Parabol khớp nhất với các điểm của bạn, với hệ số chính xác và R².
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Có những dữ liệu tăng rồi giảm, hoặc giảm rồi tăng: độ cao của một quả bóng được ném lên, lợi nhuận ở các mức giá khác nhau, lượng nhiên liệu một chiếc xe tiêu thụ ở các tốc độ khác nhau. Một đường thẳng qua dữ liệu như vậy luôn sai dạng, dù đặt khéo đến đâu. Hồi quy bậc hai thay vào đó khớp một parabol, y = ax² + bx + c, và chọn a, b, c sao cho tổng bình phương các độ lệch theo phương thẳng đứng từ các điểm là nhỏ nhất. Đây vẫn là ý tưởng bình phương tối thiểu của hồi quy tuyến tính, chỉ thêm một hệ số cần chọn.
Cực tiểu hóa tổng bình phương độ lệch dẫn đến ba phương trình theo a, b và c, gọi là hệ phương trình chuẩn, được lập từ các tổng của x, x², x³, x⁴, y, xy và x²y. Máy tính đồ thị giải hệ này bằng số dấu phẩy động. Trang này giải bằng phân số chính xác, nên hệ số -8/7 được in ra là -8/7 chứ không phải -1.142857, và R² cũng là một phân số chính xác.
Giá trị dự đoán và phần dư của từng điểm được liệt kê dưới đáp án. Một parabol khớp tốt để lại các phần dư trông như nhiễu, nằm rải rác trên và dưới 0, không theo quy luật nào. Nếu chúng vẫn cong, hoặc tăng đều dần trong bảng, thì parabol cũng không phải dạng phù hợp, và nên thử một mô hình khác.
Với mỗi điểm, tính x, x², x³, x⁴, y, xy và x²y, rồi cộng từng cột và đếm số điểm. Với x = 0, 1, 2, 3 và y = 1, 2, 5, 11: n = 4, Σx = 6, Σx² = 14, Σx³ = 36, Σx⁴ = 98, Σy = 19, Σxy = 45 và Σx²y = 121.
aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy, và aΣx² + bΣx + cn = Σy. Với các tổng ở trên: 98a + 36b + 14c = 121, 36a + 14b + 6c = 45, và 14a + 6b + 4c = 19.
Khử lần lượt từng ẩn, giữ phân số chính xác. Hệ này cho a = 1.25, b = -0.45 và c = 1.05, nên y = 1.25x² - 0.45x + 1.05.
Thay từng x vào đường cong rồi lấy y thực tế trừ giá trị dự đoán. Ở đây các phần dư là -0.05, 0.15, -0.15 và 0.05, tổng bình phương của chúng là 0.05, và R² = 1214/1215, khoảng 0.9992.
Mỗi hàng là một bộ dữ liệu nhập vào máy tính ở trên, kèm hệ số chính xác và R² mà nó trả về.
| Giá trị x | Giá trị y | Parabol khớp nhất | R² |
|---|---|---|---|
| 0, 1, 2, 3 | 1, 2, 5, 11 | y = 1.25x² - 0.45x + 1.05 | 1214/1215 ≈ 0.9992 |
| -2, -1, 0, 1, 2, 3 | 9, 4, 1, 0, 1, 4 | y = x² - 2x + 1 | 1 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 2, 6, 11, 13, 12, 8 | y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 | 887/917 ≈ 0.9673 |
| 0, 1, 2, 3, 4 | 2, 17, 22, 17, 2 | y = -5x² + 20x + 2 | 1 |
| 1, 2, 3 | 4, 9, 20 | y = 3x² - 4x + 5 | 1 |
| 0, 1, 2, 3, 4, 5 | 0, 1, 4, 9, 16, 25 | y = x² | 1 |
x: 0, 1, 2, 3; y: 1, 2, 5, 11Hệ phương trình chuẩn cho a = 1.25, b = -0.45 và c = 1.05, nên y = 1.25x² - 0.45x + 1.05. Các giá trị dự đoán là 1.05, 1.85, 5.15 và 10.95, phần dư là -0.05, 0.15, -0.15 và 0.05, và R² = 1214/1215, khoảng 0.9992.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 2, 6, 11, 13, 12, 8Parabol khớp nhất là y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7 với R² = 887/917, khoảng 0.9673. Vì a âm nên đường cong có đỉnh, tại x = 33/8 = 4.125 và y = 697/56, khoảng 12.45. Một đường thẳng qua cùng các điểm chỉ đạt r² = 375/917, khoảng 0.4089, vì nó không thể đổi chiều.
