מהו חוק הפילוג?

הוא אומר שכפל של סכום נותן את אותה תשובה כמו כפל של כל חלק ואז חיבור: a(b + c) = ab + ac. הוא מה שמאפשר לפתוח סוגריים באלגברה, והוא הסיבה שאפשר לחשב 7 × 23 בראש כ־7 × 20 ועוד 7 × 3.

למה a(b + c) = ab + ac נכון?

כי שני האגפים הם השטח של אותו מלבן. למלבן שגובהו a ורוחבו (b + c) יש שטח a(b + c). חותכים אותו בקו אנכי לחלק ברוחב b ולחלק ברוחב c, ושני השטחים הם ab ו־ac. חיתוך של צורה לא משנה כמה ממנה יש, ולכן שני הביטויים חייבים להיות שווים.

איך זה עובד עם סימן מינוס?

הסימן עובר לכל איבר בתוך הסוגריים. לכן -2(x + 3) הוא -2x - 6, ולא -2x + 6: שני האיברים מוכפלים ב־-2. זו הטעות הנפוצה ביותר עם סוגריים, ושווה לבדוק אותה בכל פעם על ידי הצבה של מספר.

מה ההבדל בין פתיחת סוגריים לפירוק לגורמים?

זו אותה עובדה שמשמשת בכיוונים הפוכים. פתיחת סוגריים הולכת מ־a(b + c) ל־ab + ac ומסירה את הסוגריים. פירוק לגורמים הולך מ־ab + ac בחזרה ל־a(b + c) ומכניס אותם. היכולת להפעיל את החוק בכיוון ההפוך היא מה שמאפשר פירוק לגורמים בכלל.

האם FOIL (פתיחת סוגריים כפולה) הוא חוק הפילוג?

כן. FOIL הוא פשוט חוק הפילוג שמופעל פעמיים. כדי לפתוח את (x + 2)(x + 3) מפלגים את הסוגריים הראשונים כולם על השניים, ואז מפלגים שוב בתוך כל חלק. FOIL הוא כלי זיכרון לארבע המכפלות שמתקבלות; הוא לא חוק נפרד, ולכן הוא מפסיק לעבוד כשבסוגריים יש שלושה איברים, וחוק הפילוג עדיין עובד.

חוק הפילוג

את a(b + c) = ab + ac בדרך כלל מנסחים ואז משננים. קל יותר לזכור אותו אחרי שרואים אותו, כי הוא תמונה: מלבן אחד, חתוך לשניים.

מאת Nethanel Bar, מייסד שותף ומנכ"ל

עודכן לאחרונה 25 באוגוסט 2026

כמעט בטוח שכבר השתמשתם בחוק הפילוג בלי שאמרו לכם איך קוראים לו. כשמבקשים 7 × 23, רוב האנשים מחשבים 7 × 20 = 140, אחר כך 7 × 3 = 21, ואז מחברים ומקבלים 161. זה 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3: החוק, מופעל על חשבון.

באלגברה הוא עושה את אותה עבודה על אותיות, והוא הסיבה שאפשר בכלל להסיר סוגריים. הנה למה הוא נכון.

3(4 + 2) = 3*4 + 3*2 = 18

חיתוך המלבן לא משנה את השטח שלו. זה כל חוק הפילוג.

זה מלבן אחד, חתוך

כוונו את המחוונים ל־a = 3, b = 4, c = 2 והסתכלו על הצורה.

המלבן כולו בגובה 3 וברוחב 4 + 2 = 6, ולכן השטח שלו הוא 3(4 + 2) = 18. החיתוך האנכי מפצל אותו לחלק של 3 על 4 ולחלק של 3 על 2, עם שטחים 3*4 = 12 ו־3*2 = 6, ו־12 + 6 הם 18.

זו כל ההוכחה. חיתוך מלבן לא משנה את השטח שלו, ולכן הביטוי האחד והביטוי משני החלקים חייבים להיות שווים, יהיו המספרים אשר יהיו. הזיזו את שלושת המחוונים, ושני הסכומים אף פעם לא יהיו שונים.

בכתיבה כללית: a(b + c) = a*b + a*c.

שווה לשים לב לתוויות הרוחב והגובה, כי הן אומרות איזה מספר עושה מה. ה־a נמצא מחוץ לסוגריים והוא מכפיל את שני החלקים, כי שני החלקים בגובה a. שום דבר בתוך הסוגריים לא מכפיל שום דבר אחר.

