צמצום 12 : 8
plain
12 : 8המחלק המשותף הגדול ביותר של 12 ו־8 הוא 4, ולכן מחלקים בו את שני החלקים: 3 : 2. כשבר זה 3/2, כמספר עשרוני 1.5, וכחלקים מהשלם החלק הראשון לוקח 3 מכל 5, כלומר 60%. חילוק אחד, ארבע קריאות.
מחשבון יחס
צמצמו יחס, פתרו פרופורציה או השוו בין שני יחסים, עם כל שלב.
עדכון אחרון
רוצים לפתור את אלה בלי מחשבון?
קורס המתמטיקה של Coddy מלמד את השיטה עצמה: פותרים כל שלב על לוח אינטראקטיבי ומקבלים הסבר מדויק איפה צעד השתבש.
יחס שורד הכפלה בקנה מידה, וזה כל הסיפור
יחס משווה בין שתי כמויות באמצעות חילוק: 12 : 8 אומר שהראשונה גדולה פי אחד וחצי מהשנייה. כפלו או חלקו את שני החלקים באותו מספר וההשוואה לא משתנה: 12 : 8, 6 : 4 ו־3 : 2 הם אותו יחס בלבוש שונה. לצמצם פירושו פשוט לחלק את שני החלקים במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם עד שלא נשאר גורם משותף, בדיוק כמו צמצום שבר.
פרופורציה היא טענה ששני יחסים שווים, למשל 3 : 4 = 9 : x, ועובדה אחת פותחת כל בעיה כזו: בפרופורציה נכונה מכפלות ההצלבה שוות. כופלים לאורך שני האלכסונים, המכפלות שוות, ולכן נעלם בכל אחד מארבעת המקומות נמצא במרחק כפל אחד וחילוק אחד. זה כפל בהצלבה, והדף הזה כותב אותו במלואו במקום רק לנחות על x = 12.
מספרים עשרוניים ושברים מתקבלים בברכה ומנוקים קודם, בדיוק: 2.5 : 1.5 מוכפל ל־25 : 15 ואז ל־5 : 3, וערך חסר של 35/3 מוצג כ־35/3, אף פעם לא כ־11.67, כי תשובה מעוגלת לשאלה מדויקת היא תשובה אחרת.
מה כדאי לשים לב
- צמצום יחס הוא צמצום שבר. 12 : 8 ו־12/8 מתכווצים באותו מחלק משותף גדול ביותר, ל־3 : 2 ול־3/2.
- הסדר חשוב. 3 : 2 ו־2 : 3 הם יחסים שונים: הראשון אומר גדול לקטן, והשני את ההפך.
- יחס מצומצם עדיין אפשר להביא לצורה 1 : n. היחס 3 : 2 הוא 1 : 2/3, וזה שימושי להשוואה מהירה בין הרבה יחסים, גם אם n לרוב אינו שלם.
- מכפלות ההצלבה מכריעות הכול. a : b = c : d בדיוק כאשר a·d = b·c, והשורה האחת הזו היא גם המבחן לשקילות וגם הפותר לערך חסר.
- חלק לחלק אינו חלק לשלם. 3 : 2 מחלק שלם ל־5 מנות, ולכן החלק הראשון הוא 3/5 = 60% מהשלם, לא 3/2 ממנו.
איך מצמצמים יחס
נקו מספרים עשרוניים או שברים
כפלו את שני החלקים באותו מספר עד ששניהם שלמים: 2.5 : 1.5 הופך ל־25 : 15 (כפול 10). הכפלה של שני החלקים יחד אף פעם לא משנה את היחס.
מצאו את המחלק המשותף הגדול ביותר
המספר הגדול ביותר שמחלק את שני החלקים. עבור 25 ו־15 הוא 5.
חלקו בו את שני החלקים
25 ÷ 5 = 5 ו־15 ÷ 5 = 3, ולכן היחס המצומצם הוא 5 : 3. אם המחלק המשותף הגדול ביותר הוא 1, היחס כבר היה מצומצם.
כדי למצוא ערך חסר, כפלו בהצלבה
כתבו את הפרופורציה עם x במקום החסר: 3 : 4 = 9 : x הוא 3/4 = 9/x. כפלו לאורך האלכסונים וקבלו 3x = 36, ואז חלקו: x = 12.
יחסים במבט אחד
אותה השוואה בתחפושות הנפוצות שלה: מצומצם, כשבר, בצורה 1 : n, והחלק של האיבר הראשון מתוך השלם.
| יחס | מצומצם | כשבר | חלק מהשלם |
|---|---|---|---|
| 12 : 8 | 3 : 2 | 3/2 | 60% |
| 2 : 4 | 1 : 2 | 1/2 | 33⅓% |
| 25 : 15 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 6 : 9 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 10 : 4 | 5 : 2 | 5/2 | 71³⁄₇% |
| 2.5 : 1.5 | 5 : 3 | 5/3 | 62.5% |
| 1/2 : 3/4 | 2 : 3 | 2/3 | 40% |
| 7 : 7 | 1 : 1 | 1 | 50% |
דוגמאות פתורות
ניקוי עשרוניים: 2.5 : 1.5
plain
2.5 : 1.5כופלים את שני החלקים ב־10 ומקבלים 25 : 15. זה מותר, כי הכפלה של שני החלקים יחד היא בדיוק מה שיחס מתעלם ממנו. אחר כך מחלקים במחלק המשותף הגדול ביותר, 5, ומגיעים ל־5 : 3. שני שלבים, שניהם מוצגים, ובלי נקודה צפה בשום מקום.
