지구가 사람을 끌어당기는 힘
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, r = 6371 km먼저 단위를 바꿉니다: 1 M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg, 6371 km = 6.371 × 10⁶ m. F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N입니다. 이것이 그 사람의 무게입니다. 70 · 9.81 = 686.7 N으로, 반올림 오차 안에서 같습니다.
만유인력 계산기
뉴턴의 만유인력 법칙으로 구하는 두 질량 사이의 인력.
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뉴턴의 만유인력 법칙과 그 의미
모든 질량은 다른 모든 질량을 끌어당깁니다. 뉴턴의 만유인력 법칙은 그 힘의 크기를 F = Gm₁m₂/r²로 나타냅니다. m₁과 m₂는 두 질량(킬로그램), r은 두 중심 사이의 거리(미터), G는 중력 상수 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²입니다. 힘의 단위는 뉴턴이며, 두 질량에 같은 크기로 서로를 향해 작용합니다.
G가 아주 작아서 일상 물체 사이의 인력은 느낄 수 없을 만큼 약합니다. 1 m 떨어진 70 kg인 두 사람은 서로 약 3.3 × 10⁻⁷ N으로 끌어당깁니다. 느낄 만한 힘이 생기려면 행성만 한 질량이 필요합니다. 거리는 제곱으로 들어가므로 이 법칙은 역제곱 법칙입니다. 거리가 두 배가 되면 힘은 4분의 1로, 세 배가 되면 9분의 1로 줄어듭니다.
계산기는 F, m₁, m₂, r 중 비워 둔 값에 대해 법칙을 풉니다. 질량은 킬로그램, 톤, 지구 질량(M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg), 태양 질량(M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg)으로, 거리는 미터, 킬로미터, 천문단위(1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m)로 넣을 수 있습니다. 각 값은 먼저 SI 단위로 바꾸고 그 변환도 따로 한 단계로 보여 주므로, 10의 거듭제곱 대신 지구 질량 1과 6371 km를 그대로 넣으면 됩니다.
눈여겨볼 점
- F = Gm₁m₂/r²는 질량이 킬로그램, r이 미터일 때만 뉴턴으로 답을 줍니다. G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²는 우주 어디에서나 같습니다.
- r은 중심에서 중심까지 잽니다. 땅 위에 선 사람이라면 0이 아니라 지구 반지름, 약 6371 km입니다.
- 역제곱 법칙입니다. 두 배 멀어지면 힘은 4분의 1, 열 배 멀어지면 100분의 1이 됩니다.
- 힘의 크기는 두 질량에서 같습니다. 지구가 나를 687 N으로 당기면 나도 지구를 687 N으로 당깁니다. 지구는 훨씬 움직이기 어려울 뿐입니다.
- 지표면에서 이 법칙은 무게 W = mg와 같은 답을 줍니다. G에 지구 질량을 곱하고 반지름의 제곱으로 나누면 약 9.8 m/s²입니다.
- 거꾸로 거리를 구하려면 제곱근이 필요합니다: r = √(Gm₁m₂/F).
만유인력 계산하는 방법
두 질량을 킬로그램으로
지구 질량 1은 5.9722 × 10²⁴ kg, 태양 질량 1은 1.98847 × 10³⁰ kg, 1톤은 1000 kg입니다. 계산기에서는 이 단위를 직접 고를 수도 있습니다.
두 중심 사이의 거리를 미터로
킬로미터는 1000을 곱하고, 1 AU는 1.495978707 × 10¹¹ m입니다. 행성 표면에 있는 물체는 행성 반지름을, 그 위에 있다면 반지름에 높이를 더한 값을 쓰세요.
거리를 제곱한 뒤 나누기
F = G · m₁ · m₂ / r²입니다. G에 두 질량을 곱한 뒤 r²으로 나누세요. 지구와 70 kg인 사람이라면 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N입니다.
답을 뉴턴으로 읽기
아주 크거나 아주 작은 힘은 10의 거듭제곱으로 나옵니다. 태양과 지구 사이의 인력은 약 3.54 × 10²² N입니다.
실제 두 물체 사이의 만유인력
G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²로 F = Gm₁m₂/r²를 계산해 반올림한 값입니다. 거리는 모두 중심에서 중심까지이고, 사람은 70 kg입니다.
| 두 물체 | 질량 | 거리 r | 힘 |
|---|---|---|---|
| 1 kg짜리 두 질량 | 1 kg과 1 kg | 1 m | 6.67 × 10⁻¹¹ N |
| 두 사람 | 70 kg과 70 kg | 1 m | 3.27 × 10⁻⁷ N |
| 사람과 머리 위의 달 | 70 kg과 7.342 × 10²² kg | 378,029 km | 0.0024 N |
| 사람과 태양 | 70 kg과 1 M☉ | 1 AU | 0.415 N |
| 땅 위의 사람과 지구 | 70 kg과 1 M⊕ | 6,371 km | 687 N |
| ISS 높이의 사람과 지구 | 70 kg과 1 M⊕ | 6,771 km | 609 N |
| 지구와 달 | 1 M⊕과 7.342 × 10²² kg | 384,400 km | 1.98 × 10²⁰ N |
| 태양과 지구 | 1 M☉과 1 M⊕ | 1 AU | 3.54 × 10²² N |
풀이 예제
지구와 달
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 7.342 × 10²² kg, r = 384,400 kmr = 3.844 × 10⁸ m로 놓으면 F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 7.342 × 10²² / (3.844 × 10⁸)² = 1.98 × 10²⁰ N입니다. 이 인력이 달을 궤도에 붙잡아 두고, 같은 크기로 달이 지구를 당기는 힘이 밀물과 썰물을 일으킵니다.
