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Korrelationskoeffizient-Rechner

Pearsons r aus deinen Daten, exakt als Wurzel, mit seiner Stärke und dem Rechenweg dahinter.

Von Nethanel Bar, Mitgründer & CEO

Zuletzt aktualisiert

Willst du das ohne Rechner lösen können?

Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.

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r misst, wie eng Punkte einer Geraden folgen

Der Korrelationskoeffizient r ist eine einzige Zahl zwischen -1 und 1. Sein Vorzeichen ist die Richtung des Trends: positiv, wenn y tendenziell mit x steigt, negativ, wenn es tendenziell fällt. Sein Betrag sagt, wie eng sich die Punkte an eine Gerade schmiegen: 1 oder -1, wenn jeder Punkt auf einer Geraden liegt, 0, wenn es überhaupt keinen linearen Trend gibt. Er hat keine Einheit, ändert sich also nicht, wenn du x in Zentimetern statt in Metern misst.

Die Rechnung ist genau die, die ein Statistikkurs sehen will. Leg eine Tabelle mit x, y, xy, x² und y² an, addiere jede Spalte und setz die Summen in r = (nΣxy minus ΣxΣy) geteilt durch die Wurzel aus (nΣx² minus (Σx)²) mal (nΣy² minus (Σy)²) ein. Diese Seite druckt diese Tabelle und die ausgefüllte Formel unter die Antwort, die Zahl kommt also mit ihrem Rechenweg.

Das Ergebnis ist exakt. Das Quadrat von r ist bei Daten, die du eintippen kannst, immer ein Bruch, also ist r selbst die Wurzel aus einem Bruch mit einem Vorzeichen davor, und genau das druckt diese Seite: √15/5 für den Lehrbuch-Datensatz statt 0,77, was nur zwei Stellen davon sind. Die Dezimalzahl steht neben dem Wurzelausdruck, und die Einordnung der Stärke liest sie an den Schwellen ab, die unten stehen.

So liest du r

  • Das Vorzeichen ist die Richtung, der Betrag die Stärke. r = -0,95 ist ein stärkerer Zusammenhang als r = 0,6; er läuft nur in die andere Richtung.
  • Diese Seite nennt |r| ab 0,7 stark, 0,4 bis unter 0,7 mäßig, 0,1 bis unter 0,4 schwach und unter 0,1 keine lineare Korrelation. Das ist eine verbreitete Konvention, keine Regel; jedes Fachgebiet setzt seine eigenen Grenzen.
  • r² ist der Anteil der Streuung von y, den die Ausgleichsgerade erklärt. r = √15/5 ergibt r² = 0,6: Die Gerade erklärt 60 % der Streuung.
  • r misst nur lineare Zusammenhänge. Punkte, die genau auf y = x² von x = -2 bis 2 liegen, haben r = 0.
  • Ein einziger Ausreißer kann r völlig verändern. Nimm den Punkt (10, 0) zum Lehrbuch-Datensatz dazu, und r fällt von etwa 0,7746 auf etwa -0,5529.
  • r ändert sich nicht, wenn du eine der Variablen umskalierst oder x und y vertauschst. Die Ausgleichsgerade ändert sich beim Vertauschen; r nicht.

So berechnest du den Korrelationskoeffizienten von Hand

  1. Leg die Summentabelle an

    Schreib für jeden Punkt x, y, xy, x² und y² auf, addiere dann jede Spalte und zähle die Punkte. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 und Σy² = 86.

  2. Berechne den Zähler

    nΣxy minus ΣxΣy = 5 × 66 minus 15 × 20 = 30. Sein Vorzeichen ist das Vorzeichen von r.

  3. Berechne die zwei Klammern im Nenner

    nΣx² minus (Σx)² = 275 minus 225 = 50 und nΣy² minus (Σy)² = 430 minus 400 = 30. Beide sind immer positiv, außer alle x oder alle y sind gleich.

  4. Teile und vereinfache

    r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. Als Dezimalzahl ist das etwa 0,7746, eine starke positive Korrelation.

r auf einen Blick lesen

Die Einordnungen sind die, die dieser Rechner ausgibt. r² ist r mal sich selbst, das Vorzeichen verschwindet also.

rEinordnungr²So sieht das Streudiagramm aus
1perfekt positiv1Jeder Punkt auf einer steigenden Geraden
0.9stark positiv0.81Ein schmales Band, das nach rechts ansteigt
0.7stark positiv0.49Ein deutliches Band nach oben mit etwas Streuung
0.5mäßig positiv0.25Ein Trend nach oben mit viel Streuung
0.2schwach positiv0.04Eine Neigung, die du ohne die Zahl übersehen würdest
0.05keine lineare Korrelation0.0025Eine formlose Wolke oder eine Kurve
-0.8stark negativ0.64Ein deutliches Band, das nach rechts abfällt
-1perfekt negativ1Jeder Punkt auf einer fallenden Geraden

Gerechnete Beispiele

Der Lehrbuch-Datensatz

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Der Zähler der Formel ist 30, die Klammern im Nenner sind 50 und 30, also r = 30 / √1500 = √15/5, etwa 0,7746. r² = 0,6 exakt. Die Einordnung ist stark positiv, und die Ausgleichsgerade ist y = 0,6x + 2,2.

Eine starke negative Korrelation

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2

Der Zähler ist -168, die Klammern sind 105 und 296, also r = -168 / √31080 = -2√7770/185, etwa -0,9529. r² = 168/185, etwa 0,9081. Wenn x steigt, fällt y verlässlich; der eine Punkt, der das Muster bricht, (3, 9), reicht nicht, um das stark abzuschwächen.

