סימון קבוצות
סימון קבוצות הוא אלפבית קטן: סוגריים מסולסלים מונים קבוצה, ∈ אומר שאיבר שייך אליה, ∪ מאחד שתי קבוצות, ∩ שומר את החלק המשותף, ותג מסמן את כל השאר. כל סימן הוא אזור בדיאגרמת ון.
עודכן לאחרונה
קבוצה היא אוסף של דברים שונים זה מזה, שנקראים האיברים שלה. סימון קבוצות הוא קומץ הסימנים שמשמשים למניית קבוצה, לציון מה שייך אליה ולשילוב של שתי קבוצות לקבוצה שלישית. יש פחות מתריסר כאלה, וכל אחד מהם הוא שם של אזור בדיאגרמת ון.
כאן A היא קבוצת המחלקים של 12 ו-B היא קבוצת המספרים הזוגיים, בתוך הקבוצה האוניברסלית U = {1, 2, ..., 12}. בחרו פעולה וראו איזה אזור היא צובעת.
- U = {1, 2, ..., 12}
- המספרים השלמים מ־1 עד 12
- A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
- מחלקים של 12
- B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
- מספרים זוגיים
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
איך אומרים A איחוד B
כל מה שנמצא ב־A, ב־B או בשתיהן.
8 איברים
הסימנים
| סימן | שם | איך קוראים | דוגמה עם הקבוצות שלמעלה |
|---|---|---|---|
| { } | סוגריים מסולסלים | "הקבוצה של" | A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} |
| ∈ | שייכות | "שייך ל" | 6 ∈ A |
| ∉ | אי-שייכות | "לא שייך ל" | 5 ∉ A |
| ⊆ | תת-קבוצה | "היא תת-קבוצה של" | {2, 4} ⊆ B |
| ∪ | איחוד | "A איחוד B" | A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12} |
| ∩ | חיתוך | "A חיתוך B" | A ∩ B = {2, 4, 6, 12} |
| \ | הפרש | "A פחות B" | A \ B = {1, 3} |
| A′ | משלים | "המשלים של A" או "לא A" | A′ = {5, 7, 8, 9, 10, 11} |
| △ | הפרש סימטרי | "ההפרש הסימטרי של A ו-B" | A △ B = {1, 3, 8, 10} |
| ∅ | קבוצה ריקה | "הקבוצה הריקה" | A ∩ {5, 7} = ∅ |
| U | קבוצה אוניברסלית | "הקבוצה האוניברסלית" | כל מה שעליו מדברים |
אפשר לבדוק כל תשובה בעמודה האחרונה בדיאגרמה שלמעלה, ושווה לעשות את זה פעם אחת ביד: רשמו את A ואת B, ואז קראו כל פעולה מתוך שתי הרשימות.
איך כותבים קבוצה
רישום במניית איברים מונה את האיברים בתוך סוגריים מסולסלים: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}. יש לו שני כללים. הסדר לא משנה, וגם חזרות לא משנות, כך ש-{1, 2, 3}, {3, 2, 1} ו-{1, 1, 2, 3} הן אותה קבוצה.
רישום באמצעות תכונה מתאר את האיברים באמצעות כלל:
A = {x ∈ ℕ | 12/x ∈ ℕ}
קוראים את זה "הקבוצה של המספרים הטבעיים x כך ש-12 חלקי x הוא גם מספר טבעי". הקו האנכי פירושו "כך ש"; יש ספרים שמשתמשים בנקודתיים במקומו. רישום באמצעות תכונה הוא הדרך היחידה לכתוב קבוצה עם אינסוף איברים, כמו {x ∈ ℝ | x > 3}, שסימון קטעים מקצר ל-(3, ∞).
למערכות המספרים יש אותיות משלהן: ℕ למספרים הטבעיים, ℤ למספרים השלמים, ℚ לרציונליים ו-ℝ לממשיים.
שילוב של שתי קבוצות
ארבע פעולות מכסות כמעט כל שאלה:
- איחוד, A ∪ B: כל מה שנמצא ב-A או ב-B, או בשתיהן. זו המילה "או". שום דבר לא נרשם פעמיים, כך ש-2, 4, 6 ו-12 מופיעים פעם אחת אף שהם בשתי הקבוצות.
- חיתוך, A ∩ B: רק מה שנמצא בשתי הקבוצות בו-זמנית. זו המילה "וגם".
- הפרש, A \ B: מה שנמצא ב-A אבל לא ב-B. הסדר חשוב, כי B \ A = {8, 10} ואילו A \ B = {1, 3}. יש ספרים שכותבים אותו עם סימן מינוס.
- משלים, A′: כל מה שבקבוצה האוניברסלית ואינו ב-A. בלי קבוצה אוניברסלית המשלים לא מוגדר, ולכן לכל דיאגרמת ון יש מלבן מסביב.
ההפרש הסימטרי, A △ B, הוא האיחוד בלי החיתוך: האיברים שנמצאים בדיוק באחת משתי הקבוצות.
שייך ל, או תת-קבוצה של
אלה שני הסימנים שהכי מתבלבלים ביניהם בנושא הזה, כי שניהם עונים על השאלה "האם זה נמצא שם?".
- ∈ מקשר איבר לקבוצה: 2 ∈ A.
