440 Hz のラの音
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すべての波: v = 343 m/s, f = 440 Hzλ = v/f = 343 / 440 = 0.780 m、およそ 78 cm です。人に聞こえるいちばん低い音 20 Hz の波長は 343 / 20 = 17.15 m、いちばん高い音 20 kHz はたった 1.7 cm です。
波長の計算
波長、振動数、波の速さと、光子のエネルギー。
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波の基本式と、その意味
音も水の波も光も、すべての波は同じ式に従います: v = fλ。振動数 f は 1 秒間にある点を通過する波の数で単位はヘルツ、波長 λ は山から次の山までの距離で単位はメートル、v は波が進む速さで単位はメートル毎秒です。20 °C の空気中で音はおよそ 343 m/s で進むので、440 Hz の音の波長は 343 / 440 = 0.78 m です。
波の速さが一定なら、振動数と波長は反比例します。振動数を2倍にすれば波長は半分です。真空中の光はいつも c = 299,792,458 m/s で進むので、c = fλ でどの波長も振動数に変えられます。光は光子としてもふるまい、光子一つが E = hf のエネルギーをもちます。h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s はプランク定数です。振動数が大きいほど、つまり波長が短いほど、光子一つのエネルギーは大きくなります。
計算ツールにはタブが二つあります。「すべての波」では v = fλ を解き、速さ、振動数、波長のうち二つから三つ目を求めます。「光」では値は一つで足ります。波長、振動数、光子のエネルギーのどれかを入れると、c = fλ と E = hf から残りの二つを求めます。ナノメートル、マイクロメートル、キロヘルツからテラヘルツ、電子ボルトは、まず独立した手順として SI 単位に換算し、答えはほかの単位でも表示します。
ここに注目
- v = fλ がメートル毎秒で答えを出すのは、f がヘルツ、λ がメートルのときだけです。500 nm は 500 × 10⁻⁹ m、2.4 GHz は 2.4 × 10⁹ Hz です。
- 波が別の物質に入っても振動数は変わらず、変わるのは速さと波長です。音が空気から水に入ると速くなり、波長はおよそ4倍に伸びます。
- 真空中の光の速さはいつも c なので、値は一つで足ります。波長が振動数を決め、振動数が光子のエネルギーを決めます。
- 光子のエネルギーは振動数が大きいほど大きく、波長が長いほど小さくなります。紫の光は赤の光より光子一つのエネルギーが大きく、X 線の光子はどちらよりもはるかに大きいのです。
- 光の便利な近似: 電子ボルトで表した光子のエネルギーは、およそ 1240 をナノメートルで表した波長で割ったものです。620 nm なら 2.0 eV です。
波長と振動数の求め方
波の速さを調べる
20 °C の空気中の音なら 343 m/s、水中ならおよそ 1500 m/s、真空中の光なら 299,792,458 m/s です。ふつうは問題文に書かれています。
振動数をヘルツ、波長をメートルにする
kHz なら 1000、MHz なら 10⁶、GHz なら 10⁹ をかけます。nm なら 10⁻⁹、μm なら 10⁻⁶ をかけます。100 MHz は 100,000,000 Hz です。
求めたいものについて割る
波長なら λ = v/f、振動数なら f = v/λ、速さなら v = fλ。343 / 440 = 0.78 m です。
光なら振動数に h をかけてエネルギーを出す
E = hf で単位はジュールです。電子ボルトにするには 1.602176634 × 10⁻¹⁹ で割ります。5.996 × 10¹⁴ Hz なら 3.973 × 10⁻¹⁹ J、つまり 2.48 eV です。
電磁波のスペクトル
どの帯域も真空中では c で進むので、波長と振動数は c = fλ で結びついています。帯域の境目ははっきりした線ではなく慣習で、ここに示すのは一般的な区切りです。
| 帯域 | 波長 | 振動数 | 身近な例 |
|---|---|---|---|
| 電波 | 1 m より長い | 300 MHz より低い | 100 MHz の FM ラジオ、3 m |
| マイクロ波 | 1 mm から 1 m | 300 MHz から 300 GHz | 2.4 GHz の Wi-Fi、12.5 cm |
| 赤外線 | 750 nm から 1 mm | 300 GHz から 400 THz | 温かい物体からの熱、テレビのリモコン |
| 可視光線 | 380 から 750 nm | 400 から 790 THz | 長い側が赤、短い側が紫 |
| 紫外線 | 10 から 380 nm | 790 THz から 30 PHz | 日焼け、ブラックライト |
| X 線 | 0.01 から 10 nm | 30 PHz から 30 EHz | 医療検査や空港の手荷物検査 |