Eine schwache Korrelation

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5

r = √2/4, etwa 0,3536, und r² = 0,125, eine Gerade erklärt also ein Achtel der Streuung von y. Die Einordnung ist schwach positiv: Es gibt eine Neigung nach oben, aber ein Streudiagramm zeigt vor allem Rauschen.

Ein perfekter Zusammenhang mit r = 0

plain
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4

Jeder Punkt liegt auf y = x², und trotzdem ist r = 0 exakt. Der Zähler der Formel ist 5 × 0 minus 0 × 10 = 0: Die fallende linke Hälfte hebt die steigende rechte auf. r misst nur lineare Zusammenhänge, deshalb kommt das Streudiagramm zuerst.

Was ein einzelner Ausreißer anrichtet

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0

Das ist der Lehrbuch-Datensatz mit einem zusätzlichen Punkt bei (10, 0). r fällt von etwa 0,7746 auf -52√8845/8845, etwa -0,5529: Der eine Punkt liegt weit genug draußen, um das Vorzeichen umzudrehen. Es geht auch in die andere Richtung: x = 1 bis 5 mit y = 3, 1, 4, 1, 5 hat r ≈ 0,3536, und der zusätzliche Punkt (12, 12) hebt es auf etwa 0,9084.

Häufige Fehler

  • Die Summe quadrieren statt die Quadrate zu summieren. Σx² ist für x = 1 bis 5 gleich 55; (Σx)² ist 225. Wer beides verwechselt, kann ein r über 1 bekommen, was unmöglich ist.
  • r = 0 als „kein Zusammenhang“ lesen. Es heißt „kein linearer Zusammenhang“; die Punkte können trotzdem genau auf einer Kurve liegen.
  • Ein starkes r als Beleg für eine Ursache nehmen. Zwei Größen können gemeinsam steigen, weil eine dritte beide antreibt, oder rein zufällig.
  • r-Werte nach dem Vorzeichen vergleichen. -0,9 ist stärker als 0,6. Vergleiche die Beträge und lies das Vorzeichen getrennt als Richtung.
  • r angeben, ohne das Diagramm anzusehen. Ein Ausreißer kann das Vorzeichen umdrehen, und hinter einem hohen Wert kann sich eine Kurve verstecken.
  • r runden und dann quadrieren. r ≈ 0,77 ergibt 0,5929, aber r² ist für den Lehrbuch-Datensatz genau 0,6. Quadriere den exakten Wert.

Häufige Fragen zum Korrelationskoeffizienten

Wie berechne ich den Korrelationskoeffizienten?
Leg eine Tabelle mit x, y, xy, x² und y² für jeden Punkt an und addiere jede Spalte. Dann ist r = (nΣxy minus ΣxΣy) / √((nΣx² minus (Σx)²)(nΣy² minus (Σy)²)). Für x = 1 bis 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ist das 30 / √(50 × 30) = √15/5, etwa 0,7746. Füge oben deine eigenen Spalten ein, und die Seite füllt die Formel genauso aus.
Ab wann ist ein Korrelationskoeffizient stark?
Dieser Rechner nennt |r| ab 0,7 stark, 0,4 bis unter 0,7 mäßig, 0,1 bis unter 0,4 schwach und unter 0,1 keine lineare Korrelation. Das sind verbreitete Lehrbuchgrenzen, keine allgemeingültigen: Im Physiklabor kann 0,9 enttäuschen, in den Sozialwissenschaften kann 0,4 ein bemerkenswertes Ergebnis sein.
Was ist der Unterschied zwischen r und r²?
r hat ein Vorzeichen, r² nicht. r nennt Richtung und Stärke; r² nennt den Anteil der Streuung von y, den die Ausgleichsgerade erklärt. r = 0,7746 ergibt r² = 0,6, die Gerade erklärt also 60 % der Streuung und lässt 40 % als Streuung um die Gerade übrig.
Kann der Korrelationskoeffizient größer als 1 sein?
Nein. r liegt immer zwischen -1 und 1 und erreicht eines der beiden Enden nur, wenn jeder Punkt auf einer Geraden liegt. Ein Ergebnis über 1 heißt, dass eine Summe falsch ist, meistens Σx², berechnet als (Σx)².
Heißt eine hohe Korrelation, dass das eine das andere verursacht?
Nein. Sie heißt, dass sich beide in diesen Daten gemeinsam bewegen. Ein dritter Faktor kann beide antreiben, so wie heißes Wetter sowohl den Eisverkauf als auch Badeunfälle steigen lässt, oder die Ursache läuft andersherum. Eine Ursache zu zeigen braucht ein Experiment oder ein Argument über den Mechanismus.
Ist das die Korrelation nach Pearson oder nach Spearman?
Pearsons r, der übliche Korrelationskoeffizient, der misst, wie gut eine Gerade zu den Werten selbst passt. Der Koeffizient nach Spearman wendet dieselbe Formel stattdessen auf die Ränge der Werte an; dadurch misst er jeden stetig steigenden oder fallenden Zusammenhang und reagiert weniger empfindlich auf Ausreißer.
Warum steht r als Quadratwurzel da?
Weil das sein exakter Wert ist. r² ist bei Daten, die du eintippen kannst, immer ein Bruch, also ist r die Wurzel aus diesem Bruch mit einem Vorzeichen: √15/5 für den Lehrbuch-Datensatz. Die Dezimalzahl 0,7746 steht als Näherung daneben, und an ihr liest die Einordnung der Stärke ab.
Wie viele Punkte brauche ich?
Hier mindestens drei. Bei zwei Punkten ist r immer 1 oder -1, weil durch zwei Punkte immer eine Gerade geht, die Zahl sagt also nichts über die Daten. Auch bei wenigen Punkten kann r stark schwanken, nimm ein r aus fünf Punkten also nur als grobe Einschätzung.

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