半減期三回後の炭素14
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N₀ = 100, t = 17,190 yr, t½ = 5,730 yrt/t½ = 17,190 / 5,730 = 3。N = 100 · (½)³ = 100 / 8 = 12.5。100 g から始めれば 12.5 g、100% から始めれば 12.5% が残ります。
半減期の計算
放射性崩壊のあとに残る量、かかった時間、または半減期を求めます。
最終更新
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半減期の公式と、その意味
放射性の試料は、半減期 t½ で決まる割合で崩壊します。半減期とは、原子の半分が崩壊するまでの時間です。はじめの量がいくらでも、半減期が一回過ぎると半分、二回で 4 分の 1、三回で 8 分の 1 が残ります。公式は N = N₀(½)^(t/t½) で、N₀ ははじめの量、N は残っている量、t は経過した時間です。
指数 t/t½ は半減期が何回過ぎたかを数えるもので、整数である必要はありません。逆に時間を求めるには、底が 2 の対数をとります: t = t½ · log₂(N₀/N)。80 g が 10 g になったなら N₀/N = 8、log₂ 8 = 3 なので、半減期が三回過ぎています。半減期は量によりません。ヨウ素131 は 1 グラムでも 1 トンでも 8.02 日で半分になります。
計算ツールは、残っている量、はじめの量、時間、半減期の四つのうち空欄にしたものについて公式を解きます。二つの量は、同じ単位を使っていれば、グラム、原子の数、パーセント、放射能のベクレルなど、どの単位でも構いません。時間は秒、分、時間、日、年 (ここでの 1 年は 365.25 日) で入力でき、時間と半減期の単位が違っていても大丈夫です。どちらもまず秒に換算し、答えは選んだ単位とほかの単位で表示します。
ここに注目
- 半減期が 1、2、3、4、5 回過ぎると、残る割合は 50%、25%、12.5%、6.25%、3.125% です。半減期ごとに半分になるのは、はじめの量ではなく残っている量です。
- 公式の上では、崩壊してもけっして 0 にはなりません。半減期 10 回でおよそ 0.1%、20 回でおよそ 100 万分の 1 が残ります。
- 量は比 N₀/N としてだけ現れるので、単位は打ち消し合います。二つの量が同じ単位なら、質量、原子の数、パーセント、ベクレルで表した放射能のどれでも使えます。
- 時間と半減期は、割る前に同じ単位にそろえる必要があります。24 時間と半減期 6.01 時間なら、24 / 6.01 = 3.99 回分の半減期です。
- 崩壊定数は λ = ln 2 / t½ で、単位時間あたりに崩壊する割合です。N = N₀e^(−λt) は、½ の代わりに e を使って同じ法則を書いたものです。
半減期の問題の解き方
わかっていることを書き出す
はじめの量 N₀、残っている量 N、時間 t、半減期 t½ のうち三つです。
時間と半減期を同じ単位にする
時間なら時間どうし、年なら年どうしです。2 日は 48 時間、1 年は 365.25 日です。
残っている量なら ½ を t/t½ 乗する
N = N₀ · (½)^(t/t½)。炭素14 100 g の 17,190 年後: 17,190 / 5,730 = 3 で、100 · (½)³ = 12.5 g です。
時間なら底が 2 の対数をとる
t = t½ · log₂(N₀/N)。100% から 25% までは log₂ 4 = 2 回分の半減期で、炭素14 なら 2 · 5,730 = 11,460 年です。log₂ のない電卓では log₂ x = ln x / ln 2 を使ってください。
よく知られた同位体の半減期
標準的な値を丸めたものです。数分から数十億年まで幅があるので、計算ツールは秒から年までの時間を受け付けます。
| 同位体 | 半減期 | 身近な例 |
|---|---|---|
| フッ素18 | 110 分 | PET 検査 |
| テクネチウム99m | 6.01 時間 | 医療画像検査でいちばん使われるトレーサー |
| ラドン222 | 3.82 日 | 岩石から地下室にしみ出す気体 |
| ヨウ素131 | 8.02 日 | 甲状腺の治療 |
| ポロニウム210 | 138 日 | アルファ線源 |
| コバルト60 | 5.27 年 | 放射線治療、医療器具の滅菌 |
| 水素3 (トリチウム) | 12.3 年 | 光る非常口の標識や時計の文字盤 |
| セシウム137 | 30.1 年 | チェルノブイリと福島からの放射性降下物 |
| ラジウム226 | 1,600 年 | 昔の夜光塗料 |
| 炭素14 | 5,730 年 | 放射性炭素年代測定 |
| プルトニウム239 | 24,100 年 | 原子炉 |
