地球が人を引く力
plain
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, r = 6371 kmまず換算します: 1 M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg、6371 km = 6.371 × 10⁶ m。F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N。これがその人の重さです。70 · 9.81 = 686.7 N で、丸めの範囲で一致します。
万有引力の計算
ニュートンの万有引力の法則から、二つの質量の間にはたらく引力を求めます。
最終更新
計算ツールなしで解けるようになりたいですか？
Coddy の物理コースは解き方そのものを教えます。対話式のボードで問題を一手ずつ解き、どの手順で間違えたのかを教えてくれます。
ニュートンの万有引力の法則と、その意味
すべての質量は、ほかのすべての質量を引きつけています。その引力の大きさを与えるのがニュートンの万有引力の法則です: F = Gm₁m₂/r²。m₁ と m₂ はキログラムで表した二つの質量、r はメートルで表した中心間の距離、G は万有引力定数 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² です。力の単位はニュートンで、両方の質量に同じ大きさで、互いに相手の方向へはたらきます。
G はとても小さいので、身のまわりの物体どうしの引力は小さすぎて感じられません。1 m 離れた 70 kg の二人が引き合う力はおよそ 3.3 × 10⁻⁷ N です。感じられるほどの力には惑星ほどの質量が必要です。距離は2乗されるので、これは逆2乗の法則です。距離を2倍にすると力は4分の1に、3倍にすると9分の1になります。
計算ツールは、F、m₁、m₂、r のうち空欄にしたものについて法則を解きます。質量はキログラム、トン、地球質量 (M⊕ = 5.9722 × 10²⁴ kg)、太陽質量 (M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg) で、距離はメートル、キロメートル、天文単位 (1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m) で入力できます。それぞれまず独立した手順として SI 単位に換算するので、10 の累乗の代わりに 1 地球質量、6371 km と入力できます。
ここに注目
- F = Gm₁m₂/r² がニュートンで答えを出すのは、質量がキログラム、r がメートルのときだけです。G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² は宇宙のどこでも同じです。
- r は中心から中心までの距離です。地面に立つ人なら、0 ではなく地球の半径、およそ 6371 km です。
- 逆2乗の法則です。距離が2倍なら力は4分の1、10倍なら100分の1になります。
- 力の大きさは両方の質量で同じです。地球はあなたを 687 N で引き、あなたも地球を 687 N で引いています。地球のほうがはるかに動きにくいだけです。
- 地表では、この法則は重さ W = mg と同じ答えを出します。G に地球の質量をかけ、地球の半径の2乗で割るとおよそ 9.8 m/s² になります。
- 逆に距離を求めるには平方根が必要です: r = √(Gm₁m₂/F)。
万有引力の求め方
両方の質量をキログラムにする
1 地球質量は 5.9722 × 10²⁴ kg、1 太陽質量は 1.98847 × 10³⁰ kg、1 トンは 1000 kg です。計算ツールでは代わりにこれらの単位を選べます。
中心間の距離をメートルで求める
キロメートルなら 1000 をかけます。1 AU は 1.495978707 × 10¹¹ m です。惑星の表面にある物体なら惑星の半径を使い、上空なら半径に高さを足します。
距離を2乗してから割る
F = G · m₁ · m₂ / r²。G に両方の質量をかけ、r² で割ります。地球と 70 kg の人なら: 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / (6.371 × 10⁶)² = 687 N。
答えをニュートンで読む
非常に大きな力や小さな力は 10 の累乗で出ます。太陽と地球の間の引力はおよそ 3.54 × 10²² N です。
実際の組み合わせでの万有引力
G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² として F = Gm₁m₂/r² から求めた概数です。距離はどれも中心間で、人の質量は 70 kg です。
| 組み合わせ | 質量 | 距離 r | 力 |
|---|---|---|---|
| 1 kg の質量二つ | 1 kg と 1 kg | 1 m | 6.67 × 10⁻¹¹ N |
| 二人の人 | 70 kg と 70 kg | 1 m | 3.27 × 10⁻⁷ N |
| 人と頭上の月 | 70 kg と 7.342 × 10²² kg | 378,029 km | 0.0024 N |
| 人と太陽 | 70 kg と 1 M☉ | 1 AU | 0.415 N |
| 地面に立つ人と地球 | 70 kg と 1 M⊕ | 6,371 km | 687 N |
| ISS の高さにいる人と地球 | 70 kg と 1 M⊕ | 6,771 km | 609 N |