המקרה השלילי, שבו אנשים מועדים

עכשיו גררו את c מתחת לאפס.

המלבן השני משנה צבע ועובר לתוך הראשון, כי רוחב שלילי אומר שהחלק מוחסר. עם a = 3, b = 4 ו־c = -2, הסך הכול הוא 3(4 - 2) = 6, ושני החלקים הם 3*4 = 12 ומינוס 3*2 = 6. שתים עשרה פחות שש.

לכן סימן המינוס עובר לאיבר השני:

a(b - c) = a*b - a*c

זו הטעות שכדאי להישמר ממנה. לכתוב את -2(x + 3) כ־-2x + 6 זה שגוי; ה־-2 מכפיל את שני האיברים, ומתקבל -2x - 6. אם אתם אי פעם לא בטוחים, הציבו מספר: ב־x = 1 הביטוי המקורי הוא -2(1 + 3) = -8, ורק -2x - 6 נותן -8.

שימוש בו כדי לפתור משהו

הסרת סוגריים היא לעתים רחוקות המטרה עצמה: היא צעד לקראת בידוד של אות. הנה היא בתוך פתרון:

שווה לשים לב: הדרך שלמעלה בכלל לא פתחה את הסוגריים, כי מאחר ש־27 מתחלק ב־3 היה מהיר יותר לחלק קודם את שני האגפים. חוק הפילוג הוא כלי, לא חובה: פתיחה ל־3x + 12 = 27 מגיעה לאותו x = 5 בדרך ארוכה יותר.

הפעלה בכיוון ההפוך

קראו את השוויון a*b + a*c = a(b + c) בכיוון ההפוך לפתיחת סוגריים ותקבלו פירוק לגורמים: מזהים גורם שמשותף לכל האיברים ומוציאים אותו החוצה. 6x + 9 הופך ל־3(2x + 3) כי שני האיברים מתחלקים ב־3.

זו אותה תמונה, מהכיוון השני: במקום לחתוך מלבן, שמים לב שלשני מלבנים יש אותו גובה ואפשר להצמיד אותם.

נסו אחד

בתרגיל הזה המינוס נמצא בחוץ בכוונה. אם קיבלתם -1, סימן המינוס לא הגיע ל־3.

שאלות נפוצות

מהו חוק הפילוג?: הוא אומר שכפל של סכום נותן את אותה תשובה כמו כפל של כל חלק ואז חיבור: a(b + c) = ab + ac. הוא מה שמאפשר לפתוח סוגריים באלגברה, והוא הסיבה שאפשר לחשב 7 × 23 בראש כ־7 × 20 ועוד 7 × 3.
למה a(b + c) = ab + ac נכון?: כי שני האגפים הם השטח של אותו מלבן. למלבן שגובהו a ורוחבו (b + c) יש שטח a(b + c). חותכים אותו בקו אנכי לחלק ברוחב b ולחלק ברוחב c, ושני השטחים הם ab ו־ac. חיתוך של צורה לא משנה כמה ממנה יש, ולכן שני הביטויים חייבים להיות שווים.
איך זה עובד עם סימן מינוס?: הסימן עובר לכל איבר בתוך הסוגריים. לכן -2(x + 3) הוא -2x - 6, ולא -2x + 6: שני האיברים מוכפלים ב־-2. זו הטעות הנפוצה ביותר עם סוגריים, ושווה לבדוק אותה בכל פעם על ידי הצבה של מספר.
מה ההבדל בין פתיחת סוגריים לפירוק לגורמים?: זו אותה עובדה שמשמשת בכיוונים הפוכים. פתיחת סוגריים הולכת מ־a(b + c) ל־ab + ac ומסירה את הסוגריים. פירוק לגורמים הולך מ־ab + ac בחזרה ל־a(b + c) ומכניס אותם. היכולת להפעיל את החוק בכיוון ההפוך היא מה שמאפשר פירוק לגורמים בכלל.
האם FOIL (פתיחת סוגריים כפולה) הוא חוק הפילוג?: כן. FOIL הוא פשוט חוק הפילוג שמופעל פעמיים. כדי לפתוח את (x + 2)(x + 3) מפלגים את הסוגריים הראשונים כולם על השניים, ואז מפלגים שוב בתוך כל חלק. FOIL הוא כלי זיכרון לארבע המכפלות שמתקבלות; הוא לא חוק נפרד, ולכן הוא מפסיק לעבוד כשבסוגריים יש שלושה איברים, וחוק הפילוג עדיין עובד.