静止状態から加速する
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u = 0 m/s, a = 3 m/s², t = 4 ss と v がわかりません。s を含まない v = u + at から v = 0 + 3 · 4 = 12 m/s。次に s = ½(u + v)t = ½ · (0 + 12) · 4 = 24 m。s = ut + ½at² = 0 + ½ · 3 · 4² で確かめても同じ 24 m になります。
等加速度直線運動の計算
s、u、v、a、t のうち三つがわかれば残りの二つが出ます。各手順で使う公式も表示します。
最終更新
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等加速度直線運動の公式と、その選び方
等加速度直線運動の公式は、一定の加速度で一直線上を進む運動を表します。使う量は変位 s、初速度 u、速度 v、加速度 a、時間 t の五つで、英国の学校では頭文字から SUVAT の式と呼ばれます。日本の教科書では初速度を v₀、変位を x と書くことが多いですが、中身は同じです。式は五つあり、それぞれが五つの文字のうちちょうど一つを含みません。
式の選び方のコツはこれだけです。わかっている三つの値と、求めたい一つを書き出します。残った文字は、持ってもいないし必要でもないもので、その文字を含まない式を使います。20 m/s で走る車が 50 m で止まり、時間は与えられず問われてもいないなら、t を含まない v² = u² + 2as を使います。
この計算ツールはその選択を代わりに行います。s、u、v、a、t のうち三つを入れ、残り二つを空欄にすると、一式ずつ両方を求め、各手順でどの式を使いどう変形したかを表示します。平方根で符号が決まらないときは、ほかの値と矛盾しない符号を選びます。両方の符号が当てはまるとき (ボールが上がるときと下がるときに同じ高さを通るとき) は、両方の答えを表示します。三つの値が互いに矛盾するときは、どの値が合わないかを示します。km/h、mph、km、フィートの値は、まず独立した手順として SI 単位に換算します。
ここに注目
- v = u + at は s を、s = ½(u + v)t は a を、s = ut + ½at² は v を、v² = u² + 2as は t を、s = vt − ½at² は u を含みません。
- これらの式が成り立つのは加速度が一定のあいだだけです。加速してからブレーキをかける車なら、運動を区間に分けてそれぞれ別に解いてください。
- s、u、v、a はどれも向きをもちます。どちらを正の向きにするか決めて、最後まで守ってください。上向きを正とすると、重力加速度は a = −9.81 m/s² です。
- s は変位、つまり位置の変化であって、移動した道のりではありません。真上に投げて手元に戻ってきたボールは s = 0 です。
- v² = u² + 2as を v について解くと v = ±√(u² + 2as) です。符号は向きを表します。上向きを正とすると、落下する物体の速度は負になり、計算ツールはほかの値と矛盾しない符号を選びます。
等加速度直線運動の問題の解き方
わかっていることを書き出す
それぞれの値を文字で表します。「静止状態から」は u = 0、「止まる」は v = 0、「静かに落とす」は u = 0 で、下向きに a = 9.81 m/s² です。
正の向きを決める
逆向きのものにはすべてマイナスをつけます。前に進みながらブレーキをかける車の a は負です。
足りない文字を含まない式を選ぶ
s、u、v、a、t のうち、わかってもいないし求めてもいないものを見つけます。下の表から、それを含まない式を使います。
式を変形してから数値を代入する
代入する前に未知数を左辺に一つだけにし、すべての値を m、m/s、m/s²、s にそろえます。計算ツールでは、二つの未知数を空欄にすれば、これらの手順をすべて表示します。
等加速度直線運動の五つの公式
どの式も五つの量のうち四つを使います。わかってもいないし必要でもない量を含まない式を選んでください。
| 公式 | 含まない量 | 使う場面 |
|---|---|---|
| v = u + at | s (変位) | 変位が与えられず、問われてもいない |
| s = ½(u + v)t | a (加速度) | 加速度が与えられず、問われてもいない |
| s = ut + ½at² | v (速度) | 速度が与えられず、問われてもいない |
| v² = u² + 2as | t (時間) | 時間が与えられず、問われてもいない |
| s = vt − ½at² | u (初速度) | 初速度が与えられず、問われてもいない |
解いてみる
ブレーキをかけて止まる
