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Rechner für lineare Regression

Die Ausgleichsgerade durch deine Punkte, exakt, mit r und jedem Schritt der Rechnung.

Von Nethanel Bar, Mitgründer & CEO

Zuletzt aktualisiert

Willst du das ohne Rechner lösen können?

Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.

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Die lineare Regression findet die eine Gerade, die die Punkte am wenigsten verfehlt

Echte Daten liegen nie auf einer einzigen Geraden, also verfehlt jede Gerade, die du hindurchlegst, die meisten Punkte. Jede Abweichung ist ein Residuum: das tatsächliche y minus das y, das die Gerade vorhersagt. Die lineare Regression quadriert jedes Residuum, addiert die Quadrate und wählt die eine Gerade, bei der diese Summe so klein wie möglich wird. Das ist die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, auch Ausgleichsgerade genannt, und es gibt genau eine davon für jede Punktmenge, deren x-Werte nicht alle gleich sind.

Um sie zu finden, braucht man fünf Zahlen: die Anzahl n und die Summen von x, y, xy und x². Die Steigung ist m = (nΣxy minus ΣxΣy) geteilt durch (nΣx² minus (Σx)²), der Achsenabschnitt ist b = (Σy minus mΣx) geteilt durch n. Diese Seite legt die Tabelle dieser Summen an, setzt deine Zahlen in beide Formeln ein und zeigt jede Zeile der Rechnung, denn die Tabelle ist der Teil, den eine Lehrkraft kontrolliert.

Steigung und Achsenabschnitt bleiben exakte Brüche. Bei Daten aus ganzen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen sind sie immer rational, also steht eine Steigung von 162/35 als 162/35 da und nicht als 4,6286, was nur eine Rundung davon ist. Der Korrelationskoeffizient r ist eine Quadratwurzel und erscheint deshalb als Wurzelausdruck mit der Dezimalzahl daneben. Der Kopieren-Knopf liefert dir die Gerade in Dezimalzahlen, fertig für eine Tabellenkalkulation.

Was an der Geraden auffällt

  • Sie geht immer durch den Mittelwertpunkt. Für x = 1 bis 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 sind die Mittelwerte 3 und 4, die Gerade ist y = 0,6x + 2,2, und 0,6 × 3 + 2,2 = 4.
  • Ihre Residuen ergeben zusammen immer genau null. Abweichungen über und unter der Geraden gleichen sich aus, deshalb quadriert das Verfahren sie vor dem Addieren.
  • Die Steigung hat eine Einheit: y-Einheiten pro x-Einheit. Eine Steigung von 162/35 bei Lernstunden gegen Testpunkte heißt etwa 4,63 Punkte mehr für jede zusätzliche Stunde.
  • Vertauschst du x und y, bekommst du eine andere Gerade, nicht dieselbe umgestellt. Die Regression von y auf x macht die senkrechten Abweichungen klein, die Regression von x auf y die waagerechten.
  • Die Steigung sagt, wie steil der Trend ist, und r, wie eng die Punkte ihm folgen. Beide haben immer dasselbe Vorzeichen, aber eine steile Gerade kann ein schwaches r haben und eine flache ein starkes.
  • Zwei Punkte passen immer perfekt, mit r = 1 oder -1. Das sagt nichts über die Daten; aussagekräftig wird eine Regressionsgerade erst ab drei Punkten.

So bestimmst du die Regressionsgerade von Hand

  1. Leg die Tabelle an

    Schreib jeden Punkt als Zeile mit vier Spalten: x, y, xy und x². Addiere jede Spalte und zähle die Punkte. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 und Σx² = 55.

  2. Berechne die Steigung

    m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²). Hier ist das (5 × 66 minus 15 × 20) / (5 × 55 minus 15²) = 30 / 50 = 0,6. Lass es als Bruch stehen, wenn keine kurze Dezimalzahl herauskommt.

  3. Berechne den Achsenabschnitt

    b = (Σy minus mΣx) / n. Hier (20 minus 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Nimm die exakte Steigung aus dem vorigen Schritt, keine gerundete.

  4. Schreib die Gerade auf und prüfe sie

    y = 0,6x + 2,2. Prüfe, ob sie durch den Mittelwertpunkt (3, 4) geht: 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Wenn nicht, ist eine der Summen falsch.

  5. Beurteile die Anpassung

    Berechne r oder sieh dir die Residuen an. Hier ist r = √15/5, etwa 0,7746, und die Residuen sind -0,8; 0,6; 1; -0,6 und -0,2, deren Quadrate zusammen 2,4 ergeben.

