Phân tích mọi đa thức thành nhân tử, kèm tên hằng đẳng thức hay phương pháp ở mỗi bước.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Khi phân tích một đa thức thành nhân tử, chỉ có khoảng sáu điều có thể xảy ra: đặt nhân tử chung ra ngoài, hiệu hai bình phương tách ra, bình phương của một tổng hay một hiệu gộp lại thành một ngoặc bình phương, tam thức bậc hai tách thành hai ngoặc, bốn hạng tử nhóm thành từng cặp, hoặc tổng hay hiệu hai lập phương được khai triển. Mọi bài phân tích nhân tử trong đại số ở trường đều thuộc một trong các dạng đó, hoặc là một dạng được áp dụng hai lần.
Vì vậy, điều hữu ích mà một máy tính có thể cho bạn biết không phải là đáp án, mà là nó đã dùng dạng nào và vì sao chọn dạng đó. Mỗi dòng ở đây đều được gọi tên. Khi gặp lại bài tương tự trong đề thi, bạn không cần cố nhớ trang này đã nói gì; bạn chỉ cần tìm dạng mà nó đã chỉ ra.
Công cụ tính chính xác, với cả hệ số nguyên lẫn hệ số phân số, và tự kiểm tra lại: dòng cuối nhân các nhân tử ra và cho bạn thấy đa thức ban đầu. Phép kiểm tra đó trả lời câu hỏi "làm sao biết kết quả đúng", và bạn có thể tự làm bằng tay với bất kỳ đáp án nào, từ bất kỳ nguồn nào.
Viết như khi viết trên giấy: x^2 - 5x + 6, 4x^2 - 12x + 9, x^3 - 8. Dùng ^ cho lũy thừa. Một biến, hoặc hai biến (x^2 - y^2 cũng được).
Dạng phân tích nằm ở trên cùng. Các bước được đánh số bên dưới gọi tên dạng mà mỗi bước đã dùng; đó là phần bạn mang theo được sang bài tiếp theo.
Mỗi ngoặc dạng (ax - b) cho bạn một nghiệm tại b/a. Đó là lý do phân tích thành nhân tử giúp giải phương trình: một tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số của nó bằng 0.
Dòng cuối nhân các nhân tử ra lại. Che nó đi, tự tính nhẩm, rồi so sánh; thói quen đó đáng giá hơn cả đáp án.
Sáu dạng bao quát việc phân tích thành nhân tử ở trường. Đếm số hạng tử trước: việc này loại bỏ hầu hết danh sách trước khi bạn thử bất cứ điều gì.
| Dạng | Trông như | Phân tích thành |
|---|---|---|
| Nhân tử chung | 6x² - 15x | 3x(2x - 5) |
| Hiệu hai bình phương | 9x² - 4 | (3x - 2)(3x + 2) |
| Bình phương của một hiệu | 4x² - 12x + 9 | (2x - 3)² |
| Tam thức, hệ số đầu bằng 1 | x² - 5x + 6 | (x - 2)(x - 3) |
| Tam thức, hệ số đầu khác 1 | 2x² + 7x + 3 | (2x + 1)(x + 3) |
| Nhóm hạng tử (bốn hạng tử) | x³ + 2x² + 3x + 6 | (x + 2)(x² + 3) |
| Hiệu hai lập phương | x³ - 8 | (x - 2)(x² + 2x + 4) |
| Tổng hai lập phương | x³ + 27 | (x + 3)(x² - 3x + 9) |
| Tổng hai bình phương | x² + 9 | không phân tích được |
x^2 - 5x + 6Hai số có tích bằng 6 và tổng bằng -5: -2 và -3. Vậy kết quả là (x - 2)(x - 3). Khi hệ số đầu bằng 1, đây là toàn bộ phương pháp, và rất đáng làm khoảng chục bài cho đến khi cặp số tự hiện ra mà không cần dò.