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u = 20 m/s, v = 0 m/s, s = 50 ma と t がわかりません。s = ½(u + v)t を変形して t = 2s/(u + v) = 2 · 50 / 20 = 5 s。次に a = (v − u)/t = (0 − 20)/5 = −4 m/s²。マイナスは加速度が運動と逆向きであること、つまり車が減速していることを示します。
100 m の高さから落とす
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s = 100 m, u = 0 m/s, a = 9.81 m/s²下向きを正とします。時間が与えられていないので v² = u² + 2as を使います。v = √(0² + 2 · 9.81 · 100) = √1962 = 44.29 m/s。次に t = (v − u)/a = 44.29 / 9.81 = 4.52 s。公式の前提どおり、空気抵抗は無視しています。
真上に投げ上げる
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u = 15 m/s, v = 0 m/s, a = −9.81 m/s²上向きを正とするので重力加速度は −9.81 m/s² で、最高点では v = 0 です。t = (v − u)/a = (0 − 15)/(−9.81) = 1.53 s で最高点に達します。次に s = ½(u + v)t = ½ · 15 · 1.529 = 11.47 m で、これが最高点の高さです。
よくある間違い
- 加速度が変化するのに公式を使う。成り立つのは加速度が一定のときだけです。加速度が一定の区間に運動を分けてください。
- 符号を取り違える。上向きを正とすれば、重力加速度も落下する物体の速度も負です。向きを一つ決め、すべての値でそれを守ってください。
- 速さを km/h のまま使う。72 km/h は 20 m/s です。a が m/s² の v = u + at に 72 を入れると、答えが 3.6 倍ずれます。
- 道のりを変位として扱う。11.47 m 上がって戻ってきたボールの道のりは 22.94 m ですが、変位は 0 です。
- 各項ごとに平方根をとる。v = √(u² + 2as) は u + √(2as) ではありません。先に足してから平方根をとります。
- 隠れた値を見落とす。「静止状態から」は u = 0、「止まる」は v = 0 です。たいていの問題では、どちらかが言葉でしか与えられていません。
- 数値がありえない答えを期待する。10 m/s で投げ上げた石は 5.10 m までしか上がらないので、高さ 10 m での速さには答えがありません。計算ツールは当てはまる値がないと表示します。
等加速度直線運動の公式についてよくある質問
等加速度直線運動の公式とは？
加速度が一定の運動を表す五つの式です。v = u + at、s = ½(u + v)t、s = ut + ½at²、v² = u² + 2as、s = vt − ½at²。s は変位、u は初速度、v は速度、a は加速度、t は時間です。
SUVAT とは何の略ですか？
公式に出てくる五つの量の頭文字です。s は変位、u は初速度、v は速度、a は加速度、t は時間。SUVAT は英国の学校での呼び方で、日本では等加速度直線運動の公式と呼び、初速度を v₀、変位を x と書くのが一般的です。
どの公式を使えばいいか、どうやって決めますか？
わかっている三つの値と求めたい一つを書き出します。五つの文字のうち一つが残るので、その文字を含まない式を使います。時間が与えられず求めてもいなければ v² = u² + 2as です。
問題を解くには値がいくつ必要ですか？
三つです。どの式も五つの量のうち四つを結ぶので、三つの値がわかれば未知数が一つだけの式が残ります。それを解くと四つ目の値が出て、別の式で五つ目が出ます。値が二つしかないと、計算ツールはまだ足りないものを一覧で示します。
自由落下にも使えますか？
使えます。空気抵抗を無視できるほど小さければ、加速度は g = 9.81 m/s² で一定だからです。下向きを正とするなら a = 9.81 m/s²、上向きを正とするなら a = −9.81 m/s² を使ってください。
加速度が負になるのはなぜですか？
負の加速度は負の向きを向いています。物体が正の向きに動いていれば減速中、負の向きに動いていれば加速中です。20 m/s から 50 m で止まる車は a = −4 m/s² です。
平方根の答えが一つしか出ないのはなぜですか？
v² = u² + 2as では、+v も −v も2乗すると同じ数になります。計算ツールは正の値を返します。負の値は同じ速さで逆向きに進んでいることを表し、落ちてくる途中のボールのように物体が向きを変えた場合はそちらが答えです。
