân đôi đúng bằng một bước.
Mỗi hàng là một bộ dữ liệu nhập vào máy tính ở trên. Mọi giá trị được làm tròn đến bốn chữ số thập phân.
| Giá trị x | Giá trị y | Đường cong khớp nhất | Thay đổi mỗi bước | r² của ln y |
|---|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3, 4 | 3, 6, 12, 24, 48 | y ≈ 3 · 2ˣ | +100% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 100, 82, 67, 55, 45, 37 | y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ | -18,05% | 1,0000 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36 | y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ | +103,13% | 0,9999 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625 | y ≈ 1000 · 1,05ˣ | +5% | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 5, 4, 3, 2, 1 | y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ | -32,38% | 0,9473 |
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 3, 6, 12, 24, 48Mỗi y gấp đôi y trước nó, nên các điểm nằm đúng trên y = 3·2ˣ và máy tính trả về a ≈ 3 và b ≈ 2, tăng 100% mỗi bước, với r² = 1. Ở cơ số e, cùng đường cong đó là y ≈ 3e^(0,6931x), và 0,6931 chính là ln 2. Kéo dài đến x = 6, nó dự đoán 3·2⁶ = 192.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 100, 82, 67, 55, 45, 37Hiểu y là chênh lệch nhiệt độ so với căn phòng, đo mỗi năm phút. Phép khớp là y ≈ 99,9517 · 0,8195ˣ, hay y ≈ 99,9517e^(-0,1991x): khoảng 18,05% chênh lệch mất đi mỗi bước, và chu kỳ bán rã là ln 2 / 0,1991, khoảng 3,48 bước. Phép khớp logarit gần như hoàn hảo: r² bằng 0,99999 với năm chữ số thập phân, và máy tính làm tròn thành 1.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2.1, 4.3, 8.9, 17.5, 36Các giá trị gần như gấp đôi sau mỗi bước nhưng không hoàn toàn chính xác. Phép khớp là y ≈ 1,0413 · 2,0313ˣ, tăng khoảng 103,13% mỗi bước, với r² ≈ 0,9999 trên thang logarit. Ở cơ số e, k ≈ 0,7087, nên thời gian nhân đôi là ln 2 / 0,7087, khoảng 0,98 bước.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 1000, 1050, 1102.5, 1157.625, 1215.50625Số dư 1000 với lãi suất 5% mỗi năm. Máy tính tìm lại được y ≈ 1000 · 1,05ˣ, thay đổi +5% mỗi bước, với r² = 1. Tìm lại lãi suất từ một danh sách số dư chính là việc mà phép khớp này dùng để làm.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 5, 4, 3, 2, 1Các điểm này giảm cùng một lượng sau mỗi bước, nên chúng nằm trên một đường thẳng, y = -x + 5. Phép khớp hàm mũ vẫn trả về y ≈ 5,6968 · 0,6762ˣ với r² ≈ 0,9473 trên thang logarit, trông khá ổn. Vẽ đường cong cùng các điểm thì thấy nó lệch ở cả hai đầu: đường thẳng mới là mô hình đúng ở đây, và hồi quy tuyến tính khớp chính xác với nó.
Lấy logarit tự nhiên của mọi y, khớp một đường thẳng bình phương tối thiểu thông thường với các điểm (x, ln y), rồi bỏ logarit: b là e mũ hệ số góc và a là e mũ tung độ gốc. Với y = 3, 6, 12, 24, 48 tại x từ 0 đến 4, đường thẳng có hệ số góc 0,6931 và tung độ gốc 1,0986, cho b = 2 và a = 3, nên y = 3·2ˣ.
a là giá trị của y khi x = 0, và b là hệ số mà y được nhân lên mỗi khi x tăng 1. b lớn hơn 1 là tăng trưởng, b nằm giữa 0 và 1 là suy giảm. Tốc độ mỗi bước là (b trừ 1) tính theo phần trăm: b = 1,05 là +5%, b = 0,8195 là khoảng -18,05%.
Khớp đường cong và đọc b. Máy tính in ra mức thay đổi sau mỗi bước của x dưới dạng phần trăm: +103,13% cho ví dụ nhân đôi có nhiễu trên trang này, -18,05% cho cốc cà phê đang nguội. Nếu x đo bằng năm thì đó là tốc độ hằng năm.
Chỉ khác về cách viết. Chúng là cùng một đường cong với k = ln b, nên b = eᵏ. Dạng cơ số e phổ biến trong khoa học vì k là tốc độ liên tục, và ln 2 / |k| cho ngay thời gian nhân đôi hoặc chu kỳ bán rã.
Vì phương pháp này lấy logarit, và logarit của một số nguyên gần như luôn là số vô tỉ. Máy tính hồi quy tuyến tính và hồi quy bậc hai trong bộ công cụ cho phân số chính xác; máy tính này cho giá trị làm tròn đến bốn chữ số thập phân và ghi rõ là gần đúng.
Đáp án phải khớp với ExpReg của TI-84 và đường xu hướng mũ của Excel, vì cả hai đều khớp ln y bằng bình phương tối thiểu, chỉ sai khác do làm tròn. Phần mềm khớp trực tiếp y bằng bình phương tối thiểu phi tuyến thì tối thiểu hóa một đại lượng khác và cho a, b hơi khác, vì nó coi trọng sai lệch ở các giá trị lớn nhất hơn cả.
Không. Phương pháp lấy logarit của mọi y, mà ln 0 và logarit của số âm không tồn tại. Dù sao đường cong y = a·bˣ với a dương luôn nằm trên 0, nên dữ liệu chạm tới 0 không đi theo một đường cong như vậy.
