מקדם המתאם

שימו שתי מדידות זו לצד זו, שעות שינה וזמן תגובה, או טמפרטורה ומכירות גלידה, ושרטטו אחת מול השנייה. לפעמים הנקודות עולות משמאל לימין, לפעמים יורדות, ולפעמים הן יוצרות ענן בלי צורה. מקדם המתאם r הופך את הרושם הזה למספר אחד בין -1 ל־1.

גררו את הנקודות שלמטה. שני הקווים המקווקווים מסמנים את הממוצע של x ואת הממוצע של y, וכל נקודה צבועה לפי המיקום שלה ביחס אליהם. נסו קודם את שלוש ההגדרות המוכנות, ואז משכו נקודה אחת רחוק מהשאר וראו מה היא עושה ל־r.

מה המספר אומר

r תמיד נמצא בין -1 ל־1, והוא נושא שתי פיסות מידע נפרדות.

הסימן הוא הכיוון. r חיובי אומר שכש־x גדול יותר, y נוטה להיות גדול יותר גם הוא. r שלילי אומר שכש־x גדול יותר, y נוטה להיות קטן יותר. הוא לא אומר כלום על מידת התלילות של המגמה: ישר שעולה בעדינות וישר שעולה בחדות יכולים שניהם לקבל r = 1.

הגודל הוא עד כמה הנקודות צמודות לקו ישר. ב־1 או ב־-1 בדיוק, כל נקודה יושבת על ישר אחד. ב־0 אין בכלל מגמה של קו ישר.

הגרף שלמעלה מתייג את r לפי הגבולות שרוב ספרי הלימוד משתמשים בהם:

הגבולות האלה הם מוסכמה, לא משפט. הם שימושיים כדי לתאר תוצאה במילים, וכל תחום מזיז אותם: פיזיקאי שמודד r = 0.9 בין שני גדלים שאמורים להיות פרופורציוניים בדיוק יש לו בעיה, בעוד שפסיכולוג שמוצא r = 0.4 בין שתי תכונות יש לו תוצאה.

מאיפה מגיעה הנוסחה

כל נקודה יושבת באחד מארבעה אזורים שיוצרים שני הממוצעים המקווקווים. לנקודה שנמצאת למעלה ומימין למרכז יש x מעל הממוצע שלו ו־y מעל הממוצע שלו. למעלה ומשמאל, x מתחת ו־y מעל. כל הנוסחה בנויה על התמונה הזאת:

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

הסתכלו קודם על המונה. לכל נקודה, הכפילו את המרחק של x מהממוצע שלו במרחק של y מהממוצע שלו. באזורים הימני העליון והשמאלי התחתון לשני המרחקים יש אותו סימן, ולכן המכפלה חיובית. בשני האזורים האחרים הסימנים שונים והמכפלה שלילית. חיבור המכפלות נותן סכום שהסימן שלו הוא הסימן של r, ולכן הצבעים בגרף מראים לכם את הכיוון לפני שהמספר מראה: הנקודות הכחולות דוחפות את r למעלה והנקודות הכתומות מושכות אותו למטה.

המכנה רק משנה קנה מידה. הוא מחלק בפיזור של x ובפיזור של y, כך שהתוצאה כבר לא תלויה ביחידות ולא יכולה לעבור את 1 לאף כיוון.

חישוב ביד

קחו חמש נקודות: x = 1, 2, 3, 4, 5 ו־y = 2, 4, 5, 4, 5. הממוצע של x הוא 3 והממוצע של y הוא 4.

ולכן r = 6/√60 = √15/5, שזה בערך 0.7746: מתאם חיובי חזק.

שימו לב שהתשובה המדויקת היא שורש. כאן r² יוצא בדיוק 3/5, שבר פשוט, ו־r הוא השורש שלו עם הסימן של המונה. בגלל זה מחשבון מקדם המתאם מציג את r כביטוי עם שורש ולידו הערך העשרוני, ולא רק כמספר עשרוני מעוגל.

