Die Ausgleichsgerade durch deine Punkte, exakt, mit r und jedem Schritt der Rechnung.
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Der Mathekurs von Coddy bringt dir die Methode selbst bei: Du arbeitest jeden Schritt auf einer interaktiven Tafel und erfährst genau, wo ein Zug schiefgegangen ist.
Echte Daten liegen nie auf einer einzigen Geraden, also verfehlt jede Gerade, die du hindurchlegst, die meisten Punkte. Jede Abweichung ist ein Residuum: das tatsächliche y minus das y, das die Gerade vorhersagt. Die lineare Regression quadriert jedes Residuum, addiert die Quadrate und wählt die eine Gerade, bei der diese Summe so klein wie möglich wird. Das ist die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, auch Ausgleichsgerade genannt, und es gibt genau eine davon für jede Punktmenge, deren x-Werte nicht alle gleich sind.
Um sie zu finden, braucht man fünf Zahlen: die Anzahl n und die Summen von x, y, xy und x². Die Steigung ist m = (nΣxy minus ΣxΣy) geteilt durch (nΣx² minus (Σx)²), der Achsenabschnitt ist b = (Σy minus mΣx) geteilt durch n. Diese Seite legt die Tabelle dieser Summen an, setzt deine Zahlen in beide Formeln ein und zeigt jede Zeile der Rechnung, denn die Tabelle ist der Teil, den eine Lehrkraft kontrolliert.
Steigung und Achsenabschnitt bleiben exakte Brüche. Bei Daten aus ganzen Zahlen, Dezimalzahlen und Brüchen sind sie immer rational, also steht eine Steigung von 162/35 als 162/35 da und nicht als 4,6286, was nur eine Rundung davon ist. Der Korrelationskoeffizient r ist eine Quadratwurzel und erscheint deshalb als Wurzelausdruck mit der Dezimalzahl daneben. Der Kopieren-Knopf liefert dir die Gerade in Dezimalzahlen, fertig für eine Tabellenkalkulation.
Schreib jeden Punkt als Zeile mit vier Spalten: x, y, xy und x². Addiere jede Spalte und zähle die Punkte. Für x = 1, 2, 3, 4, 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 und Σx² = 55.
m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²). Hier ist das (5 × 66 minus 15 × 20) / (5 × 55 minus 15²) = 30 / 50 = 0,6. Lass es als Bruch stehen, wenn keine kurze Dezimalzahl herauskommt.
b = (Σy minus mΣx) / n. Hier (20 minus 0,6 × 15) / 5 = 11/5 = 2,2. Nimm die exakte Steigung aus dem vorigen Schritt, keine gerundete.
y = 0,6x + 2,2. Prüfe, ob sie durch den Mittelwertpunkt (3, 4) geht: 0,6 × 3 + 2,2 = 4. Wenn nicht, ist eine der Summen falsch.
Berechne r oder sieh dir die Residuen an. Hier ist r = √15/5, etwa 0,7746, und die Residuen sind -0,8; 0,6; 1; -0,6 und -0,2, deren Quadrate zusammen 2,4 ergeben.
Jede Zeile ist ein Datensatz, eingegeben in den Rechner oben. Steigung und Achsenabschnitt sind exakt; r steht als Wurzelausdruck mit seiner Dezimalzahl.
| x-Werte | y-Werte | Ausgleichsgerade | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Die Summen sind Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 und Σx² = 55 bei n = 5. Die Steigung ist 30/50 = 0,6 und der Achsenabschnitt 11/5 = 2,2, die Gerade ist also y = 0,6x + 2,2. Die Residuen sind -0,8; 0,6; 1; -0,6 und -0,2, sie ergeben zusammen 0, und ihre Quadrate ergeben 2,4. Die Korrelation ist r = √15/5, etwa 0,7746: stark und positiv.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Die Mittelwerte sind 3,5 Stunden und 64 Punkte. Die Steigung ist 162/35, etwa 4,63 Punkte pro Stunde, und der Achsenabschnitt ist 64 minus (162/35) × 3,5 = 47,8, also y = (162/35)x + 47,8 mit r ≈ 0,9959. Bei 4,5 Stunden sagt die Gerade 2402/35 voraus, etwa 68,63. Bei 12 Stunden sagt sie etwa 103,34 voraus, in einem Test mit höchstens 100 Punkten: eine Extrapolation, die die Daten nicht tragen.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Jeder Schritt von 1 in x senkt y um 2, die Punkte liegen also genau auf y = -2x + 7. Der Rechner findet diese Gerade, jedes Residuum ist 0, die Summe der Residuenquadrate ist 0, und r = -1: eine perfekte negative Korrelation.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15Die Gerade ist y = 1,45x + 0,3 mit r ≈ 0,9889 und geht durch den Mittelwertpunkt (6, 9). Bei x = 7, innerhalb der Daten, sagt sie 10,45 voraus; das ist eine Interpolation, der du ungefähr so weit trauen kannst wie der Anpassung. Bei x = 60 sagt sie 87,3 voraus, fünfzig Einheiten hinter dem letzten Punkt, wo nichts in den Daten sagt, dass der Trend noch gilt.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25Die Ausgleichsgerade ist y = 5x - 10/3 mit r ≈ 0,9599, was hervorragend klingt. Die Residuen sind 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 und 10/3: positiv an beiden Enden, negativ in der Mitte. Diese U-Form heißt, dass die Punkte auf einer Kurve liegen, und die quadratische Regression passt sie exakt als y = x² an.