x: 0, 1, 2, 3, 4; y: 2, 17, 22, 17, 2Độ cao tính bằng mét, đo mỗi giây một lần. Đường cong khớp hoàn toàn: y = -5x² + 20x + 2 với mọi phần dư bằng 0 và R² = 1. Số -5 là một nửa gia tốc trọng trường làm tròn thành 10 m/s², 20 là vận tốc ném và 2 là độ cao lúc ném. Đỉnh nằm tại x = 2, y = 22.
x: -2, -1, 0, 1, 2, 3; y: 9, 4, 1, 0, 1, 4Đây là các giá trị của (x - 1)², và máy tính trả về y = x² - 2x + 1, chính parabol đó khi khai triển, với R² = 1 và mọi phần dư bằng 0. Đây là cách nhanh để kiểm tra một dãy giá trị có thực sự đến từ một hàm bậc hai hay không.
Là khớp một parabol y = ax² + bx + c với dữ liệu bằng phương pháp bình phương tối thiểu: chọn a, b và c sao cho tổng bình phương khoảng cách theo phương thẳng đứng từ các điểm đến đường cong là nhỏ nhất. Đây là phương pháp nên dùng khi biểu đồ phân tán tăng rồi giảm, hoặc giảm rồi tăng, thay vì đi theo một đường thẳng.
Cộng x, x², x³, x⁴, y, xy và x²y trên tất cả các điểm rồi giải ba phương trình chuẩn aΣx⁴ + bΣx³ + cΣx² = Σx²y, aΣx³ + bΣx² + cΣx = Σxy và aΣx² + bΣx + cn = Σy. Với x = 0, 1, 2, 3 và y = 1, 2, 5, 11, nghiệm là a = 1.25, b = -0.45, c = 1.05.
Ít nhất ba điểm, với ít nhất ba giá trị x khác nhau. Với đúng ba điểm, parabol đi qua cả ba và R² tự động bằng 1, nên cần từ bốn điểm trở lên thì phép khớp mới cho bạn biết điều gì đó về dữ liệu.
R² = 1 trừ (tổng bình phương phần dư) chia cho (tổng biến thiên của y quanh giá trị trung bình). Đó là tỉ lệ biến thiên của y mà parabol giải thích được. Với y = 2, 6, 11, 13, 12, 8 tại x từ 1 đến 6, R² = 887/917, khoảng 0.9673.
Đó là hồi quy đa thức bậc 2. Khớp bậc 3 thêm hạng tử x³ và một phương trình chuẩn thứ tư, và cứ thế tiếp tục. Bậc càng cao thì càng khớp sát các điểm, nhưng quá một mức nào đó nó khớp với nhiễu chứ không phải xu hướng, nên với bộ dữ liệu nhỏ thường chỉ nên dừng ở bậc 2.
Giống như với mọi parabol: x = -b/(2a), rồi thay x đó vào phương trình để tìm y. Với y = -(8/7)x² + (66/7)x - 7, ta được x = 33/8 và y = 697/56, khoảng 12.45, là nơi xu hướng khớp đạt đỉnh.
Vì giải hệ phương trình chuẩn với dữ liệu nhập được luôn cho số hữu tỉ, và phân số là đáp án chính xác. -8/7 là hệ số bậc cao nhất; -1.142857 là giá trị làm tròn của nó. Nút Sao chép cho bạn đường cong ở dạng thập phân để dùng trong bảng tính.
