Trường hợp đơn giản: 2⁵
plain
2^5Năm số 2 nhân với nhau: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Đây là trường hợp duy nhất số mũ thực sự đếm số thừa số, và đáng viết ra một lần để thấy các trường hợp bên dưới khác nó ở chỗ nào.
Máy tính lũy thừa
Lũy thừa có nêu tên quy tắc, kể cả số mũ âm và số mũ phân số.
Cập nhật lần cuối
Muốn tự giải mà không cần máy tính?
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Số mũ đếm số thừa số, cho đến khi nó không còn là phép đếm
Với số mũ nguyên dương thì không có gì phải giải thích: 2⁵ nghĩa là năm số 2 nhân với nhau, bằng 32. Những trường hợp thú vị là khi số mũ không còn đếm số thừa số nữa, và có ba trường hợp như vậy: số mũ bằng 0, số mũ âm và số mũ phân số. Mỗi trường hợp có một quy tắc riêng, và mọi quy tắc đều suy ra từ cùng một sự thật: nhân các lũy thừa cùng cơ số thì cộng các số mũ.
Số mũ 0: 2³ ÷ 2³ bằng 1, và trừ các số mũ được 2⁰, nên 2⁰ phải bằng 1, với mọi cơ số trừ chính số 0. Số mũ âm: 2³ ÷ 2⁵ bằng 1/4, và trừ các số mũ được 2⁻², nên số mũ âm là phép nghịch đảo, không bao giờ cho đáp án âm. Số mũ phân số: 2^(1/2) nhân 2^(1/2) bằng 2¹, nên 2^(1/2) là số mà bình phương lên bằng 2, tức là căn bậc hai.
Mọi kết quả ở đây đều chính xác. 2⁻³ là 1/8 chứ không phải 0,125, (2/3)³ là 8/27, 9^(1/2) đúng bằng 3, còn 8^(1/2) giữ nguyên là 2√2 thay vì rút gọn thành 2,828. Dạng thập phân được hiển thị bên cạnh đáp án chính xác khi có, và được ghi rõ là giá trị gần đúng khi nó là gần đúng.
Những điều cần để ý
- Số mũ âm cho ra số nghịch đảo, không phải số âm. 2⁻³ bằng 1/8 và là số dương; chỉ có cơ số âm mới có thể làm đáp án âm.
- Số mũ 0 cho kết quả 1 với mọi cơ số trừ 0. 0⁰ không có giá trị được thống nhất, còn 0 mũ âm sẽ dẫn đến chia cho 0.
- Số mũ phân số là phép khai căn: mẫu số cho biết căn bậc mấy, tử số là số mũ. 8^(2/3) là căn bậc ba của 8 rồi bình phương, bằng 4.
- Lũy thừa của một phân số thì lũy thừa cả tử và mẫu. (2/3)³ bằng 8/27: mẫu số cũng được lập phương, và đây là bước hay bị bỏ qua nhất.
- Dấu của cơ số âm chỉ do số mũ quyết định: số mũ chẵn làm các dấu trừ triệt tiêu theo cặp và cho đáp án dương, số mũ lẻ để lại một dấu trừ.
- Dấu ngoặc thay đổi tất cả. (−2)⁴ bằng 16 nhưng −2⁴ bằng −16, vì khi không có ngoặc, phép lũy thừa được ưu tiên hơn dấu trừ.
Cách tính một lũy thừa
Xem dấu của số mũ trước
Nếu số mũ âm, viết số nghịch đảo và đổi số mũ thành dương: 2⁻³ thành 1/2³. Làm bước này trước sẽ tránh được lỗi kinh điển là trả lời −8.
Xem số mũ có phải phân số không
Số mũ phân số là phép khai căn. Mẫu của phân số chọn căn bậc mấy, tử là số mũ: x^(m/n) là căn bậc n của x^m.
Xử lý cơ số là phân số
Lũy thừa tử số và mẫu số riêng. (2/3)³ là 2³ trên 3³, bằng 8/27.
