משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה
הצורה y = mx + b צריכה בדיוק את הנקודה שכמעט אף שאלה לא נותנת. משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה מקבלת את הנקודה שבאמת קיבלתם, ולכן זו הצורה שכדאי לפנות אליה קודם.
עודכן לאחרונה
כמעט כל שאלה על ישרים נותנת לכם נקודה ושיפוע, או שתי נקודות. כמעט אף אחת לא נותנת את נקודת החיתוך עם ציר y. ובכל זאת y = mx + b היא בדרך כלל הצורה היחידה שאנשים יודעים לכתוב, אז הם מבזבזים שורה וחצי על חילוץ b שאף אחד לא ביקש.
משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה מדלגת על זה. גררו את הנקודה למטה וראו איך המשוואה עוקבת אחריה.
גררו את הנקודה לכל מקום. המשוואה נכתבת מחדש סביב כל נקודה שאתם נוחתים עליה: הישר אף פעם לא חייב לחתוך את ציר y במספר שלם.
מאיפה הנוסחה מגיעה
שיפוע הוא העלייה חלקי ההתקדמות בין כל שתי נקודות על הישר. קבעו אחת מהן בנקודה שאתם מכירים, (x₁, y₁), ותנו לשנייה להיות נקודה כללית (x, y). אז
m = (y - y₁)/(x - x₁)
הכפילו את שני האגפים ב-x - x₁ והשבר נעלם:
y - y₁ = m(x - x₁)
זו כל הגזירה. משוואה לפי שיפוע ונקודה היא לא רעיון חדש: זו נוסחת השיפוע כשהחילוק בוטל, ולכן כל ישר מקיים אותה, והיא עובדת מכל נקודה על הישר.
שני החיסורים הם מרחקים מהנקודה שלכם
שני סימני המינוס עושים את אותה עבודה על צירים שונים: כמה רחוק לרוחב מ-x₁, וכמה גבוה מ-y₁. כשקוראים אותם כך, כבר אין צורך לשנן את הסימנים.
הם כן עוקצים כשקואורדינטה שלילית. ישר עם שיפוע 2 שעובר דרך (-3, 4) הוא
y - 4 = 2(x + 3)
כי חיסור של -3 הוא חיבור של 3. סימן פלוס שם הוא לא טעות; לכתוב x - 3 זו טעות.
הזיזו את הנקודה בשרטוט לרביע השלישי וראו את שני הסימנים מתהפכים. זה החלק היחיד בצורה הזו שמייצר תשובות שגויות, ושלושים שניות של צפייה מתקנות אותו טוב יותר מכלל.
שתי נקודות, ישר אחד
נתונות (1, 1) ו-(4, 7): מצאו קודם את השיפוע, ואז הציבו אחת מהנקודות.
m = (7 - 1)/(4 - 1) = 6/3 = 2
הנקודה הראשונה נותנת y - 1 = 2(x - 1). הנקודה השנייה נותנת y - 7 = 2(x - 4). הן לא דומות בכלל, והן אותו ישר: פתחו סוגריים באחת מהן ותקבלו y = 2x - 1.
כדאי לסמוך על זה במקום לפקפק. אם התשובה שלכם לא תואמת לזו שבסוף הספר, סדרו את שתיהן לפני שאתם מניחים שטעיתם.
המעבר לצורה y = mx + b
כשהשאלה כן רוצה y = mx + b, ההמרה היא שני צעדים: פותחים את הסוגריים, ואז מבודדים את y.
מתחילים מ-y - 3 = 2(x - 1): פתיחת הסוגריים נותנת y - 3 = 2x - 2, והוספת 3 לשני האגפים נותנת y = 2x + 1.
ה-b שלא הייתם צריכים לחשוב עליו מופיע בסוף, וזו בדיוק הכוונה. שיפוע ונקודה עשתה את העבודה; y = mx + b היא רק הפורמט.
נסו בעצמכם
הטעות הנפוצה ביותר כאן היא לפתוח את 2(x - 1) ל-2x - 1. ה-2 צריך להגיע לשני האיברים שבתוך הסוגריים, וזה חוק הפילוג שעושה את העבודה הרגילה שלו.
איזו צורה לאיזו שאלה
| מה נתון | במה להשתמש |
|---|---|
| נקודה ושיפוע | שיפוע ונקודה |
| שתי נקודות | השיפוע ביניהן, ואז שיפוע ונקודה |
| נקודת החיתוך עם ציר y ושיפוע | y = mx + b |
| משוואה לשרטוט מהיר | y = mx + b |
| ישר מקביל או מאונך לישר אחר, דרך נקודה | שיפוע ונקודה |
שיפוע ונקודה היא הצורה לכתיבת ישר; y = mx + b היא הצורה לקריאת ישר. רוב הבעיות צריכות את שתיהן, בסדר הזה.
שאלות נפוצות
- מהי משוואת ישר לפי שיפוע ונקודה?
- המשוואה y - y1 = m(x - x1), כאשר m הוא השיפוע ו-(x1, y1) היא נקודה כלשהי שהישר עובר דרכה. זה תרגום ישיר של נוסחת השיפוע: העלייה מהנקודה הידועה חלקי ההתקדמות מהנקודה הידועה היא תמיד m, והכפלת שני האגפים בהתקדמות הזו מבטלת את השבר.
- מתי כדאי להשתמש בשיפוע ונקודה במקום ב-y = mx + b?
- בכל פעם שהנקודה שקיבלתם אינה נקודת החיתוך עם ציר y, כלומר ברוב הפעמים. הצורה y = mx + b צריכה את b, כך שאם מתחילים מנקודה אקראית צריך קודם לחלץ את b. שיפוע ונקודה מאפשרת לכתוב את התשובה מיד ולסדר אותה אחר כך, אם השאלה בכלל מבקשת.
- איך מוצאים משוואת ישר שעובר דרך שתי נקודות?
- קודם מחשבים את השיפוע: ההפרש בין ערכי y חלקי ההפרש בין ערכי x. אחר כך בוחרים אחת מהנקודות, באמת כל אחת, שתיהן נותנות אותו ישר, ומציבים אותה במשוואה לפי שיפוע ונקודה. צריך לסדר מחדש רק אם השאלה מבקשת צורה מסוימת.
- למה במשוואה לפי שיפוע ונקודה יש סימני חיסור?
- כי שניהם הפרשים שנמדדים מהנקודה הידועה: כמה רחוק לרוחב מ-x1, וכמה גבוה מ-y1. כשקואורדינטה שלילית, החיסור הופך לחיבור, ושם קורות רוב הטעויות: נקודה ב-(-3, 4) נותנת y - 4 = m(x + 3), וסימן הפלוס הזה נכון.
- האם משנה באיזו משתי הנקודות משתמשים?
- לא. שתי המשוואות נראות שונות ומתארות בדיוק את אותו ישר: סדרו את שתיהן לצורה y = mx + b והן יוצאות זהות. רוב המורים מקבלים את שתיהן, ואם השאלה מבקשת צורה מסוימת, הסידור מחדש מכריע כל ויכוח.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
פותר משוואות פתיחת המחשבון