반감기가 세 번 지난 탄소-14
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N₀ = 100, t = 17,190년, t½ = 5,730년t/t½ = 17,190 / 5,730 = 3입니다. N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12.5입니다. 100 g으로 시작하면 12.5 g이, 100%로 시작하면 12.5%가 남습니다.
반감기 계산기
방사성 붕괴 뒤 남은 양, 걸린 시간, 또는 반감기.
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반감기 공식과 그 의미
방사성 시료는 반감기 t½가 정하는 빠르기로 붕괴합니다. 반감기는 원자의 절반이 붕괴하는 데 걸리는 시간입니다. 처음 양이 얼마든 반감기가 한 번 지나면 절반, 두 번이면 4분의 1, 세 번이면 8분의 1이 남습니다. 공식은 N = N₀(½)^(t/t½)이며, N₀은 처음 양, N은 남은 양, t는 지난 시간입니다.
지수 t/t½는 반감기가 몇 번 지났는지를 세며, 정수가 아니어도 됩니다. 거꾸로 시간을 구하려면 밑이 2인 로그를 씁니다: t = t½ · log₂(N₀/N). 80 g이 10 g이 되었다면 N₀/N = 8, log₂ 8 = 3이므로 반감기가 세 번 지난 것입니다. 반감기는 양과 상관없습니다. 아이오딘-131은 1그램이든 1톤이든 8.02일마다 절반이 됩니다.
계산기는 남은 양, 처음 양, 시간, 반감기 네 값 중 비워 둔 값에 대해 공식을 풉니다. 두 양은 그램, 원자 수, 백분율, 방사능의 베크렐 등 어떤 단위든 되지만, 두 양이 같은 단위여야 합니다. 시간은 초, 분, 시간, 일, 년(여기서 1년은 365.25일)으로 넣을 수 있고, 시간과 반감기의 단위가 달라도 됩니다. 둘 다 먼저 초로 바꾸며, 답은 고른 단위와 다른 단위로 함께 보여 줍니다.
눈여겨볼 점
- 반감기가 1, 2, 3, 4, 5번 지나면 남는 비율은 50%, 25%, 12.5%, 6.25%, 3.125%입니다. 반감기마다 처음 양이 아니라 남은 양이 절반이 됩니다.
- 공식에서 붕괴는 결코 0에 이르지 않습니다. 반감기가 10번 지나면 약 0.1%, 20번 지나면 약 100만 분의 1이 남습니다.
- 두 양은 N₀/N이라는 비로만 나오므로 단위가 약분됩니다. 질량, 원자 수, 백분율, 베크렐 단위의 방사능 모두 두 양이 같은 단위라면 쓸 수 있습니다.
- 시간과 반감기는 나누기 전에 같은 단위여야 합니다. 24시간과 반감기 6.01시간이면 24 / 6.01 = 3.99번의 반감기입니다.
- 붕괴 상수는 λ = ln 2 / t½이며, 단위 시간당 붕괴하는 비율입니다. N = N₀e^(−λt)는 같은 법칙을 ½ 대신 e로 쓴 것입니다.
반감기 문제 푸는 방법
아는 값 적기
처음 양 N₀, 남은 양 N, 시간 t, 반감기 t½ 네 값 중 세 값입니다.
시간과 반감기를 같은 단위로
시간은 시간끼리, 년은 년끼리 맞추세요. 2일은 48시간이고, 1년은 365.25일입니다.
남은 양은 ½을 t/t½제곱하기
N = N₀ · (½)^(t/t½)입니다. 탄소-14 100 g이 17,190년 지나면 17,190 / 5,730 = 3이고, 100 · (½)³ = 12.5 g입니다.
시간은 밑이 2인 로그로
t = t½ · log₂(N₀/N)입니다. 100%에서 25%까지는 log₂ 4 = 2번의 반감기이고, 탄소-14라면 2 · 5,730 = 11,460년입니다. log₂가 없는 계산기에서는 log₂ x = ln x / ln 2를 쓰세요.
잘 알려진 동위 원소의 반감기
반올림한 표준값입니다. 몇 분에서 수십억 년까지 다양하기 때문에 계산기는 초부터 년까지의 시간을 받습니다.
| 동위 원소 | 반감기 | 볼 수 있는 곳 |
|---|---|---|
| 플루오린-18 | 110분 | PET 검사 |
| 테크네튬-99m | 6.01시간 | 의료 영상에서 가장 많이 쓰는 추적자 |
| 라돈-222 | 3.82일 | 암석에서 지하실로 스며드는 기체 |
| 아이오딘-131 | 8.02일 | 갑상선 치료 |
| 폴로늄-210 | 138일 | 알파선 선원 |
| 코발트-60 | 5.27년 | 방사선 치료, 의료 기구 멸균 |
| 수소-3 (삼중수소) | 12.3년 | 빛나는 비상구 표지와 시계 문자판 |
| 세슘-137 | 30.1년 | 체르노빌과 후쿠시마의 낙진 |
| 라듐-226 | 1,600년 | 옛 야광 도료 |
| 탄소-14 | 5,730년 | 방사성 탄소 연대 측정 |
| 플루토늄-239 | 24,100년 | 원자로 |
| 우라늄-235 | 7억 400만 년 | 핵연료 |
| 칼륨-40 | 12억 5천만 년 | 바나나, 사람의 몸, 암석 연대 측정 |
| 우라늄-238 | 44억 7천만 년 | 지구에서 가장 오래된 암석의 연대 측정 |
풀이 예제
두 번의 측정으로 반감기 구하기
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N₀ = 80, N = 10, t = 24일반감기에 대해 정리합니다: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8일. 아이오딘-131의 8.02일에 가깝습니다. 반감기 칸의 단위를 일로 정하면 답이 8로 나오고, 초, 시간, 년으로도 함께 보여 줍니다.
