Pearsons r aus deinen Daten, exakt als Wurzel, mit seiner Stärke und dem Rechenweg dahinter.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Der Korrelationskoeffizient r ist eine einzige Zahl zwischen -1 und 1. Sein Vorzeichen ist die Richtung des Trends: positiv, wenn y tendenziell mit x steigt, negativ, wenn es tendenziell fällt. Sein Betrag sagt, wie eng sich die Punkte an eine Gerade schmiegen: 1 oder -1, wenn jeder Punkt auf einer Geraden liegt, 0, wenn es überhaupt keinen linearen Trend gibt. Er hat keine Einheit, ändert sich also nicht, wenn du x in Zentimetern statt in Metern misst.
Die Rechnung ist genau die, die ein Statistikkurs sehen will. Leg eine Tabelle mit x, y, xy, x² und y² an, addiere jede Spalte und setz die Summen in r = (nΣxy minus ΣxΣy) geteilt durch die Wurzel aus (nΣx² minus (Σx)²) mal (nΣy² minus (Σy)²) ein. Diese Seite druckt diese Tabelle und die ausgefüllte Formel unter die Antwort, die Zahl kommt also mit ihrem Rechenweg.
Das Ergebnis ist exakt. Das Quadrat von r ist bei Daten, die du eintippen kannst, immer ein Bruch, also ist r selbst die Wurzel aus einem Bruch mit einem Vorzeichen davor, und genau das druckt diese Seite: √15/5 für den Lehrbuch-Datensatz statt 0,77, was nur zwei Stellen davon sind. Die Dezimalzahl steht neben dem Wurzelausdruck, und die Einordnung der Stärke liest sie an den Schwellen ab, die unten stehen.
Schreib für jeden Punkt x, y, xy, x² und y² auf, addiere dann jede Spalte und zähle die Punkte. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 und Σy² = 86.
nΣxy minus ΣxΣy = 5 × 66 minus 15 × 20 = 30. Sein Vorzeichen ist das Vorzeichen von r.
nΣx² minus (Σx)² = 275 minus 225 = 50 und nΣy² minus (Σy)² = 430 minus 400 = 30. Beide sind immer positiv, außer alle x oder alle y sind gleich.
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. Als Dezimalzahl ist das etwa 0,7746, eine starke positive Korrelation.
Die Einordnungen sind die, die dieser Rechner ausgibt. r² ist r mal sich selbst, das Vorzeichen verschwindet also.
| r | Einordnung | r² | So sieht das Streudiagramm aus |
|---|---|---|---|
| 1 | perfekt positiv | 1 | Jeder Punkt auf einer steigenden Geraden |
| 0.9 | stark positiv | 0.81 | Ein schmales Band, das nach rechts ansteigt |
| 0.7 | stark positiv | 0.49 | Ein deutliches Band nach oben mit etwas Streuung |
| 0.5 | mäßig positiv | 0.25 | Ein Trend nach oben mit viel Streuung |
| 0.2 | schwach positiv | 0.04 | Eine Neigung, die du ohne die Zahl übersehen würdest |
| 0.05 | keine lineare Korrelation | 0.0025 | Eine formlose Wolke oder eine Kurve |
| -0.8 | stark negativ | 0.64 | Ein deutliches Band, das nach rechts abfällt |
| -1 | perfekt negativ | 1 | Jeder Punkt auf einer fallenden Geraden |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Der Zähler der Formel ist 30, die Klammern im Nenner sind 50 und 30, also r = 30 / √1500 = √15/5, etwa 0,7746. r² = 0,6 exakt. Die Einordnung ist stark positiv, und die Ausgleichsgerade ist y = 0,6x + 2,2.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2Der Zähler ist -168, die Klammern sind 105 und 296, also r = -168 / √31080 = -2√7770/185, etwa -0,9529. r² = 168/185, etwa 0,9081. Wenn x steigt, fällt y verlässlich; der eine Punkt, der das Muster bricht, (3, 9), reicht nicht, um das stark abzuschwächen.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, etwa 0,3536, und r² = 0,125, eine Gerade erklärt also ein Achtel der Streuung von y. Die Einordnung ist schwach positiv: Es gibt eine Neigung nach oben, aber ein Streudiagramm zeigt vor allem Rauschen.