| ウラン235 | 7億400万年 | 核燃料 |
| カリウム40 | 12.5億年 | バナナ、人体、岩石の年代測定 |
| ウラン238 | 44.7億年 | 地球最古の岩石の年代測定 |
解いてみる
二回の測定から半減期を求める
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N₀ = 80, N = 10, t = 24 d半減期について変形します: t½ = t / log₂(N₀/N) = 24 / log₂ 8 = 24 / 3 = 8 日。ヨウ素131 の 8.02 日に近い値です。半減期の欄を日にしておけば答えは 8 と表示され、秒、時間、年でも表示されます。
4 分の 1 になるまでの時間
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N₀ = 1, N = 0.25, t½ = 8 dt = t½ · log₂(N₀/N) = 8 · log₂ 4 = 8 · 2 = 16 日。4 分の 1 は二回半分になることなので、時間は半減期二回分です。
1 日たった医療用トレーサー
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N₀ = 100, t = 24 h, t½ = 6.01 hテクネチウム99m: t/t½ = 24 / 6.01 = 3.993 回分の半減期で、整数ではありませんが問題ありません。N = 100 · (½)^3.993 = 6.28 なので、1 日後には投与量の 6.28% が残っています。
放射性炭素年代測定
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N₀ = 100, N = 25, t½ = 5,730 yr生きている組織の 25% の炭素14 を含む骨: t = 5,730 · log₂(100 / 25) = 5,730 · 2 = 11,460 年前のものです。
よくある間違い
- 半減期二回ですべてなくなると考える。一回目で半分が崩壊し、次は残りの半分です。二回で 25%、三回で 12.5% が残ります。
- 半分にする代わりに引き算する。半減期ごとに量は ½ 倍になり、毎回同じ量だけ減るわけではありません。
- 時間と半減期の単位が違うまま割る。24 時間を半減期 8.02 日で割るなら、先に 1 日 ÷ 8.02 日にしなければなりません。
- 二つの量に違う単位を使う。N がグラムで N₀ がパーセントでは比に意味がありません。両方グラム、両方原子の数、両方パーセントにしてください。
- N₀/N の ln や log₁₀ をとって、ln 2 や log₁₀ 2 で割るのを忘れる。時間は t½ · log₂(N₀/N) で、log₂ x = ln x / ln 2 です。
- N と N₀ を入れ替える。はじめの量のほうが大きく、崩壊したものなら N₀/N は 1 より大きくなります。
半減期についてよくある質問
半減期の公式は？
N = N₀(½)^(t/t½) です。N₀ ははじめの量、N は時間 t 後に残っている量、t½ は半減期です。指数 t/t½ は過ぎた半減期の回数です。
半減期はどうやって求めますか？
はじめの量と、わかっている時間がたったあとの量を測り、t½ = t / log₂(N₀/N) を使います。24 日で 80 が 10 になったなら log₂ 8 = 3 なので、半減期は 24 / 3 = 8 日です。
半減期から時間を求めるには？
t = t½ · log₂(N₀/N) を使います。対数は半分になった回数を数えます。100% から 12.5% までは log₂ 8 = 3 回分の半減期なので、半減期が 5,730 年なら時間は 17,190 年です。
半減期三回でどれだけ残りますか？
8 分の 1、12.5% です。半減期ごとに残りが半分になります。一回で 50%、二回で 25%、三回で 12.5%、四回で 6.25%、五回で 3.125% です。
量にグラム、原子の数、パーセントを使えますか？
使えます。公式は二つの量の比しか使わないので、残っている量とはじめの量が同じ単位ならどの単位でも構いません。ベクレルで表した放射能も同じ半減期で減るので使えます。
崩壊定数とは？
崩壊定数 λ は単位時間あたりに崩壊する原子の割合で、λ = ln 2 / t½ です。炭素14 では 0.693 / 5,730 = 1.21 × 10⁻⁴ (1 年あたり) です。法則は N = N₀e^(−λt) とも書けます。
放射性炭素年代測定ではどう半減期を使いますか？
生物は炭素14 を取り込み、大気と同じ割合を保っています。死ぬと、炭素14 は半減期 5,730 年で崩壊していきます。残っている割合を測れば t = 5,730 · log₂(N₀/N) で年代がわかります。25% 残っていれば 11,460 年です。
