SOHCAHTOA: sin, cos ו-tan במשולש ישר זווית
ניצב מול הזווית וניצב ליד הזווית הם לא תכונות של צלע. הם תכונות של צלע ביחס לזווית, וכמעט כל טעות ב-SOHCAHTOA נובעת מכך שהמשפט הזה לא נקלט.
עודכן לאחרונה
SOHCAHTOA הוא כלי זיכרון טוב לעובדה שאנשים בדרך כלל כבר יודעים חלקית, והוא לא עושה כלום נגד מה שבאמת משתבש. הטעות כמעט אף פעם לא באותיות. הטעות היא שמתייחסים ל"מול הזווית" ול"ליד הזווית" כאל תוויות שצבועות על המשולש, כשבפועל הן תלויות לגמרי בזווית שבה אתם עומדים.
שנו את המשולש למטה, ואז העבירו את הזווית המסומנת מ-A ל-B וראו את התוויות מתחלפות בלי שאף קו זז.
החליפו את הזווית המסומנת. המשולש לא זז, אבל הניצב שמול הזווית והניצב שלידה מתחלפים, ולכן המונחים האלה תמיד צריכים זווית שהם מתייחסים אליה.
קראו לצלעות לפי הזווית, לא לפי הדף
היתר הוא הקל: תמיד הצלע הארוכה ביותר, תמיד זו שמול הזווית הישרה, והוא לא משתנה לא משנה מאיזו זווית חדה אתם עובדים.
שתי האחרות כן משתנות:
- הניצב מול הזווית הוא זה שלא נוגע בזווית שלכם;
- הניצב ליד הזווית הוא הניצב שכן נוגע בה.
זה כל כלל השמות, ובגלל זה בשרטוט יש מתג A/B. במשולש 3-4-5, הצלע באורך 4 נמצאת מול זווית אחת וליד הזווית השנייה. השאלה אם 4 "הוא הניצב שמול הזווית" היא שאלה בלי תשובה עד שבוחרים זווית.
שלושת היחסים
כשהצלעות קיבלו שמות, כלי הזיכרון סוף סוף אומר משהו. האותיות באות מהמילים באנגלית: Opposite (מול הזווית), Adjacent (ליד הזווית) ו-Hypotenuse (יתר).
| יחס | שווה ל | כלי זיכרון |
|---|---|---|
| סינוס | הניצב מול הזווית חלקי היתר | SOH |
| קוסינוס | הניצב ליד הזווית חלקי היתר | CAH |
| טנגנס | הניצב מול הזווית חלקי הניצב ליד הזווית | TOA |
שניים מהם משתמשים ביתר; טנגנס יוצא הדופן ולא משתמש בו. לעיתים קרובות זו הדרך המהירה ביותר לבחור: אם היתר לא מופיע בשאלה בכלל, אתם צריכים טנגנס.
למה הגודל לא משנה
זו העובדה שבזכותה טריגונומטריה אפשרית בכלל. הכפילו כל צלע של משולש ישר זווית והזוויות לא משתנות, וגם אף יחס לא משתנה, כי ההכפלה מצטמצמת:
(2*3)/(2*5) = 3/5
לכן sin של זווית הוא תכונה של הזווית, לא של משולש מסוים. זה מה שמאפשר לטבלת סינוסים להתקיים, וזו הסיבה שמחשבון יכול לענות בלי שיגידו לו את הגודל של שום דבר.
הזיזו את שני המחוונים בשרטוט תוך שמירה על אותו יחס ביניהם, 3 ו-4, אחר כך 6 ו-8, וראו ששלושת הערכים המוצגים לא זזים.
לבחור את היחס הנכון
השיטה היא תמיד אותם שלושה צעדים.
- סמנו את הזווית שלכם, ואז תנו שמות לשלוש הצלעות ביחס אליה.
- בדקו באילו שתי צלעות השאלה עוסקת: אחת שאתם יודעים ואחת שאתם מחפשים.
- בחרו את היחס שבנוי משתיהן.
סולם באורך 10 מטרים נשען בזווית של 65° לקרקע; לאיזה גובה הוא מגיע? הסולם הוא היתר, הגובה נמצא מול הזווית, כך שמול הזווית ויתר פירושם סינוס: sin(65°) = h/10, ולכן h = 10sin(65°).
שום דבר בחשיבה הזו לא דרש לזכור נוסחה לסולמות.
נסו בעצמכם
במשולש ישר זווית הניצבים הם 6 ו-8, כך שהיתר הוא 10. מהו הסינוס של הזווית שמול הצלע באורך 6?
אם עניתם 6/8, היתר התבלבל עם ניצב, וזו בדיוק הטעות שהמילה "יתר" קיימת כדי למנוע.
לאן זה ממשיך
יש שני כיוונים מכאן. זוויות מסוימות נותנות יחסים מדויקים בלי מחשבון בכלל, במשולשים 30-60-90 ו-45-45-90, ושווה להכיר אותם בעל פה. מעבר לזה, מעגל היחידה לוקח את אותם שלושה יחסים ומשחרר אותם מהמשולש לגמרי, כך שהם ממשיכים להיות בעלי משמעות גם מעבר ל-90 מעלות.
שאלות נפוצות
- מה פירוש SOHCAHTOA?
- Sine is Opposite over Hypotenuse, Cosine is Adjacent over Hypotenuse, Tangent is Opposite over Adjacent: סינוס הוא הניצב מול הזווית חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב ליד הזווית חלקי היתר, וטנגנס הוא הניצב מול הזווית חלקי הניצב ליד הזווית. זה כלי זיכרון לשלושת היחסים במשולש ישר זווית, והוא עובד רק כשיודעים איזו צלע נחשבת מול הזווית ואיזו ליד הזווית, וזה תלוי בזווית שממנה עובדים.
- איזה ניצב נמצא מול הזווית ואיזה ליד הזווית?
- בחרו קודם את הזווית. היתר הוא תמיד הצלע הארוכה ביותר, מול הזווית הישרה, והוא אף פעם לא משתנה. משתי הצלעות הנותרות, זו שלא נוגעת בזווית שלכם היא הניצב מול הזווית; זו שנוגעת בה היא הניצב ליד הזווית. עברו לזווית החדה השנייה ושתיהן מתחלפות.
- איך יודעים אם להשתמש ב-sin, cos או tan?
- סמנו את שלוש הצלעות ביחס לזווית שלכם, ואז בדקו באילו שתיים השאלה עוסקת. אם היא מזכירה את הניצב מול הזווית ואת היתר, זה סינוס; את הניצב ליד הזווית ואת היתר, קוסינוס; את שני הניצבים בלי יתר באופק, טנגנס. בחירת היחס תלויה במה שיש לכם ובמה שאתם מחפשים, לא בצורה.
- למה היחס לא משתנה כשהמשולש גדל?
- כי הגדלה של משולש מכפילה כל צלע באותו גורם, כך שכל יחס בין שתי צלעות נשאר זהה: הגורם מצטמצם במונה ובמכנה. שני משולשים ישרי זווית עם אותן זוויות הם דומים, ולכן sin של 30 מעלות הוא אותו מספר במשולש בגודל של מטבע ובמשולש בגודל של מגרש.
- האם SOHCAHTOA עובד במשולשים בלי זווית ישרה?
- לא. שלושת היחסים מוגדרים מתוך משולש ישר זווית, כך שמשולש בלי זווית ישרה צריך כלים אחרים: משפט הסינוסים או משפט הקוסינוסים. פתרון עוקף נפוץ הוא להוריד גובה ולחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית, ולמעשה כך נגזרים שני המשפטים.