Nhân phần còn lại
Lúc này số mũ nguyên chỉ còn là phép nhân lặp lại. Nhớ để ý dấu: số lẻ thừa số âm cho đáp án âm.
Hoàn tất phép nghịch đảo, nếu có
Lật ngược kết quả vừa tính. 1/2³ bằng 1/8; kiểm tra xem đáp án có nhỏ hơn 1 không, vì số mũ âm với cơ số lớn hơn 1 luôn cho kết quả như vậy.
Các lũy thừa và quy tắc đằng sau
Bốn trường hợp không đơn thuần là phép nhân lặp lại, đặt cạnh những trường hợp thông thường.
| Lũy thừa | Quy tắc | Đáp án chính xác | Dạng thập phân |
|---|---|---|---|
| 2⁵ | phép nhân lặp lại | 32 | 32 |
| 2⁰ | mọi số khác 0 mũ 0 đều bằng 1 | 1 | 1 |
| 2⁻³ | số mũ âm là phép nghịch đảo | 1/8 | 0,125 |
| (2/3)³ | lũy thừa cả tử và mẫu | 8/27 | 0,296… |
| 9^(1/2) | số mũ phân số là phép khai căn | 3 | 3 |
| 8^(1/2) | căn được rút gọn, không làm tròn | 2√2 | 2,828… |
| (−2)⁴ | số mũ chẵn, các dấu trừ triệt tiêu theo cặp | 16 | 16 |
| (−2)³ | số mũ lẻ, còn dư một dấu trừ | −8 | −8 |
Ví dụ có lời giải
Số mũ âm: 2⁻³
plain
2^-3Không phải −8. Số mũ âm nghĩa là nghịch đảo: 2⁻³ là 1/2³ = 1/8. Lý do nằm ở phép chia: 2² ÷ 2⁵ bằng 1/8, và trừ các số mũ được 2⁻³, nên hai giá trị phải bằng nhau. Đáp án là số dương và nhỏ hơn 1.
Cơ số là phân số: (2/3)³
plain
(2/3)^3Lập phương cả hai phần: 2³ trên 3³, bằng 8/27. Chỉ lập phương tử số, một lỗi rất phổ biến, sẽ cho 8/3, lớn gấp hơn 8 lần. Ở dạng thập phân là 0,296… và không bao giờ dừng, nên phân số mới là đáp án trung thực.
Số mũ phân số: 9^(1/2)
plain
9^1/2Lũy thừa 1/2 là căn bậc hai, nên đây là √9 = 3, chính xác. Lý do: 9^(1/2) nhân 9^(1/2) thì cộng số mũ được 9¹, nên 9^(1/2) phải là số mà bình phương lên bằng 9.
Khi căn không khai được: 8^(1/2)
plain
8^1/2√8 là số vô tỉ, nên đáp án giữ dạng căn, được rút gọn thành 2√2 bằng cách đưa thừa số chính phương 4 ra ngoài dấu căn. Số thập phân 2,828… nằm bên cạnh như một giá trị gần đúng, không bao giờ thay thế nó.
Dấu của cơ số âm: (−2)⁴ và (−2)³
plain
(-2)^4Bốn thừa số âm ghép thành hai cặp tích dương, nên (−2)⁴ = 16. Ba thừa số để lại một dấu trừ không có cặp, nên (−2)³ = −8. Chỉ số mũ quyết định dấu; và lưu ý rằng −2⁴ không có ngoặc nghĩa là −(2⁴) = −16, đó là một bài toán khác.
Lỗi thường gặp
- Hiểu số mũ âm thành đáp án âm. 2⁻³ bằng 1/8, không phải −8: dấu trừ chuyển lũy thừa xuống mẫu số, chứ không chuyển sang đáp án.
- Nhân cơ số với số mũ. 2⁵ bằng 32, không phải 10. Số mũ đếm số thừa số, nó không phải là số nhân.
