72 km/h で走る車
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m = 1500 kg, v = 72 km/hまず速さを換算します: 72 km/h = 72 · 1000/3600 = 20 m/s。すると p = 1500 · 20 = 30,000 kg·m/s。72 をそのまま入れると 108,000 になり、3.6 倍大きすぎます。
運動量の計算
運動量 p = mv と、力による力積 J = FΔt。
最終更新
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運動量の公式と、その意味
運動量は、物体がもつ運動の勢いを表す量で、質量と速度の積 p = mv です。m をキログラム、v をメートル毎秒で入れれば kg·m/s で出ます。30 m/s で投げた 0.16 kg のクリケットボールは 0.16 · 30 = 4.8 kg·m/s、20 m/s で走る 1500 kg の車は 30,000 kg·m/s です。
運動量には向きがあり、それは速度の向きです。一方を正と決めれば、逆向きに動くものは負の速度、負の運動量になります。物体の運動量を変えるには、力がある時間はたらく必要があり、その積が力積 J = FΔt です。運動量と力積の関係によると、力積は運動量の変化に等しくなります: FΔt = m(v − v₀)。
計算ツールにはタブが二つあります。運動量のタブは、p、m、v のうち空欄にしたものについて p = mv を解きます。力積のタブは、力と接触時間を、質量と二つの速度に結びつけます。質量、初速度、最終速度、時間を入れると力積と平均の力を求め、力、時間、質量、初速度を入れると力積と最終速度を求めます。km/h や mph の速度と ms の時間はまず換算し、マイナスの符号は保ちます。
ここに注目
- p = mv が kg·m/s で答えを出すのは、質量がキログラム、速度が m/s のときだけです。ニュートン秒 N·s も同じ単位です。
- 運動量には向きがあります。左向きに 5 m/s と右向きに 5 m/s は逆向きの運動量なので、どちらかにマイナスがつきます。
- 力積は力と時間の積 J = FΔt で、運動量の変化 m(v − v₀) に等しくなります。同じ変化を、大きな力を短い時間でも、小さな力を長い時間でも生み出せます。
- 力積や力が負なら、正と決めた向きと逆にはたらいています。物体を止めるときがそうです。
- 運動量は速さに比例して増え、運動エネルギー ½mv² は速さの2乗に比例して増えます。2倍速ければ運動量は2倍、エネルギーは4倍です。
運動量と力積の求め方
質量をキログラムにする
グラムなら 1000 で割り、ポンドなら 0.4536 をかけます。160 g のボールは 0.16 kg です。
速度を符号つきのメートル毎秒にする
km/h なら 3.6 で割り、mph なら 0.44704 をかけます。正の向きを決め、逆向きに動くものにはマイナスをつけます。
かけ算して運動量を出す
p = m · v。72 km/h、つまり 20 m/s で走る 1500 kg の車は p = 1500 · 20 = 30,000 kg·m/s です。
力積なら速度の変化を使う
J = m · (v − v₀)、最終速度から初速度を引きます。平均の力は F = J / Δt で、接触時間は秒で入れます。
身近なものの運動量
p = mv から求めた概数で、どれも正の向きに動いています。軽い弾丸は、歩いている人より運動量が小さいのです。
| もの | 質量 | 速度 | 運動量 |
|---|---|---|---|
| 拳銃の弾丸 | 8 g | 360 m/s | 2.88 kg·m/s |
| クリケットボール | 0.16 kg | 30 m/s | 4.8 kg·m/s |
| 野球の投球 | 0.145 kg | 40 m/s | 5.8 kg·m/s |
| 歩いている人 | 70 kg | 1.4 m/s | 98 kg·m/s |
| 短距離走の選手 | 80 kg | 10 m/s | 800 kg·m/s |
| 市街地の車 | 1,500 kg | 50 km/h | 20,800 kg·m/s |
| 高速道路の車 | 1,500 kg | 100 km/h | 41,700 kg·m/s |
| 荷物を積んだトラック | 40,000 kg | 90 km/h | 1,000,000 kg·m/s |
解いてみる
サッカーボールを蹴る
