Das Distributivgesetz
a(b + c) = ab + ac wird meist behauptet und dann geübt. Es lässt sich leichter behalten, wenn man es gesehen hat - denn es ist ein Bild: ein Rechteck, in zwei geteilt.
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Du hast das Distributivgesetz fast sicher schon benutzt, ohne seinen Namen zu hören. Bei 7 × 23 rechnen die meisten 7 × 20 = 140, dann 7 × 3 = 21 und addieren zu 161. Das ist 7(20 + 3) = 7*20 + 7*3 - die Regel, auf das Rechnen angewandt.
In der Algebra tut sie dieselbe Arbeit mit Buchstaben, und sie ist der Grund, warum Klammern überhaupt entfernt werden können. Hier ist, warum sie gilt.
Ein Rechteck zu zerschneiden ändert seinen Flächeninhalt nicht. Das ist das ganze Distributivgesetz.
Es ist ein Rechteck, zerschnitten
Stell die Schieberegler auf a = 3, b = 4, c = 2 und sieh die Figur an.
Das ganze Rechteck ist 3 hoch und 4 + 2 = 6 breit, sein Flächeninhalt ist also 3(4 + 2) = 18. Der senkrechte Schnitt teilt es in ein Stück 3 mal 4 und ein Stück 3 mal 2, mit den Flächen 3*4 = 12 und 3*2 = 6 - und 12 + 6 ist 18.
Das ist der ganze Beweis. Ein Rechteck zu zerschneiden ändert seinen Flächeninhalt nicht, also müssen der eine Ausdruck und der zweiteilige Ausdruck gleich sein, welche Zahlen auch dastehen. Bewege alle drei Schieberegler, und die zwei Summen widersprechen sich nie.
Allgemein geschrieben: a(b + c) = a*b + a*c.
Die Seitenbeschriftungen lohnen einen Blick, denn sie sagen, welche Zahl was tut. Das a steht außerhalb der Klammer und multipliziert beide Stücke, denn beide sind a hoch. Nichts innerhalb der Klammer multipliziert irgendetwas anderes.
Der Fall mit Minus, an dem es rutscht
Zieh jetzt c unter Null.
Das zweite Rechteck wechselt die Farbe und rückt in das erste hinein, denn eine negative Breite heißt, dass das Stück weggenommen wird. Mit a = 3, b = 4 und c = -2 ist die Summe 3(4 - 2) = 6 - und die zwei Stücke sind 3*4 = 12 und minus 3*2 = 6. Zwölf weniger sechs.
Das Minuszeichen wandert also auf den zweiten Term:
a(b - c) = a*b - a*c
Das ist der Fehler, gegen den man sich wappnen sollte. -2(x + 3) als -2x + 6 zu schreiben ist falsch; die -2 multipliziert beide Terme und ergibt -2x - 6. Wenn du je unsicher bist, setz eine Zahl ein: Bei x = 1 ist der ursprüngliche Ausdruck -2(1 + 3) = -8, und nur -2x - 6 liefert -8.
Damit etwas lösen
Klammern zu entfernen ist selten das Ziel an sich - es ist ein Schritt dahin, einen Buchstaben allein zu bekommen. Hier steckt es in einer Lösung:
Bemerkenswert: Der Weg oben hat die Klammer überhaupt nicht ausmultipliziert, denn weil 27 durch 3 teilbar ist, war es schneller, zuerst beide Seiten zu teilen. Ausmultiplizieren ist ein Werkzeug, keine Pflicht - der Umweg über 3x + 12 = 27 erreicht dasselbe x = 5, nur länger.
Rückwärts gelesen
Lies a*b + a*c = a(b + c) von rechts nach links und du hast das Faktorisieren: einen Faktor erkennen, den alle Terme gemeinsam haben, und ihn vorziehen. 6x + 9 wird zu 3(2x + 3), weil beide Terme durch 3 teilbar sind.
Es ist dasselbe Bild von der anderen Seite betrachtet: Statt ein Rechteck zu zerschneiden, merkst du, dass zwei Rechtecke gleich hoch sind und zusammengeschoben werden können.
Probier eine
Bei dieser steht das Minus absichtlich außen. Wenn -1 herauskommt, hat das Minuszeichen die 3 nicht erreicht.
Häufige Fragen
- Was ist das Distributivgesetz?
- Es sagt, dass das Multiplizieren einer Summe dasselbe ergibt wie das Multiplizieren jedes Teils und anschließende Addieren: a(b + c) = ab + ac. Es ist das, womit man in der Algebra Klammern auflöst, und der Grund, warum du 7 × 23 im Kopf als 7 × 20 plus 7 × 3 rechnen kannst.
- Warum gilt a(b + c) = ab + ac?
- Weil beide Seiten der Flächeninhalt desselben Rechtecks sind. Ein Rechteck der Höhe a und Breite (b + c) hat den Flächeninhalt a(b + c). Schneide es mit einer senkrechten Linie in ein Stück der Breite b und eines der Breite c, dann sind die zwei Flächen ab und ac. Eine Figur zu zerschneiden ändert nicht, wie viel Figur da ist - die zwei Ausdrücke müssen also gleich sein.
- Wie funktioniert es mit einem Minuszeichen?
- Das Vorzeichen wandert auf jeden Term in der Klammer. -2(x + 3) ist also -2x - 6 und nicht -2x + 6: Beide Terme werden mit der -2 multipliziert. Das ist der häufigste Fehler bei Klammern, und es lohnt sich, ihn jedes Mal zu prüfen, indem man fragt, was beim Einsetzen einer Zahl passiert.
- Was ist der Unterschied zwischen Ausmultiplizieren und Faktorisieren?
- Es ist dieselbe Tatsache in umgekehrter Richtung. Ausmultiplizieren geht von a(b + c) zu ab + ac und entfernt die Klammern. Faktorisieren geht von ab + ac zurück zu a(b + c) und setzt sie. Die Regel rückwärts lesen zu können ist es, was Faktorisieren überhaupt möglich macht.
- Ist FOIL das Distributivgesetz?
- Ja - FOIL ist das Distributivgesetz, zweimal angewandt. Um (x + 2)(x + 3) auszumultiplizieren, verteilst du die ganze erste Klammer auf die zweite und verteilst dann innerhalb jedes Teils noch einmal. FOIL ist eine Eselsbrücke für die vier Produkte, die dabei entstehen; es ist keine eigene Regel - und deshalb versagt es, sobald eine Klammer drei Terme hat, während Ausmultiplizieren weiter funktioniert.
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