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4Jeder Punkt liegt auf y = x², und trotzdem ist r = 0 exakt. Der Zähler der Formel ist 5 × 0 minus 0 × 10 = 0: Die fallende linke Hälfte hebt die steigende rechte auf. r misst nur lineare Zusammenhänge, deshalb kommt das Streudiagramm zuerst.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0Das ist der Lehrbuch-Datensatz mit einem zusätzlichen Punkt bei (10, 0). r fällt von etwa 0,7746 auf -52√8845/8845, etwa -0,5529: Der eine Punkt liegt weit genug draußen, um das Vorzeichen umzudrehen. Es geht auch in die andere Richtung: x = 1 bis 5 mit y = 3, 1, 4, 1, 5 hat r ≈ 0,3536, und der zusätzliche Punkt (12, 12) hebt es auf etwa 0,9084.
Leg eine Tabelle mit x, y, xy, x² und y² für jeden Punkt an und addiere jede Spalte. Dann ist r = (nΣxy minus ΣxΣy) / √((nΣx² minus (Σx)²)(nΣy² minus (Σy)²)). Für x = 1 bis 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ist das 30 / √(50 × 30) = √15/5, etwa 0,7746. Füge oben deine eigenen Spalten ein, und die Seite füllt die Formel genauso aus.
Dieser Rechner nennt |r| ab 0,7 stark, 0,4 bis unter 0,7 mäßig, 0,1 bis unter 0,4 schwach und unter 0,1 keine lineare Korrelation. Das sind verbreitete Lehrbuchgrenzen, keine allgemeingültigen: Im Physiklabor kann 0,9 enttäuschen, in den Sozialwissenschaften kann 0,4 ein bemerkenswertes Ergebnis sein.
r hat ein Vorzeichen, r² nicht. r nennt Richtung und Stärke; r² nennt den Anteil der Streuung von y, den die Ausgleichsgerade erklärt. r = 0,7746 ergibt r² = 0,6, die Gerade erklärt also 60 % der Streuung und lässt 40 % als Streuung um die Gerade übrig.
Nein. r liegt immer zwischen -1 und 1 und erreicht eines der beiden Enden nur, wenn jeder Punkt auf einer Geraden liegt. Ein Ergebnis über 1 heißt, dass eine Summe falsch ist, meistens Σx², berechnet als (Σx)².
Nein. Sie heißt, dass sich beide in diesen Daten gemeinsam bewegen. Ein dritter Faktor kann beide antreiben, so wie heißes Wetter sowohl den Eisverkauf als auch Badeunfälle steigen lässt, oder die Ursache läuft andersherum. Eine Ursache zu zeigen braucht ein Experiment oder ein Argument über den Mechanismus.
Pearsons r, der übliche Korrelationskoeffizient, der misst, wie gut eine Gerade zu den Werten selbst passt. Der Koeffizient nach Spearman wendet dieselbe Formel stattdessen auf die Ränge der Werte an; dadurch misst er jeden stetig steigenden oder fallenden Zusammenhang und reagiert weniger empfindlich auf Ausreißer.
Weil das sein exakter Wert ist. r² ist bei Daten, die du eintippen kannst, immer ein Bruch, also ist r die Wurzel aus diesem Bruch mit einem Vorzeichen: √15/5 für den Lehrbuch-Datensatz. Die Dezimalzahl 0,7746 steht als Näherung daneben, und an ihr liest die Einordnung der Stärke ab.
Hier mindestens drei. Bei zwei Punkten ist r immer 1 oder -1, weil durch zwei Punkte immer eine Gerade geht, die Zahl sagt also nichts über die Daten. Auch bei wenigen Punkten kann r stark schwanken, nimm ein r aus fünf Punkten also nur als grobe Einschätzung.