Leg eine Tabelle mit x, y, xy und x² für jeden Punkt an und addiere die Spalten. Die Steigung ist m = (nΣxy minus ΣxΣy) / (nΣx² minus (Σx)²) und der Achsenabschnitt b = (Σy minus mΣx) / n. Für x = 1 bis 5 und y = 2, 4, 5, 4, 5 ergibt das m = 30/50 = 0,6 und b = 11/5 = 2,2, also y = 0,6x + 2,2. Diese Seite druckt dieselbe Tabelle und füllt beide Formeln aus, damit du jede Zeile prüfen kannst.
Die Gerade, bei der die Summe der quadrierten Residuen so klein wie möglich ist, wobei ein Residuum das tatsächliche y eines Punktes minus das von der Geraden vorhergesagte y ist. Sie ist eindeutig, sobald nicht alle x-Werte gleich sind. Für die fünf Punkte oben bringt keine andere Gerade die Quadratsumme unter 2,4.
Die Steigung gibt an, um wie viel sich y im Mittel ändert, wenn x um 1 wächst, in y-Einheiten pro x-Einheit. Der Achsenabschnitt ist das vorhergesagte y bei x = 0. Er bedeutet nur etwas, wenn x = 0 in oder nahe bei den Daten liegt; eine Regression des Gewichts auf die Körpergröße hat bei Größe 0 einen Achsenabschnitt, der keinen echten Menschen beschreibt.
Ja. In der Statistik ist die Ausgleichsgerade die Regressionsgerade nach der Methode der kleinsten Quadrate, und genau die berechnet dieser Rechner. Eine nach Augenmaß auf Papier gezeichnete Ausgleichsgerade ist eine Schätzung davon, und sie sollte durch den Mittelwertpunkt gehen, wie es die berechnete Gerade immer tut.
Das hängt vom Fachgebiet ab. r² ist der Anteil der Streuung von y, den die Gerade erklärt, 0,9 heißt also 90 %. Messungen aus einem kontrollierten Physikexperiment erreichen oft 0,99; Daten über Menschen bleiben oft bei 0,3 bis 0,5 und sind trotzdem nützlich. Ein hohes r² beweist nicht, dass eine Gerade die richtige Form ist, also prüfe auch die Residuen.
Zwei Punkte legen eine Gerade fest, deshalb nimmt der Rechner schon zwei an, aber eine Gerade durch zwei Punkte passt immer perfekt und sagt nichts über die Daten. Ab drei Punkten tragen die Residuen, r und r² Information, und mehr Punkte machen die Steigung verlässlicher.
Innerhalb des Bereichs deiner x-Werte ja: Das ist Interpolation, und sie ist so gut wie die Anpassung. Außerhalb ist es Extrapolation, und nichts in den Daten sagt, dass der Trend weitergeht. Das Testbeispiel auf dieser Seite sagt für 12 Lernstunden etwa 103 Punkte voraus, in einem Test mit höchstens 100.
Weil Steigung und Achsenabschnitt einer Ausgleichsgeraden bei rationalen Daten rationale Zahlen sind und der Bruch der exakte Wert ist. 162/35 ist die Steigung; 4,6286 ist eine Rundung davon, und jede Vorhersage aus der Rundung trägt den Fehler weiter. Der Kopieren-Knopf liefert Dezimalzahlen, wenn du sie brauchst.
