כפל שברים
כפל שברים הוא הקל מבין ארבע הפעולות, ומלמדים אותו כמבלבל שבהן, כי הכלל מגיע בלי שום סיבה מצורפת. הסיבה היא ריבוע שנחתך בשני כיוונים.
עודכן לאחרונה
מבין ארבעת הדברים שאפשר לעשות לזוג שברים, כפל הוא ללא ספק הקל ביותר: כופלים את המונים, כופלים את המכנים, וזהו. בלי מכנה משותף, בלי היפוך, בלי סידור מחדש.
וזה מעלה את השאלה שרוב העמודים מדלגים עליה. חיבור שברים דורש שהמכנים יהיו שווים. למה כפל לא?
שני החיתוכים הולכים בכיוונים שונים, ולכן הם אף פעם לא צריכים להתאים, ובגלל זה בכפל לא צריך מכנה משותף. התשובה היא החפיפה.
התשובה היא החפיפה
הריבוע הוא שלם אחד. השבר הראשון חותך אותו לעמודות וצובע חלק מהן; השני חותך אותו לשורות וצובע חלק מהן. המלבן הצבוע בחוזקה הוא המקום שבו שתי הצביעות חופפות, והמלבן הזה הוא התשובה.
עם 3/4 ו־2/3 הריבוע נחתך ל־4 עמודות ו־3 שורות, וזה יוצר 12 משבצות קטנות. החפיפה מכסה 3 עמודות על 2 שורות, כלומר 6 משבצות. שש מתוך שתים עשרה:
3/4 * 2/3 = (3*2)/(4*3) = 6/12 = 1/2
שני המונים הוכפלו כי החפיפה היא כך וכך משבצות לרוחב על כך וכך לגובה. שני המכנים הוכפלו כי הריבוע כולו נחתך לכך וכך משבצות בסך הכול. שום דבר אחר לא יכול היה לקרות.
ועכשיו שאלת המכנה המשותף עונה על עצמה. שני החיתוכים הולכים בכיוונים שונים, ולכן הם אף פעם לא צריכים להתאים. בחיבור צריך חלקים תואמים כי סופרים חלקים יחד; כאן לא סופרים שום דבר יחד, לוקחים חלק מתוך חלק.
זה אומר "מתוך"
קראו את סימן הכפל כמתוך, וכבר לא צריך לזכור את כפל השברים:
- חצי מתוך חצי הוא רבע: 1/2 * 1/2 = 1/4
- שני שלישים מתוך שלושה רבעים הם חצי: 2/3 * 3/4 = 1/2
- שליש מתוך 60 הוא 20: 1/3 * 60 = 20
זו גם הסיבה שבעיה מילולית כמו "שלוש חמישיות מתוך כיתה של 30" היא כפל ולא משהו מסובך יותר.
תוצאה אחת מפילה אנשים. כפל בשבר קטן מ־1 מקטין דברים, כי לוקחים חלק מהם. 3/4 * 8 = 6, ו־6 קטן מ־8. זו לא טעות; זה מה ש"שלושה רבעים מתוך" אומר.
מספרים שלמים ומספרים מעורבים
מספר שלם הוא שבר עם 1 במכנה, וכשכותבים אותו כך, אותו כלל חל עליו:
4/5 * 10 = 4/5 * 10/1 = 40/5 = 8
מספר מעורב צריך קודם להפוך לשבר מדומה, כי אין דרך לכפול את החלק השלם ואת החלק השבור בנפרד ולקבל את התשובה הנכונה. 2 + 1/2 הוא 5/2, ולכן
5/2 * 2/3 = 10/6 = 5/3
אם מתחשק לכם לכפול את ה־2 ב־2 ואז את החצאים בשלישים, נסו את זה עם 2 וחצי כפול 2 וחצי: התשובה הנכונה היא 6 ורבע, והקיצור נותן 4 ורבע.
צמצמו קודם, והמספרים נשארים קטנים
מכיוון שהמכפלה כולה היא שבר אחד, כל מונה אפשר לצמצם עם כל מכנה לפני הכפל. קחו את 3/4 * 8/9:
- ל־3 ול־9 יש מחלק משותף 3, ונשארים 1 ו־3
- ל־4 ול־8 יש מחלק משותף 4, ונשארים 1 ו־2
ומה שנשאר הוא 1/1 * 2/3 = 2/3: התשובה הנכונה, בלי שכתבתם אף פעם 72. כפל קודם נותן 24/36, שמצטמצם לאותו 2/3 אחרי עוד קצת עבודה. צמצום מוקדם אינו שיטה אחרת, רק פחות חשבון.
נסו אחד
אם קיבלתם 10/12, זו הכמות הנכונה כתובה בצורה הלא נכונה: צמצמו אותה. אם הושטתם יד למכנה משותף, השלב הזה שייך לחיבור, והעמוד הזה הוא הסיבה שאפשר לדלג עליו כאן.
שאלות נפוצות
- איך כופלים שברים?
- כופלים את שני המונים זה בזה ואת שני המכנים זה בזה, ואז מצמצמים. כך 3/4 x 2/3 = 6/12, שזה 1/2. אין שלב של מכנה משותף ואין היפוך: אלה שייכים לחיבור ולחילוק.
- למה לא צריך מכנה משותף בכפל?
- כי שני השברים חותכים את השלם בכיוונים שונים. בחיבור צריך שהחלקים יהיו באותו גודל כדי שאפשר יהיה לספור אותם יחד; בכפל לוקחים שבר מתוך שבר, ולכן חיתוך אחד עובר לרוחב השני והם אף פעם לא צריכים להתאים. בריבוע שלמעלה, שבר אחד חותך עמודות והשני חותך שורות.
- מה כפל שברים אומר בעצם?
- הוא אומר "מתוך". חצי מתוך חצי הוא רבע, וזה בדיוק מה ש־1/2 x 1/2 = 1/4 אומר. קריאה של סימן הכפל כמילה "מתוך" הופכת את רוב הבעיות המילוליות לחישוב ברור: שני שלישים מתוך 3/4 הם 2/3 x 3/4.
- איך כופלים שבר במספר שלם?
- כותבים את המספר השלם מעל 1 וממשיכים כרגיל. 4/5 x 10 הופך ל־4/5 x 10/1 = 40/5 = 8. שווה לשים לב שהתשובה גדלה, כי כפל במספר גדול מ־1 תמיד מגדיל משהו, בעוד שכפל בשבר קטן מ־1 תמיד מקטין אותו.
- אפשר לצמצם לפני הכפל?
- כן, ובדרך כלל זה קל יותר. כל מונה אפשר לצמצם עם כל מכנה לפני הכפל, כי המכפלה כולה היא שבר גדול אחד. ב־3/4 x 8/9 ל־3 ול־9 יש מחלק משותף 3 ול־4 ול־8 יש מחלק משותף 4, ונשאר 1/1 x 2/3 = 2/3 בלי לכתוב אף פעם מספרים גדולים.
רוצים להריץ את זה על המספרים שלכם?
מחשבון שברים פתיחת המחשבון