10 m 持ち上げた箱
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m = 2 kg, h = 10 m, g = 9.81 m/s²PE = m · g · h = 2 · 9.81 · 10 = 196.2 J。すべてすでに SI 単位なので、換算は必要ありません。計算ツールは 0.1962 kJ とも表示します。
位置エネルギーの計算
重力による位置エネルギー mgh と、ばねにたくわえられる弾性エネルギー。
最終更新
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位置エネルギーの公式と、その意味
位置エネルギーは、位置によってたくわえられるエネルギーです。物体を持ち上げると、落ちるときに返ってくるエネルギーがたくわえられます: PE = mgh。m は質量、g は重力加速度 (地表付近で 9.81 m/s²)、h は高さです。2 kg の箱を 10 m 持ち上げると 2 · 9.81 · 10 = 196.2 J がたくわえられます。
高さ h は、自分で選んだ基準面から測ります。床、地面、坂のふもとなどです。意味をもつのは高さの差だけなので、問題が簡単になる基準面を選んでください。基準面より下では h は負で、PE も負になります。伸ばしたり縮めたりしたばねも、別の公式でエネルギーをたくわえます: PE = ½kx²。k はばね定数、x は伸びです。
計算ツールにはそれぞれのタブがあります。重力のタブでは PE、m、g、h のうち三つを入れると四つ目を求めます。g は 9.81 m/s² から始まり、月や 9.8 を使う問題に合わせて変えられます。弾性のタブでは PE、k、x のうち二つを入れます。cm、ft、km の高さや kJ、kcal のエネルギーは、まず独立した手順として SI 単位に換算します。
ここに注目
- PE = mgh がジュールで答えを出すのは、質量がキログラム、g が m/s²、高さがメートルのときだけです。1 J は 1 kg·m²/s² です。
- 重力による位置エネルギーはどの値にも比例します。高さか質量を2倍にすれば、エネルギーは2倍になります。
- 高さは自分で選んだ基準面からのものです。基準面を変えると、どの PE も同じだけ変わるので、二点間で得たり失ったりするエネルギーは変わりません。
- 弾性力による位置エネルギー ½kx² は伸びの2乗に比例します。ばねを2倍伸ばすと、4倍のエネルギーをたくわえます。
- 逆に伸びを求めるには平方根が必要です: x = √(2PE/k)。得られるのは伸びの大きさで、同じだけ縮めても同じエネルギーをたくわえます。
- 物体が落ちるにつれて、位置エネルギーは運動エネルギーに変わります。空気抵抗を無視すれば、最高点での mgh は最下点での ½mv² に等しくなります。
位置エネルギーの求め方
質量をキログラムにする
グラムなら 1000 で割り、ポンドなら 0.4536 をかけます。500 g の本は 0.5 kg です。
基準面からの高さをメートルで測る
センチメートルなら 100 で割り、フィートなら 0.3048 をかけます。床から 150 cm の棚は h = 1.5 m です。
m、g、h をかける
PE = m · g · h、地球では g = 9.81 m/s² です。棚の上の本は 0.5 · 9.81 · 1.5 = 7.36 J をたくわえています。
ばねなら伸びを2乗して半分にする
PE = ½ · k · x²、x はメートルで入れます。200 N/m のばねを 5 cm 伸ばすと ½ · 200 · 0.05² = 0.25 J をたくわえます。
身近なものの位置エネルギー
g = 9.81 m/s² として PE = mgh から、ばねは PE = ½kx² から求めた値です。高さはどれも下の床か地面から測っています。
| 場面 | 値 | 位置エネルギー |
|---|---|---|
| 高い枝のりんご | 0.1 kg、高さ 2 m | 1.96 J |
| 1 m の棚の本 | 1 kg、高さ 1 m | 9.81 J |
| 1 階上にいる人 | 70 kg、高さ 3 m | 2,060 J |
| 山に登るハイカー | 80 kg、高さ 500 m | 392 kJ |
| ダムにためた 1 m³ の水 | 1,000 kg、高さ 100 m | 981 kJ |
| 実験用のばね | k = 200 N/m, x = 5 cm | 0.25 J |
| 硬いばね | k = 5,000 N/m, x = 30 cm | 225 J |
解いてみる
エネルギーから高さを求める