Ausgleichsgeraden für kleine Datensätze

Jede Zeile ist ein Datensatz, eingegeben in den Rechner oben. Steigung und Achsenabschnitt sind exakt; r steht als Wurzelausdruck mit seiner Dezimalzahl.

x-Wertey-WerteAusgleichsgeraderr²
1, 2, 3, 4, 52, 4, 5, 4, 5y = 0.6x + 2.2√15/5 ≈ 0.77460.6
0, 1, 2, 37, 5, 3, 1y = -2x + 7-11
2, 4, 6, 8, 103, 7, 8, 12, 15y = 1.45x + 0.329√215/430 ≈ 0.9889841/860
1, 2, 3, 4, 5, 652, 58, 61, 67, 70, 76y = (162/35)x + 47.89√15/35 ≈ 0.9959243/245
1, 2, 3, 4, 53, 1, 4, 1, 5y = 0.4x + 1.6√2/4 ≈ 0.35360.125
1, 32, 8y = 3x - 111
-2, -1, 0, 1, 24, 1, 0, 1, 4y = 200

Gerechnete Beispiele

Der Lehrbuch-Datensatz

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5

Die Summen sind Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 und Σx² = 55 bei n = 5. Die Steigung ist 30/50 = 0,6 und der Achsenabschnitt 11/5 = 2,2, die Gerade ist also y = 0,6x + 2,2. Die Residuen sind -0,8; 0,6; 1; -0,6 und -0,2, sie ergeben zusammen 0, und ihre Quadrate ergeben 2,4. Die Korrelation ist r = √15/5, etwa 0,7746: stark und positiv.

Eine Steigung als Bruch: Lernstunden gegen Testpunkte

plain
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76

Die Mittelwerte sind 3,5 Stunden und 64 Punkte. Die Steigung ist 162/35, etwa 4,63 Punkte pro Stunde, und der Achsenabschnitt ist 64 minus (162/35) × 3,5 = 47,8, also y = (162/35)x + 47,8 mit r ≈ 0,9959. Bei 4,5 Stunden sagt die Gerade 2402/35 voraus, etwa 68,63. Bei 12 Stunden sagt sie etwa 103,34 voraus, in einem Test mit höchstens 100 Punkten: eine Extrapolation, die die Daten nicht tragen.

Punkte, die schon auf einer Geraden liegen

plain
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1

Jeder Schritt von 1 in x senkt y um 2, die Punkte liegen also genau auf y = -2x + 7. Der Rechner findet diese Gerade, jedes Residuum ist 0, die Summe der Residuenquadrate ist 0, und r = -1: eine perfekte negative Korrelation.

Vorhersagen innerhalb und außerhalb der Daten

plain
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15

Die Gerade ist y = 1,45x + 0,3 mit r ≈ 0,9889 und geht durch den Mittelwertpunkt (6, 9). Bei x = 7, innerhalb der Daten, sagt sie 10,45 voraus; das ist eine Interpolation, der du ungefähr so weit trauen kannst wie der Anpassung. Bei x = 60 sagt sie 87,3 voraus, fünfzig Einheiten hinter dem letzten Punkt, wo nichts in den Daten sagt, dass der Trend noch gilt.

Ein starkes r, das eine Kurve verbirgt

plain
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25

Die Ausgleichsgerade ist y = 5x - 10/3 mit r ≈ 0,9599, was hervorragend klingt. Die Residuen sind 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 und 10/3: positiv an beiden Enden, negativ in der Mitte. Diese U-Form heißt, dass die Punkte auf einer Kurve liegen, und die quadratische Regression passt sie exakt als y = x² an.

Häufige Fehler

  • Die Steigung runden, bevor der Achsenabschnitt berechnet ist. Bei einer Steigung von 162/35 ergibt 4,63 einen Achsenabschnitt von 47,795 statt 47,8. Rechne mit der exakten Steigung weiter und runde erst ganz am Ende.
  • nΣx² und (Σx)² verwechseln. Für x = 1 bis 5 ist das erste 5 × 55 = 275 und das zweite 15² = 225. Vertauscht man sie, ändert sich das Vorzeichen des Nenners.
  • Die Werte falsch paaren. Das erste x gehört zum ersten y. Wer eine Spalte sortiert und die andere nicht, bekommt eine Gerade durch Punkte, die es nicht gibt.
  • Weit über die Daten hinaus extrapolieren. Die Gerade beschreibt den Bereich, an den sie angepasst wurde; eine Vorhersage weit außerhalb kann völlig falsch sein, selbst wenn r nahe bei 1 liegt.
  • Ein hohes r als Beweis nehmen, dass eine Gerade das richtige Modell ist. Die Quadratzahlen 0 bis 25 ergeben r ≈ 0,96 und liegen trotzdem auf einer Kurve. Sieh dir die Residuen an.
  • Die Steigung als Ursache lesen. Eine Gerade sagt, wie sich y in diesen Daten mit x tendenziell ändert, nicht dass eine Änderung von x auch y ändern würde.
  • x auf y regressieren, wenn die Aufgabe y auf x verlangt. Die beiden Regressionsgeraden sind verschieden, außer alle Punkte liegen auf einer Geraden.