4분의 1이 남기까지 걸리는 시간
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N₀ = 1, N = 0.25, t½ = 8일t = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16일입니다. 4분의 1은 절반이 두 번 된 것이므로 시간은 반감기의 두 배입니다.
하루가 지난 의료용 추적자
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6.01 h테크네튬-99m: t/t½ = 24 / 6.01 = 3.993번의 반감기로 정수가 아니지만 괜찮습니다. N = 100 · (½)^3.993 = 6.28이므로 하루 뒤에는 투여량의 6.28%가 남습니다.
탄소 연대 측정
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5,730년살아 있는 조직에 비해 탄소-14가 25%만 남은 뼈: t = 5,730 · log₂(100 / 25) = 5,730 · 2 = 11,460년 전의 것입니다.
자주 하는 실수
- 반감기가 두 번 지나면 모두 사라진다고 생각하는 것. 처음 반감기에 절반이, 다음에는 남은 양의 절반이 사라집니다. 두 번이면 25%, 세 번이면 12.5%가 남습니다.
- 절반으로 나누는 대신 빼는 것. 반감기마다 양에 ½이 곱해지며, 매번 같은 양만큼 줄어드는 것이 아닙니다.
- 시간과 반감기의 단위가 다른데 그대로 나누는 것. 24시간을 반감기 8.02일로 나누려면 먼저 1일 나누기 8.02일로 바꿔야 합니다.
- 두 양에 서로 다른 단위를 쓰는 것. N은 그램, N₀은 백분율이면 비가 의미 없습니다. 둘 다 그램, 둘 다 원자 수, 또는 둘 다 백분율이어야 합니다.
- N₀/N에 ln이나 log₁₀을 취하고 ln 2나 log₁₀ 2로 나누는 것을 잊는 것. 시간은 t½ · log₂(N₀/N)이며, log₂ x = ln x / ln 2입니다.
- N과 N₀을 바꿔 쓰는 것. 처음 양이 더 큰 값입니다. 붕괴가 일어났다면 N₀/N은 1보다 큽니다.
반감기 FAQ
반감기 공식은 무엇인가요?
N = N₀(½)^(t/t½)입니다. N₀은 처음 양, N은 시간 t가 지난 뒤 남은 양, t½는 반감기입니다. 지수 t/t½는 지난 반감기의 횟수입니다.
반감기는 어떻게 계산하나요?
처음 양과 정해진 시간이 지난 뒤의 양을 잰 다음 t½ = t / log₂(N₀/N)을 쓰세요. 24일 동안 80에서 10으로 줄었다면 log₂ 8 = 3이므로 반감기는 24 / 3 = 8일입니다.
반감기로 시간을 어떻게 구하나요?
t = t½ · log₂(N₀/N)을 쓰세요. 로그는 절반이 된 횟수를 셉니다. 100%에서 12.5%까지는 log₂ 8 = 3번의 반감기이므로, 반감기가 5,730년이라면 시간은 17,190년입니다.
반감기가 3번 지나면 얼마가 남나요?
8분의 1, 12.5%입니다. 반감기마다 남은 양이 절반이 됩니다. 한 번이면 50%, 두 번이면 25%, 세 번이면 12.5%, 네 번이면 6.25%, 다섯 번이면 3.125%입니다.
양에 그램, 원자 수, 백분율을 써도 되나요?
네. 공식은 두 양의 비만 쓰므로 남은 양과 처음 양이 같은 단위라면 어떤 단위든 됩니다. 베크렐 단위의 방사능도 같은 반감기로 줄어들기 때문에 쓸 수 있습니다.
붕괴 상수란 무엇인가요?
붕괴 상수 λ는 단위 시간당 붕괴하는 원자의 비율이며, λ = ln 2 / t½입니다. 탄소-14라면 0.693 / 5,730 = 1.21 × 10⁻⁴ /년입니다. 그러면 법칙을 N = N₀e^(−λt)로 쓸 수 있습니다.
탄소 연대 측정은 반감기를 어떻게 쓰나요?
생물은 살아 있는 동안 탄소-14를 받아들여 공기와 같은 비율을 유지합니다. 죽으면 탄소-14는 5,730년의 반감기로 붕괴합니다. 남은 비율을 재면 t = 5,730 · log₂(N₀/N)이 나이를 알려 줍니다. 25%가 남았다면 11,460년입니다.