| 地球と月 | 1 M⊕ と 7.342 × 10²² kg | 384,400 km | 1.98 × 10²⁰ N |
| 太陽と地球 | 1 M☉ と 1 M⊕ | 1 AU | 3.54 × 10²² N |
解いてみる
地球と月
plain
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 7.342 × 10²² kg, r = 384,400 kmr = 3.844 × 10⁸ m として、F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 7.342 × 10²² / (3.844 × 10⁸)² = 1.98 × 10²⁰ N。この引力が月を軌道にとどめ、同じ大きさの月が地球を引く力が潮の満ち引きを起こします。
太陽と地球
plain
m₁ = 1 M☉, m₂ = 1 M⊕, r = 1 AU1 M☉ = 1.98847 × 10³⁰ kg、1 AU = 1.495978707 × 10¹¹ m。F = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 1.98847 × 10³⁰ · 5.9722 × 10²⁴ / (1.496 × 10¹¹)² = 3.54 × 10²² N。
中心から2倍離れると
plain
m₁ = 1 M⊕, m₂ = 70 kg, F = 171.86 Nr を空欄にします。r = √(Gm₁m₂/F) = √(6.6743 × 10⁻¹¹ · 5.9722 × 10²⁴ · 70 / 171.86) = 1.274 × 10⁷ m、およそ 12,742 km で、地球の半径の2倍です。中心からの距離が2倍になり、引力は地表での 687 N の4分の1になっています。
1 m 離れた二人
plain
m₁ = 70 kg, m₂ = 70 kg, r = 1 mF = 6.6743 × 10⁻¹¹ · 70 · 70 / 1² = 3.27 × 10⁻⁷ N で、およそ 0.03 mg のほこりの重さです。身のまわりの物体どうしの引力は実在しますが、弱すぎて感じられません。
よくある間違い
- r を中心ではなく表面から測る。高度 400 km の人工衛星は地球の中心から 6371 + 400 = 6771 km 離れていて、それが使うべき r です。
- 距離の2乗を忘れる。r² ではなく r で割ると、惑星規模のものでは答えが何百万倍も大きくなります。
- 公式にキロメートルを使う。G の単位は N·m²/kg² なので r はメートルでなければなりません。km を使うと力が 100 万倍大きくなります。
- G を打ち間違える。6.6743 × 10⁻¹¹ は 10 の負の累乗です。6.6743e11 と打つと 10²² 倍ずれます。
- 質量が大きいほうが大きな力を受けると考える。両方の質量は同じ大きさの力を受けます。軽いほうが大きく加速するだけです。
- G と g を混同する。G は万有引力定数 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²、g はある場所での重力加速度で、地表では 9.81 m/s² です。
万有引力についてよくある質問
万有引力の公式は？
F = Gm₁m₂/r²、ニュートンの万有引力の法則です。m₁ と m₂ はキログラムで表した質量、r はメートルで表した中心間の距離、G = 6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² です。力はニュートンで出ます。
万有引力定数 G とは？
宇宙のどこでも重力の強さを決める定数で、6.6743 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² です。計算ツールはこの CODATA の値を使います。1 m 離れた 1 kg の質量二つの間にはたらく力をニュートンで表した値でもあります。
万有引力から距離を求めるには？
公式を変形します: r = √(Gm₁m₂/F)。G に両方の質量をかけ、力で割ってから平方根をとります。答えは中心間の距離です。
万有引力から質量を求めるには？
わからない質量について変形します: m₁ = Fr² / (Gm₂)。力に距離の2乗をかけ、G ともう一方の質量の積で割ります。その質量の欄を空欄にすれば、計算ツールが求めます。
r を中心から測るのはなぜですか？
球形の惑星や恒星は、すべての質量が中心に集まっているかのように引きつけるからです。地球の表面や上空にある物体なら、r は地球の半径 6371 km に地面からの高さを足したものです。
逆2乗の法則とは？
公式で r が2乗されているので、力は距離の2乗に反比例して小さくなります。距離を2倍にすると力は4分の1、3倍にすると9分の1です。
万有引力は重さと同じですか？
はい。あなたの重さは、地球があなたに及ぼす万有引力です。地表付近では W = mg を使うほうが簡単で、同じ答えになります。70 kg に 9.81 m/s² をかけると 687 N で、G に地球の質量と 70 kg をかけて半径の2乗で割っても同じです。
身のまわりの物体どうしの引力を感じないのはなぜですか？
G がとても小さいからです。1 m 離れた 70 kg の二人が引き合う力はおよそ 3.3 × 10⁻⁷ N です。感じられるほど大きな力を生むには、惑星ほどの質量が必要です。