- ⊆ מקשר קבוצה לקבוצה: {2} ⊆ A.
לכתוב "2 ⊆ A" זה שגוי, כי 2 הוא מספר ולא קבוצה, ולכתוב "{2} ∈ A" זה שגוי מהסיבה ההפוכה, כי A מכילה את המספר 2 ולא את הקבוצה {2}.
קבוצה היא תת-קבוצה של קבוצה אחרת כאשר כל האיברים שלה נמצאים בקבוצה האחרת. מספיק שאיבר אחד חסר כדי שזה לא יהיה נכון: A אינה תת-קבוצה של B, כי 1 נמצא ב-A אבל לא ב-B. הקבוצה הריקה היא תת-קבוצה של כל קבוצה, כי אין בה אף איבר שיכול לחסור.
ספירה בעזרת דיאגרמת ון
מספר האיברים בקבוצה נכתב בין קווים אנכיים: |A| = 6. כדי לספור איחוד, חברו את שתי הקבוצות והחסירו את החלק המשותף, שנספר פעמיים:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
עם הקבוצות שלמעלה, זה 6 + 6 פחות 4, כלומר 8, בדיוק כמו ספירה ישירה של האיחוד. זה עקרון ההכלה וההדחה, וכך עונים על שאלות סקר כמו "כמה תלמידים לומדים צרפתית או ספרדית".
התשובה היא 18 + 12 פחות 5, כלומר 25. אם קיבלתם 30, חמשת התלמידים שמשחקים את שניהם נספרו פעמיים.
קבוצות ולוגיקה הן אותו דבר
איחוד הוא "או", חיתוך הוא "וגם" ומשלים הוא "לא". זו לא אנלוגיה רופפת: איבר נמצא ב-A ∩ B בדיוק כאשר הטענה "הוא ב-A וגם הוא ב-B" נכונה. העמוד על מתמטיקה בדידה בונה את טבלאות האמת של המילים האלה, ואותה דיאגרמת ון צובעת את שניהם.
שאלות נפוצות
- מה המשמעות של ∈?
- ∈ פירושו "שייך ל". 3 ∈ A אומר ש-3 הוא אחד מהאיברים של הקבוצה A. עם קו אלכסוני, ∉ פירושו "לא שייך ל", כך ש-5 ∉ A אומר ש-5 לא נמצא ב-A. הסימן הוא אפסילון יוונית מסוגננת, על שם המילה element (איבר).
- מה ההבדל בין ∈ ל-⊆?
- ∈ מקשר איבר לקבוצה, ו-⊆ מקשר קבוצה לקבוצה. אם A = {1, 2, 3}, אז 2 ∈ A וגם {2} ⊆ A נכונים, אבל 2 ⊆ A שגוי, כי 2 הוא מספר ולא קבוצה. קראו את ⊆ כ"היא תת-קבוצה של": כל איבר של הקבוצה משמאל נמצא גם בקבוצה מימין.
- מהו רישום קבוצה באמצעות תכונה?
- דרך לתאר קבוצה באמצעות כלל במקום רשימה. {x | x > 3} נקרא "הקבוצה של כל ה-x כך ש-x גדול מ-3". הקו האנכי, או נקודתיים בחלק מהספרים, פירושו "כך ש". זו הדרך המעשית היחידה לכתוב קבוצה עם אינסוף איברים.
- מה ההבדל בין איחוד לחיתוך?
- האיחוד A ∪ B מכיל את כל מה שנמצא ב-A או ב-B או בשתיהן. החיתוך A ∩ B מכיל רק את מה שנמצא ב-A וב-B בו-זמנית. בדיאגרמת ון האיחוד הוא שני העיגולים יחד והחיתוך הוא העדשה שבה הם חופפים, ולכן החיתוך תמיד נמצא בתוך האיחוד.
- איך כותבים את המשלים של קבוצה?
- רוב הספרים כותבים A′ (A תג), Aᶜ או A עם קו מעליה. שלושתם אומרים אותו דבר: כל האיברים של הקבוצה האוניברסלית U שאינם ב-A. המשלים תלוי ב-U, לכן תמיד בדקו מהי הקבוצה האוניברסלית לפני שאתם מונים את איבריו.
- מה המשמעות של ∅?
- ∅ היא הקבוצה הריקה, הקבוצה שאין בה איברים. אפשר לכתוב אותה גם כ-{}. היא תת-קבוצה של כל קבוצה, כי אין בה אף איבר שיכול לחסור בקבוצה אחרת. שימו לב ש-{∅} אינה ריקה: זו קבוצה עם איבר אחד, והאיבר הזה הוא הקבוצה הריקה.
- מה ההבדל בין ⊂ ל-⊆?
- ⊆ פירושו "היא תת-קבוצה של" ומאפשר לשתי הקבוצות להיות שוות. ⊂ פירושו בדרך כלל תת-קבוצה ממש, כזו שקטנה מהקבוצה האחרת. כאן הספרים לא מסכימים: חלקם משתמשים ב-⊂ לכל תת-קבוצה וכותבים ⊊ כשהם מתכוונים לתת-קבוצה ממש. כשזה משנה, בדקו באיזו מוסכמה הקורס שלכם משתמש.