Häufige Fragen zur linearen Regression

Wie berechne ich eine lineare Regression von Hand?
Leg eine Tabelle mit x, y, xy und x² für jeden Punkt an und addiere die Spalten. Die Steigung ist m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²) und der Achsenabschnitt b = (Σy minus mΣx) / n. Für x = 1 bis 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das m = 30/50 = 0,6 und b = 11/5 = 2,2, also y = 0,6x + 2,2. Diese Seite druckt dieselbe Tabelle und füllt beide Formeln aus, damit du jede Zeile prüfen kannst.
Was ist die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate?
Die Gerade, bei der die Summe der quadrierten Residuen so klein wie möglich ist, wobei ein Residuum das tatsächliche y eines Punktes minus das von der Geraden vorhergesagte y ist. Sie ist eindeutig, sobald nicht alle x-Werte gleich sind. Für die fünf Punkte oben bringt keine andere Gerade die Quadratsumme unter 2,4.
Was bedeuten Steigung und Achsenabschnitt?
Die Steigung gibt an, um wie viel sich y im Mittel ändert, wenn x um 1 wächst, in y-Einheiten pro x-Einheit. Der Achsenabschnitt ist das vorhergesagte y bei x = 0. Er bedeutet nur etwas, wenn x = 0 in oder nahe bei den Daten liegt; eine Regression des Gewichts auf die Körpergröße hat bei Größe 0 einen Achsenabschnitt, der keinen echten Menschen beschreibt.
Ist die Ausgleichsgerade dasselbe wie die Regressionsgerade?
Ja. In der Statistik ist die Ausgleichsgerade die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, und genau die berechnet dieser Rechner. Eine nach Augenmaß auf Papier gezeichnete Ausgleichsgerade ist eine Schätzung davon, und sie sollte durch den Mittelwertpunkt gehen, wie es die berechnete Gerade immer tut.
Was ist ein gutes r² für eine Regressionsgerade?
Das hängt vom Fachgebiet ab. r² ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklärt, 0,9 heißt also 90 %. Messungen aus einem kontrollierten Physikexperiment erreichen oft 0,99; Daten über Menschen bleiben oft bei 0,3 bis 0,5 und sind trotzdem nützlich. Ein hohes r² beweist nicht, dass eine Gerade die richtige Form ist, also prüfe auch die Residuen.
Wie viele Punkte brauche ich für eine lineare Regression?
Zwei Punkte legen eine Gerade fest, deshalb nimmt der Rechner schon zwei an, aber eine Gerade durch zwei Punkte passt immer perfekt und sagt nichts über die Daten. Ab drei Punkten tragen die Residuen, r und r² Information, und mehr Punkte machen die Steigung verlässlicher.
Kann ich mit der Regressionsgeraden Vorhersagen machen?
Innerhalb des Bereichs deiner x-Werte ja: Das ist Interpolation, und sie ist so gut wie die Anpassung. Außerhalb ist es Extrapolation, und nichts in den Daten sagt, dass der Trend weitergeht. Das Testbeispiel auf dieser Seite sagt für 12 Lernstunden etwa 103 Punkte voraus, in einem Test mit höchstens 100.
Warum sind die Ergebnisse Brüche statt Dezimalzahlen?
Weil Steigung und Achsenabschnitt einer Ausgleichsgeraden bei rationalen Daten rationale Zahlen sind und der Bruch der exakte Wert ist. 162/35 ist die Steigung; 4,6286 ist eine Rundung davon, und jede Vorhersage aus der Rundung trägt den Fehler weiter. Der Kopieren-Knopf liefert Dezimalzahlen, wenn du sie brauchst.

Weitere Mathe-Werkzeuge

Chi-Quadrat-Rechner

Unabhängigkeit auf einer Kontingenztafel oder Anpassungstest, mit jeder erwarteten Häufigkeit exakt.

Korrelationskoeffizient-Rechner

Pearsons r aus deinen Daten, exakt als Wurzel, mit seiner Stärke und dem Rechenweg dahinter.

Rechner für quadratische Regression

Die Ausgleichsparabel durch deine Punkte, mit exakten Koeffizienten und R².

Rechner für exponentielle Regression

Die Kurve y = a·bˣ zu Daten mit Wachstum oder Zerfall, mit der Rate pro Schritt.

Illustration der Programmiersprachen bei Coddy

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