| ガンマ線 | 0.01 nm より短い | 30 EHz より高い | 放射性崩壊 |
解いてみる
水中の波長 3 m の波
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すべての波: v = 1500 m/s, λ = 3 mf = v/λ = 1500 / 3 = 500 Hz。同じ 500 Hz の音は空気中では波長 343 / 500 = 0.686 m になります。振動数はそのままで、波長が速さとともに変わるのです。
500 nm の緑の光
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光: λ = 500 nm500 nm は 5 × 10⁻⁷ m です。f = c/λ = 299,792,458 / (5 × 10⁻⁷) = 5.996 × 10¹⁴ Hz、およそ 600 THz。次に E = hf = 6.62607015 × 10⁻³⁴ · 5.996 × 10¹⁴ = 3.973 × 10⁻¹⁹ J、つまり 2.48 eV です。
100 MHz の FM 局
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光: f = 100 MHz電波も光の一種なので c = fλ が使えます。100 MHz は 10⁸ Hz で、λ = c/f = 299,792,458 / 10⁸ = 2.998 m。光子一つのエネルギーは E = hf = 6.626 × 10⁻²⁶ J しかなく、緑の光の光子のおよそ 600 万分の 1 です。
2 eV の光子
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光: E = 2 eVまず換算します: 2 eV = 2 · 1.602176634 × 10⁻¹⁹ = 3.204 × 10⁻¹⁹ J。すると f = E/h = 4.836 × 10¹⁴ Hz、λ = c/f = 6.199 × 10⁻⁷ m、つまり 619.9 nm で、橙と赤の境目です。
よくある間違い
- ナノメートルをそのまま使う。500 nm は 5 × 10⁻⁷ m です。c = fλ に 500 を入れると、振動数が 10 億倍小さくなります。
- MHz と Hz を取り違える。100 MHz は 100,000,000 Hz で、100 Hz ではありません。
- 音に光の速さを、光に 343 m/s を使う。波の種類ごとに速さがあり、それは波が進む物質によって変わります。
- 波が水やガラスに入ると振動数が変わると考える。振動数は波源で決まり、変わるのは速さと波長です。
- 振動数と周期を混同する。周期 T は波一つ分の時間で T = 1/f です。50 Hz の波の周期は 0.02 s です。
- E = hf でジュールと電子ボルトを混ぜる。h を J·s で使えばエネルギーはジュールで出ます。eV にするには 1.602176634 × 10⁻¹⁹ で割ってください。
波長と振動数についてよくある質問
波の速さの公式は？
v = fλ、波の基本式です。波の速さは振動数と波長の積に等しくなります。f をヘルツ、λ をメートルで入れれば、v はメートル毎秒で出ます。振動数 2 Hz、波長 0.5 m の波は 1 m/s で進みます。
振動数から波長を求めるには？
波の速さを振動数で割ります: λ = v/f。光なら c = 299,792,458 m/s を使うので λ = c/f です。2.4 GHz の Wi-Fi の波長は 299,792,458 / (2.4 × 10⁹) = 0.125 m、およそ 12.5 cm です。
波長から振動数を求めるには？
速さを波長で割ります: f = v/λ、光なら f = c/λ です。650 nm の赤い光の振動数は 299,792,458 / (650 × 10⁻⁹) = 4.61 × 10¹⁴ Hz、およそ 461 THz です。
光子のエネルギーはどう求めますか？
E = hf で、h = 6.62607015 × 10⁻³⁴ J·s はプランク定数です。波長からなら c = fλ と組み合わせて E = hc/λ。500 nm の光子は 3.97 × 10⁻¹⁹ J、つまり 2.48 eV をもちます。
光の色ごとの波長は？
おおよそ、紫 380 から 450 nm、青 450 から 495 nm、緑 495 から 570 nm、黄 570 から 590 nm、橙 590 から 620 nm、赤 620 から 750 nm です。色は互いに溶け合っているので、境目はおおよそです。
音の速さは？
20 °C の乾燥した空気中でおよそ 343 m/s、0 °C では 331 m/s で、温度とともに大きくなります。水中ではおよそ 1500 m/s と4倍以上速く、固体中ではさらに速くなります。
なぜ c はちょうど 299,792,458 m/s なのですか？
1983 年から、メートルは光の速さをもとに定義されています。真空中で光が 1/299,792,458 秒に進む距離が 1 メートルです。だから c は定義によって正確な値で、プランク定数も 2019 年から正確な値になりました。