ספרי לימוד רבים נותנים את אותה נוסחה בצורה שדורשת רק סכומים מצטברים, בלי לחסר קודם ממוצעים:

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

עבור אותן חמש נקודות n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 ו־Σy² = 86. המונה הוא 5 × 66 פחות 15 × 20 = 30, ושני הסוגריים במכנה הם 50 ו־30, ולכן r = 30 / √1500, אותו √15/5.

r ו־r בריבוע

העלו את r בריבוע ותקבלו את r², מקדם הקביעה. עבור חמש הנקודות שלמעלה, r² = 0.6. קוראים אותו כחלק: קו המגמה שעובר דרך הנקודות האלה מסביר 60% מהשונות של y, ו־40% הנותרים הם פיזור שהישר לא יכול להסביר.

שני המספרים עונים על שאלות שונות. r אומר לכם כיוון ועוצמה יחד, וזה מה שרוצים כשמתארים קשר. r² מוריד את הסימן, כך ש־r = -0.9 ו־r = 0.9 נותנים שניהם 0.81, והוא המספר שמצטטים כשהשאלה היא כמה ישר מסביר. הוא גם תמיד קטן מ־|r| אלא אם r הוא 0 או ±1, כך ש־r של 0.5 שנשמע מכובד הופך ל־r² של 0.25: הישר מסביר רבע מהשונות.

מתאם אינו סיבתיות

r חזק אומר ששני גדלים זזים יחד בנתונים האלה. הוא לא אומר למה, ויש שלוש סיבות נפוצות שאין להן שום קשר לכך שאחד גורם לשני.

• גודל שלישי מניע את שניהם. מכירות גלידה ותאונות שחייה עולות ויורדות יחד. מזג אוויר חם גורם לשתיהן.
• הסיבה פועלת בכיוון ההפוך. טחנות רוח מסתובבות מהר יותר בימים עם רוח חזקה יותר. הרוח מסובבת את הטחנות; הטחנות לא יוצרות את הרוח.
• צירוף מקרים. השוו מספיק סדרות לא קשורות וחלק מהן יתאימו במקרה, במיוחד לאורך קומץ שנים.

כדי להראות ש־x גורם ל־y צריך משהו שמתאם לא יכול לספק: ניסוי מבוקר, או טיעון לגבי המנגנון שפוסל את האפשרויות האחרות.

מה r לא יכול לראות

המספר הוא סיכום, וסיכום מסתיר דברים. שלושה מהם שווה להכיר.

עקומות. הנקודות (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) נמצאות בדיוק על y = x^2, ומקדם המתאם שלהן הוא בדיוק 0. החצי השמאלי יורד, החצי הימני עולה, והמכפלות מבטלות זו את זו. r מודד רק קשרים של קו ישר, כך שעקומה מושלמת יכולה לקבל אפס.

ערכים חריגים. התחילו מחמש הנקודות שלמעלה, r ≈ 0.7746, והוסיפו נקודה אחת ב־(10, 0). ה־r החדש הוא בערך -0.5529. נקודה אחת הפכה את הסימן. זה עובד גם בכיוון השני: x = 1 עד 5 עם y = 3, 1, 4, 1, 5 נותן r חלש ≈ 0.3536, והוספת נקודה אחת ב־(12, 12) מעלה אותו לבערך 0.9084 בלי לשנות בכלל את חמש האחרות. נסו את שניהם בגרף: גררו נקודה אחת לפינה וראו מה קורה ל־r.

מה שלא משנה. שינוי יחידות לא משפיע על r. מדדו את x בסנטימטרים במקום במטרים, או הכפילו כל x ב־10, ו־r עדיין √15/5. גם החלפה של המשתנה שהוא x והמשתנה שהוא y לא משנה את r, בניגוד לקו המגמה, שמשתנה כשמחליפים אותם.

אז הסתכלו על דיאגרמת הפיזור לפני שאתם מצטטים את r, ובדקו את השאריות של הישר המותאם כדי לחפש דפוס שהמספר היה מסתיר.

נסו אחד

לשני גדלים יש מקדם מתאם r = -0.9. כמה זה r בריבוע?

התשובה חיובית למרות ש־r שלילי, והיא קטנה מ־0.9. אם קיבלתם -0.81, הסימן נגרר לתוך הריבוע; אם קיבלתם 0.9, דילגתם על ההעלאה בריבוע. כדי למצוא את r לנתונים שלכם, הדביקו את שתי העמודות במחשבון מקדם המתאם, שמציג את טבלת הסכומים ואת הנוסחה עם הערכים המוצבים.