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m = 0.45 kg, v₀ = 0 m/s, v = 25 m/s, Δt = 0.01 s力積は運動量の変化です: J = 0.45 · (25 − 0) = 11.25 N·s。足はこれを 0.01 s で与えるので、平均の力は F = J / Δt = 11.25 / 0.01 = 1125 N です。計算ツールはこの四つの値から両方を求めます。
走っている人を止める
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m = 70 kg, v₀ = 10 m/s, v = 0 m/s, Δt = 0.5 sJ = 70 · (0 − 10) = −700 N·s、F = −700 / 0.5 = −1400 N。マイナスは力が運動と逆向きであることを示します。代わりに 0.05 s で止めると力は −14,000 N になります。同じ力積を 10 分の 1 の時間で与えるには 10 倍の力が必要で、だからクッションやエアバッグが役に立つのです。
はね返るボール
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m = 0.5 kg, v₀ = 10 m/s, v = −8 m/s, Δt = 0.02 sボールは逆向きに戻ってくるので、最終速度は −8 m/s です。J = 0.5 · (−8 − 10) = −9 N·s、F = −9 / 0.02 = −450 N。符号を落として 8 − 10 を使うと、たった −1 N·s になってしまいます。
運動量から速度を求める
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p = 30,000 kg·m/s, m = 1500 kgv について変形します: v = p / m = 30,000 / 1500 = 20 m/s。解く前に速度の単位を km/h にしておけば、答えは 72 km/h で出ます。
よくある間違い
- km/h や mph のまま公式に入れる。先に m/s に換算しないと、答えが 3.6 倍 (km/h) やおよそ 2.2 倍 (mph) ずれます。
- キログラムの代わりにグラムを使う。160 g は 0.16 kg です。160 を使うと運動量が 1000 倍大きくなります。
- 向きを落とす。はね返ったボールの最終速度は負です。正として扱うと、運動量の変化がずっと小さくなってしまいます。
- 引き算の順序を逆にする。速度の変化は最終速度から初速度を引いた v − v₀ です。入れ替えると力積と力の符号が逆になります。
- ミリ秒の接触時間を秒のように使う。10 ms は 0.01 s です。単位に ms を選べば、計算ツールが換算します。
- 運動量と運動エネルギーを混同する。同じ質量と速度を使いますが、運動量は mv で単位は kg·m/s、向きがあります。運動エネルギーは ½mv² で単位はジュール、向きはありません。
運動量についてよくある質問
運動量の公式は？
p = mv です。m はキログラムで表した質量、v はメートル毎秒で表した速度で、結果は kg·m/s で出ます。3 m/s で動く 2 kg の物体の運動量は 6 kg·m/s です。
運動量から速度を求めるには？
公式を変形します: v = p / m。運動量を質量で割ります。運動量 30,000 kg·m/s の 1500 kg の車は 20 m/s、つまり 72 km/h で走っています。
力積とは？
力積は、ある時間にわたってはたらく力の効果で、J = FΔt、単位はニュートン秒です。それが生む運動量の変化でもあるので、0.01 s 続く 1125 N のキックはボールに 11.25 N·s の運動量を与えます。
運動量と力積の関係とは？
物体が受けた力積は、その運動量の変化に等しいという関係です: FΔt = m(v − v₀)。運動方程式 F = ma で、加速度を速度の変化÷時間と書くと導けます。
運動量の単位は？
キログラムメートル毎秒、kg·m/s です。ニュートン秒 N·s も同じ単位で、ふつう力積に使います。計算ツールは g·cm/s での結果も表示します。
運動量は負になりますか？
なります。符号が向きを表します。右向きを正とすれば、左向きに動く物体の速度と運動量は負です。運動量の大きさは常に正です。
運動量の変化から平均の力を求めるには？
運動量の変化をかかった時間で割ります: F = m(v − v₀) / Δt。10 m/s で走る 70 kg の人を 0.5 s で止めるには、運動と逆向きに平均 1400 N の力が必要です。
運動量と運動エネルギーの違いは？
運動量は mv で向きがあり、運動エネルギーは ½mv² で向きがありません。速さを2倍にすると、運動量は2倍、運動エネルギーは4倍になります。