- Chỉ lũy thừa tử số của phân số. (2/3)³ bằng 8/27, không phải 8/3: mẫu số cũng được lập phương.
- Bỏ dấu ngoặc quanh cơ số âm. (−2)⁴ bằng 16 còn −2⁴ bằng −16, vì phép lũy thừa được ưu tiên hơn dấu trừ.
- Nghĩ rằng 0⁰ bằng 1 hoặc 0. Nó không có giá trị được thống nhất; mỗi lĩnh vực chọn một quy ước khác nhau, và trang này từ chối tính thay vì chọn một.
- Làm tròn căn thay vì rút gọn. 8^(1/2) chính xác là 2√2; 2,83 chỉ là giá trị gần đúng, và nó hết hữu ích ngay khi giá trị đó được bình phương trở lại.
Câu hỏi thường gặp về lũy thừa
Số mũ âm nghĩa là gì?
Là phép nghịch đảo. x⁻ⁿ bằng 1/xⁿ, nên 2⁻³ bằng 1/8, một số dương nhỏ hơn 1. Điều này suy ra từ phép chia lũy thừa: 2² ÷ 2⁵ bằng 1/8 và trừ các số mũ được 2⁻³, nên hai giá trị phải là một.
Vì sao mọi số mũ 0 đều bằng 1?
Vì chia một lũy thừa cho chính nó được 1, và trừ các số mũ được 0: 2³ ÷ 2³ = 1 và cũng = 2⁰. Ngoại lệ duy nhất là 0⁰, không có giá trị được thống nhất: quy luật buộc kết quả bằng 1 cần một cơ số mà ta được phép chia cho nó.
Số mũ phân số nghĩa là gì?
Là phép khai căn. Mẫu số cho biết căn bậc mấy, tử số là số mũ: x^(1/2) là căn bậc hai, x^(1/3) là căn bậc ba, còn x^(2/3) là căn bậc ba của x bình phương. Điều này suy ra từ phép nhân lũy thừa: x^(1/2) nhân x^(1/2) bằng x¹.
Làm sao để tính lũy thừa của một phân số?
Lũy thừa tử số và mẫu số riêng: (2/3)³ = 2³/3³ = 8/27. Chỉ làm với tử số là lỗi phổ biến nhất ở đây, và kết quả sai lệch đúng bằng mẫu số mũ lên số mũ đó.
(−2)⁴ có giống −2⁴ không?
Không, và điều này đáng ghi nhớ. (−2)⁴ là −2 mũ bốn, bằng +16. Khi không có ngoặc, −2⁴ nghĩa là −(2⁴) = −16, vì phép lũy thừa được thực hiện trước khi áp dụng dấu trừ. Luôn đặt cơ số âm trong ngoặc.
Khi nào lũy thừa của một số âm là số dương?
Khi số mũ chẵn. Mỗi cặp thừa số âm nhân với nhau ra số dương, nên số chẵn thừa số âm không để lại gì âm, còn số lẻ để lại đúng một dấu trừ. (−3)² bằng 9 và (−3)³ bằng −27.
2 mũ 1/2 bằng bao nhiêu?
Bằng căn bậc hai của 2, một số vô tỉ, nên đáp án chính xác là √2 còn 1,414… chỉ là giá trị gần đúng. Trang này giữ dạng căn và rút gọn khi có thể: 8^(1/2) được viết là 2√2 thay vì để nguyên √8.
Máy tính này có tính căn bậc ba được không?
Có. Số mũ phân số được tính chính xác như căn bậc bất kỳ, đến căn bậc 12: 8^(1/3) bằng 2, 16^(3/4) bằng 8, còn 54^(1/3) giữ nguyên là 3∛2 thay vì thành số thập phân. Căn bậc lẻ của cơ số âm cũng tính được ((-8)^(1/3) bằng -2); căn bậc chẵn của số âm không phải là số thực, và trang sẽ nói rõ điều đó.