פתרון הפרופורציה 3 : 4 = 9 : x
plain
3 : 4 = 9 : ?כופלים בהצלבה: 3 · x = 4 · 9, ולכן 3x = 36 ו־x = 12. הבדיקה מובנית בשיטה: 9 : 12 מצטמצם ל־3 : 4, היחס שממנו התחלתם. השאירו ריקה כל אחת מארבע התיבות, ואותם שני מהלכים ימצאו אותה.
האם 1 : 2 ו־3 : 6 הם אותו יחס?
plain
1 : 2 = 3 : 6כופלים את שני האלכסונים: 1 · 6 = 6 ו־2 · 3 = 6. הם שווים, ולכן כן: שניהם אותה השוואה בקנה מידה שונה. אילו המכפלות היו שונות, התשובה הייתה לא, ושתי הצורות המצומצמות היו מראות בכמה.
טעויות נפוצות
- הכפלה של חלק אחד בלבד. 12 : 8 הוא 3 : 2 כי שני החלקים חולקו ב־4. חיצוי של צד אחד בלבד משנה את ההשוואה.
- לקרוא את 3 : 2 כ"הראשון הוא 3/2 מהשלם". הוא 3/2 מהחלק השני; מהשלם הוא 3/5, כי השלם הוא 3 + 2 = 5 מנות.
- היפוך הסדר. תערובת מיץ של 1 : 4 תרכיז למים אינה 4 : 1, המילים קובעות איזה מספר בא ראשון.
- חיבור יחסים איבר איבר. 1 : 2 ועוד 1 : 3 אינו 2 : 5. אי אפשר לחבר יחסים של שלמים שונים; המירו קודם לכמויות ממשיות.
- לעצור לפני הצורה המצומצמת. 6 : 4 הוא תשובה נכונה לשאלה הלא נכונה; ברוב הבדיקות מצפים ל־3 : 2.
- עיגול ערך חסר. אם הכפל בהצלבה נותן x = 35/3, התשובה היא 35/3. כתיבת 11.67 הופכת פרופורציה מדויקת לפרופורציה משוערת.
שאלות נפוצות על יחס ופרופורציה
איך מצמצמים יחס?
מחלקים את שני החלקים במחלק המשותף הגדול ביותר שלהם. ל־12 : 8 יש גורם משותף 4, ולכן הוא מצטמצם ל־3 : 2. אם החלקים הם מספרים עשרוניים או שברים, כופלים קודם את שניהם באותו מספר עד שהם שלמים: 2.5 : 1.5 הופך ל־25 : 15 ואז ל־5 : 3.
איך מוצאים ערך חסר בפרופורציה?
כופלים בהצלבה. בפרופורציה נכונה a : b = c : d, המכפלות האלכסוניות שוות: a·d = b·c. שמים x במקום הריק, כופלים את האלכסונים ומחלקים. עבור 3 : 4 = 9 : x זה 3x = 36, ולכן x = 12. הדף הזה מקבל את התיבה הריקה בכל אחד מארבעת המקומות.
איך יודעים אם שני יחסים שקולים?
כופלים בהצלבה ומשווים. 1 : 2 ו־3 : 6 נותנים 1·6 = 6 ו־2·3 = 6, שוויון, ולכן זה אותו יחס. גם צמצום של שניהם לצורה המצומצמת והשוואה עובדים; מכפלות ההצלבה פשוט עושות את זה בשורה אחת בלי שום חילוק.
איך הופכים יחס לשבר או לאחוזים?
אלה שתי המרות שונות, ובלבול ביניהן הוא הטעות הקלאסית. חלק לחלק: 3 : 2 כשבר הוא 3/2, החלק הראשון ליחידה של החלק השני. חלק לשלם: החלק הראשון הוא 3 מכל 3 + 2 = 5, כלומר 3/5, או 60%. הדף הזה מציג את שתי הקריאות לכל יחס מצומצם.
מה המשמעות של יחס 1 : n, ולמה n אינו שלם?
זה היחס אחרי שינוי קנה מידה כך שהחלק הראשון שווה בדיוק 1, וזה שימושי להשוואה מהירה בין הרבה יחסים. 3 : 2 הופך ל־1 : 2/3, ו־n הוא מספר שלם רק כשהחלק השני מתחלק בחלק הראשון ללא שארית. n שברי אינו טעות; זה שער ההמרה האמיתי.
האם ליחס יכולים להיות יותר משני חלקים, או חלקים שליליים?
יחסים של שלושה חלקים כמו 2 : 3 : 5 קיימים ומצטמצמים באותה דרך (מחלקים את שלושתם בגורם המשותף), אבל המחשבון הזה עובד עם יחסים של שני חלקים, כמו אלה שבפרופורציות. חלקים שליליים נדחים ביחסים של כמויות, אבל פרופורציה עם תיבה ריקה אחת כן מקבלת שליליים, כי שם זו פשוט משוואה.
מה ההבדל בין יחס לקצב?
יחס משווה כמויות באותן יחידות: קמח לסוכר, בנים לבנות. קצב משווה יחידות שונות, קילומטרים לשעה, מחיר לקילו, ובדרך כלל נכתב כמספר יחיד על ידי חילוק. החשבון זהה; רק היחידות והניסוח שונים.