4x^2 - 12x + 94x² là (2x)², 9 là 3², và hạng tử giữa đúng bằng -2 × 2x × 3. Vậy nó là (2x - 3)². Bạn cũng có thể giải như một tam thức thông thường và được (2x-3)(2x-3); nhận ra hằng đẳng thức giúp đỡ tốn công, và đó là lý do duy nhất các dạng đáng học.
9x^2 - 4Cái bẫy ở đây là không nhận ra nó, vì các bình phương không hiển nhiên: 9x² là (3x)² và 4 là 2². Sau đó áp dụng hằng đẳng thức như bình thường và tách thành (3x - 2)(3x + 2). Hai hạng tử có dấu trừ ở giữa thì luôn đáng kiểm tra dạng này.
3x^2 - 27Như đang viết thì đây không phải hiệu hai bình phương, vì 3x² không phải là bình phương. Đặt 3 ra ngoài thì 3(x² - 9) là hiệu hai bình phương, cho 3(x - 3)(x + 3). Bỏ qua nhân tử chung là cách phổ biến nhất để kết luận sai rằng một đa thức không phân tích được.
x^3 - 8x³ - 8 là x³ - 2³, nên nó bằng (x - 2)(x² + 2x + 4). Ngoặc bậc hai không bao giờ phân tích tiếp được trên tập số hữu tỉ, và trang này nói rõ điều đó thay vì để bạn phải băn khoăn. Để ý dấu: ngoặc bậc nhất mang dấu của biểu thức ban đầu, ngoặc bậc hai có dấu đan xen.
Đặt nhân tử chung ra ngoài nếu có, rồi đếm số hạng tử. Hai hạng tử: tìm hiệu hai bình phương, tổng hoặc hiệu hai lập phương. Ba hạng tử: bình phương của một tổng, một hiệu hoặc cặp số của tam thức. Bốn hạng tử: nhóm thành từng cặp. Sau đó xem còn ngoặc nào phân tích tiếp được không. Mọi lời giải trang này in ra đều là quy trình đó được áp dụng một hoặc hai lần.
Tìm hai số có tích bằng hằng số và tổng bằng hệ số giữa, ở đây là 6 và -5, nên là -2 và -3. Các nhân tử là (x - 2)(x - 3). Khi hệ số đầu khác 1, dùng cùng ý tưởng đó với a×c thay vì c, các bước ở đây gọi đó là cách ac.
Khi đó trang sẽ nói rõ, và với đa thức bậc hai hoặc bậc ba một biến, đó là một chứng minh chứ không phải phỏng đoán: nếu không có nghiệm hữu tỉ thì không có nhân tử hữu tỉ. x² + x + 1 là một ví dụ. Phương trình bậc hai không phân tích được vẫn giải được bằng công thức nghiệm, ở một trang khác.
Có, với các dạng thường gặp ở trường: nhân tử chung (6x²y + 9xy² thành 3xy(2x + 3y)), hiệu hai bình phương (x² - y²), tổng và hiệu hai lập phương (x³ + 8y³). Nếu một phần chỉ còn một biến, toàn bộ quy trình cho một biến sẽ tiếp tục từ đó.
Vì nhân các nhân tử ra lại là cách kiểm chứng một phép phân tích, và hiển thị nó chẳng tốn gì. Nó cũng minh họa một thói quen đáng giữ: bất kỳ đáp án nào, từ máy tính hay từ bạn bè, đều có thể kiểm tra trong mười giây theo cách này.
Không, nhưng nó là phần lớn công việc. Phân tích viết lại một biểu thức thành một tích; giải phương trình dùng tích đó để tìm nghiệm, vì một tích bằng 0 khi và chỉ khi một thừa số của nó bằng 0. Hàng nghiệm dưới đáp án chính là bước cuối đó, đã được làm sẵn cho bạn.
Có. x²/2 - 2 phân tích thành ½(x - 2)(x + 2), còn 0.25x² - 1 được đọc là phân số chính xác ¼ thay vì số thập phân đã làm tròn. Không có gì ở đây được tính bằng số dấu phẩy động, nên phân số vẫn là phân số cho đến tận đáp án.