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PE = 1000 J, m = 50 kg, g = 9.81 m/s²h について変形します: h = PE / (m · g) = 1000 / (50 · 9.81) = 1000 / 490.5 = 2.04 m。高さの欄を空欄にすれば、計算ツールはこのように求めます。
5 cm 伸ばしたばね
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k = 200 N/m, x = 5 cmまず伸びを換算します: 5 cm = 0.05 m。すると PE = ½ · 200 · 0.05² = ½ · 200 · 0.0025 = 0.25 J。0.05 の代わりに 5 を使うと 2,500 J になり、1 万倍大きすぎます。
同じ箱を月で
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m = 2 kg, h = 10 m, g = 1.62 m/s²g の欄を 1.62 に変えます。PE = 2 · 1.62 · 10 = 32.4 J で、地球でたくわえる 196.2 J のおよそ 6 分の 1 です。月の重力はおよそ 6 分の 1 の強さだからです。
ばねをどれだけ伸ばしたか
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PE = 4 J, k = 500 N/mx について変形します: x = √(2PE/k) = √(2 · 4 / 500) = √0.016 = 0.126 m、およそ 12.6 cm。同じ 12.6 cm だけ縮めても、同じ 4 J をたくわえます。
よくある間違い
- 高さにセンチメートルやフィートを使う。先にメートルに換算してください。150 cm は 1.5 m で、150 を使うと答えが 100 倍大きくなります。
- キログラムの代わりにグラムを使う。500 g は 0.5 kg です。500 を使うと答えが 1000 倍大きくなります。
- 高さを測る場所を間違える。h は選んだ基準面からの高さです。落下なら、建物の海抜ではなく落ちた高さを使ってください。
- g を忘れる。PE = mh はエネルギーではありません。9.81 m/s²、または問題で与えられた g をかけてください。
- ばねの公式で ½ や2乗を抜かす。弾性力による位置エネルギーは ½kx² で、kx でも kx² でもありません。
- x にばね全体の長さを使う。x は自然の長さからの長さの変化です。
位置エネルギーについてよくある質問
位置エネルギーの公式は？
重力による位置エネルギーは PE = mgh です。質量はキログラム、地球では g = 9.81 m/s²、高さはメートルで、エネルギーはジュールで出ます。ばねにたくわえられるエネルギーは PE = ½kx² で、ばね定数 k は N/m、伸び x はメートルで入れます。
位置エネルギーから高さを求めるには？
公式を変形します: h = PE / (mg)。エネルギーを質量と g の積で割ります。50 kg の物体が 1000 J なら 1000 / (50 · 9.81) = 2.04 m です。
位置エネルギーから質量を求めるには？
m について変形します: m = PE / (gh)。高さ 3 m で 588.6 J をたくわえる物体の質量は 588.6 / (9.81 · 3) = 20 kg です。
高さの基準面とは？
自分で選ぶ任意の高さで、ふつうは床、地面、問題の中でいちばん低い点です。得たり放出したりするエネルギーを決めるのは高さの変化だけなので、どれを選んでもその答えは変わりません。
位置エネルギーは負になりますか？
重力による位置エネルギーはなります。基準面より下にある物体の h は負なので、mgh も負です。計算ツールは負の高さも受け付けます。弾性力による位置エネルギー ½kx² は負になりません。
g は 9.81 と 9.8 のどちらを使えばいいですか？
授業や教科書で使っている値を使ってください。計算ツールは g = 9.81 m/s² から始まり、代わりに 9.8 や 10、月なら 1.62 を g の欄に入力できます。
弾性力による位置エネルギーとは？
ばねやゴムひものように、伸ばしたり縮めたりしたものにたくわえられるエネルギーです。フックの法則に従うばねでは ½kx² で、k はばねの硬さ、x は伸びや縮みの大きさです。
位置エネルギーと運動エネルギーの違いは？
位置エネルギーは位置によってたくわえられたエネルギーで mgh。運動エネルギーは運動のエネルギーで ½mv² です。落としたボールは一方を他方に変えます。最高点ではすべて位置エネルギー、着地の直前にはほぼすべて運動エネルギーです。