태양과 지구
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m₁ = 1 M☉, m₂ = 1 M⊕, r = 1 AU1 M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg, 1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m입니다. F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 1.98847 × 10³⁰ · 5.9722 × 10²⁴ / (1.496 × 10¹¹)² = 3.54 × 10²² N입니다.
중심에서 두 배 먼 곳
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m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, F = 171.86 Nr 칸을 비워 두세요. r = √(Gm₁m₂/F) = √(6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / 171.86) = 1.274 × 10⁷ m, 약 12,742 km로 지구 반지름의 두 배입니다. 중심에서 두 배 먼 곳에서는 지표면의 687 N의 4분의 1이 됩니다.
1 m 떨어진 두 사람
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m₁ = 70 kg, m₂ = 70 kg, r = 1 mF = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² = 3.27 × 10⁻⁷ N으로, 약 0.03 mg인 먼지 한 톨의 무게입니다. 일상 물체 사이의 중력은 실제로 있지만 느끼기에는 너무 약합니다.
자주 하는 실수
- r을 중심이 아니라 표면에서 재는 것. 400 km 높이의 인공위성은 지구 중심에서 6371 + 400 = 6771 km 떨어져 있고, 이 값이 r입니다.
- 거리를 제곱하지 않는 것. r² 대신 r로 나누면 행성만 한 물체에서는 답이 수백만 배 크게 나옵니다.
- 공식에 킬로미터를 넣는 것. G의 단위가 N·m²/kg²이므로 r은 미터여야 합니다. km를 쓰면 힘이 100만 배 크게 나옵니다.
- G를 잘못 입력하는 것. G는 6.6743 × 10⁻¹¹로 지수가 음수입니다. 6.6743e11로 넣으면 10²²배 어긋납니다.
- 질량이 큰 쪽이 더 큰 힘을 받는다고 생각하는 것. 두 질량은 같은 크기의 힘을 받습니다. 가벼운 쪽이 더 크게 가속될 뿐입니다.
- G와 g를 헷갈리는 것. G는 보편 상수 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²이고, g는 어느 한 장소의 가속도로 지표면에서 9.81 m/s²입니다.
만유인력 FAQ
만유인력 공식은 무엇인가요?
F = Gm₁m₂/r², 뉴턴의 만유인력 법칙입니다. m₁과 m₂는 킬로그램 단위의 질량, r은 미터 단위의 두 중심 사이 거리, G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²입니다. 힘은 뉴턴으로 나옵니다.
중력 상수 G란 무엇인가요?
G는 어디서나 중력의 세기를 정하는 상수로, 계산기가 쓰는 CODATA 값은 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²입니다. 1 m 떨어진 1 kg짜리 두 질량 사이에 작용하는 힘을 뉴턴으로 나타낸 값입니다.
만유인력으로 거리를 어떻게 구하나요?
공식을 r = √(Gm₁m₂/F)로 정리하세요. G에 두 질량을 곱하고 힘으로 나눈 뒤 제곱근을 구하면 됩니다. 답은 두 중심 사이의 거리입니다.
만유인력으로 질량을 어떻게 구하나요?
모르는 질량에 대해 m₁ = Fr² / (Gm₂)로 정리하세요. 힘에 거리의 제곱을 곱한 뒤 G와 다른 질량의 곱으로 나눕니다. 그 질량 칸을 비워 두면 계산기가 해 줍니다.
r은 왜 중심에서 재나요?
둥근 행성이나 별은 모든 질량이 중심에 모여 있는 것처럼 끌어당깁니다. 그래서 지구 위에 있거나 지구 위를 나는 물체의 r은 지구 반지름 6371 km에 땅에서의 높이를 더한 값입니다.
역제곱 법칙이란 무엇인가요?
공식에서 r이 제곱으로 들어가기 때문에 힘이 거리의 제곱에 반비례해 줄어든다는 뜻입니다. 거리가 두 배가 되면 힘은 4분의 1, 세 배가 되면 9분의 1입니다.
만유인력과 무게는 같은 건가요?
네, 무게는 지구가 나에게 작용하는 만유인력입니다. 지표면 근처에서는 같은 답을 주는 W = mg가 더 간단합니다. 70 kg 곱하기 9.81 m/s²는 687 N이고, G 곱하기 지구 질량 곱하기 70 kg을 반지름의 제곱으로 나눠도 687 N입니다.
일상 물체 사이의 인력은 왜 느껴지지 않나요?
G가 아주 작기 때문입니다. 1 m 떨어진 70 kg인 두 사람은 약 3.3 × 10⁻⁷ N으로 서로 끌어당깁니다. 느낄 만큼 큰 힘이 생기려면 행성만 한 질량이 필요합니다.
