משולש 30-60-90

לכל משולש ישר זווית יש יחסים בין הצלעות שלו. כמעט אצל כולם היחסים האלה הם שברים עשרוניים מכוערים שדורשים מחשבון. אצל שניים בדיוק, הם ביטויים מדויקים וקצרים שאפשר לרשום, ולכן שני אלה מופיעים בשאלה אחרי שאלה.

החליפו ביניהם למטה, ושנו את הגודל.

מאיפה מגיע משולש 30-60-90

מתחילים ממשולש שווה צלעות: שלוש צלעות שוות, שלוש זוויות של 60°. חותכים אותו ישר באמצע, מהקודקוד העליון לאמצע הבסיס.

החיתוך מאונך לבסיס, כך שיש לכם זווית ישרה. אחת מזוויות ה־60° בבסיס נשארת בלי שינוי. זווית ה־60° שלמעלה נחצית לשניים, ולכן היא הופכת ל־30°. זה משולש 30-60-90 שלכם, והוא נוצר מצורה שאת הצלעות שלה כבר הכרתם.

עכשיו קוראים את הצלעות. אם לשווה הצלעות היו צלעות באורך 2, היתר של החצי עדיין 2 והבסיס נחצה ל־1. הגובה מגיע ממשפט פיתגורס:

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, ולכן h = sqrt(3).

צלעות באורך 1, sqrt(3) ו־2: זה היחס, והוא מדויק כי הוא נובע מבנייה מדויקת ולא ממדידה.

איזו צלע הולכת לאן

הכלל שמונע את רוב הטעויות: הצלע הגדולה ביותר נמצאת מול הזווית הגדולה ביותר.

כלומר היתר הוא פי שניים מהצלע הקצרה, אף פעם לא פי שניים מהארוכה. ומכיוון ש־sqrt(3) הוא בערך 1.73, הניצב הארוך נמצא בין השניים, וזו בדיקת שפיות מהירה לכל תשובה שאתם כותבים.

משולש 45-45-90 הוא ריבוע שנחתך לשניים

אותו טריק, צורה אחרת. לוקחים ריבוע עם צלעות באורך 1 וחותכים אותו לאורך האלכסון. שתי הזוויות שנשארות הן 45°, שני הניצבים שווים, והאלכסון הוא היתר:

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, ולכן d = sqrt(2).

היחס הוא 1 : 1 : sqrt(2). הוא מופיע בכל מקום שיש בו ריבועים: אלכסונים של מסכים, אריחים, לוחות שחמט.

מציאת צלע חסרה

תמיד חוזרים אחורה לצלע הקצרה, ואז מגדילים.

כשהיתר נתון. משולש 30-60-90 עם יתר 14: חוצים אותו, כך שהצלע הקצרה היא 7, והניצב הארוך הוא 7sqrt(3).

כשהניצב הארוך נתון. משולש 30-60-90 עם ניצב ארוך 9: מחלקים ב־sqrt(3) כדי לקבל את הצלע הקצרה, 3sqrt(3), ולכן היתר הוא 6sqrt(3).

כשנתון ניצב של 45-45-90. הניצב השני שווה לו, והיתר הוא הניצב הזה כפול sqrt(2).

הזיזו את המחוון באיור בזמן שאתם קוראים את זה: החשבון שלמעלה הוא פשוט מה שמוצג בשלושה גדלים שונים.

נסו אחד

למשולש 30-60-90 יש צלע קצרה באורך 6. מה אורך הניצב הארוך שלו?

למשולש 30-60-90 יש צלע קצרה באורך 6. מה אורך הניצב שמול הזווית של 60 מעלות?

השאירו את זה כ־6sqrt(3) ולא כ־10.39. הצורה המדויקת היא מה שהשלב הבא בבעיה יכול באמת להשתמש בו, וזה מה שהבודק מחפש.

ערכי הטריגונומטריה המדויקים נובעים ישירות

מכיוון שלשני המשולשים האלה יש צלעות מדויקות, יש להם ערכי סינוס וקוסינוס מדויקים, ומשם מגיעים המספרים בכל טבלה של מעגל היחידה:

שלושה ערכים שונים בכל הרביע הראשון, ו־30° ו־60° הם אותו זוג בסדר הפוך, וזה בדיוק מה שהייתם מצפים ממשולש אחד שקוראים מתוך שתי הזוויות החדות השונות שלו.