상관계수

두 측정값을 나란히 놓고, 예를 들어 수면 시간과 반응 시간, 기온과 아이스크림 판매량을 놓고 하나를 다른 하나에 대해 점으로 찍어 보세요. 어떤 때는 점들이 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 위로 흘러가고, 어떤 때는 아래로 흘러가고, 어떤 때는 모양 없는 구름이 됩니다. 상관계수 r은 그 인상을 -1과 1 사이의 수 하나로 바꿉니다.

아래 점들을 끌어 보세요. 두 점선은 x의 평균과 y의 평균을 표시하고, 모든 점은 그 두 선에 대해 어디에 있는지에 따라 색이 칠해집니다. 먼저 세 가지 예시를 눌러 본 다음, 점 하나를 나머지에서 멀리 끌어내 r이 어떻게 되는지 보세요.

이 수가 말해 주는 것

r은 언제나 -1과 1 사이에 있고, 서로 다른 두 가지 정보를 담습니다.

부호는 방향입니다. r이 양수면 x가 클수록 y도 큰 경향이 있다는 뜻입니다. r이 음수면 x가 클수록 y가 작은 경향이 있다는 뜻입니다. 추세가 얼마나 가파른지는 말해 주지 않습니다. 완만하게 올라가는 직선과 가파르게 올라가는 직선은 둘 다 r = 1일 수 있습니다.

크기는 점들이 직선에 얼마나 바짝 붙어 있는지입니다. 정확히 1이나 -1이면 모든 점이 한 직선 위에 있습니다. 0이면 직선 추세가 전혀 없습니다.

위의 그래프는 대부분의 교과서가 쓰는 경계로 r에 이름을 붙입니다.

이 경계는 정리가 아니라 관례입니다. 결과를 말로 설명할 때 쓸모가 있고, 분야마다 경계를 옮깁니다. 정확히 비례해야 할 두 양 사이에서 r = 0.9를 잰 물리학자에게는 문제가 있는 것이고, 두 성향 사이에서 r = 0.4를 찾은 심리학자에게는 결과가 있는 것입니다.

공식은 어디서 오는가

각 점은 두 평균 점선이 만드는 네 구역 중 하나에 있습니다. 중심의 오른쪽 위에 있는 점은 x가 평균보다 크고 y도 평균보다 큽니다. 왼쪽 위에서는 x가 평균보다 작고 y가 큽니다. 공식 전체가 이 그림 위에 세워져 있습니다.

r = Σ(x - x̄)(y - ȳ) / √(Σ(x - x̄)² Σ(y - ȳ)²)

먼저 분자를 보세요. 각 점마다 x가 평균에서 떨어진 거리와 y가 평균에서 떨어진 거리를 곱합니다. 오른쪽 위와 왼쪽 아래 구역에서는 두 거리의 부호가 같으므로 곱이 양수입니다. 나머지 두 구역에서는 부호가 달라 곱이 음수입니다. 곱들을 더하면 그 합의 부호가 r의 부호가 되고, 그래서 수보다 먼저 그래프의 색이 방향을 알려 줍니다. 파란 점은 r을 끌어올리고 주황 점은 끌어내립니다.

분모는 크기만 맞춥니다. x의 흩어짐과 y의 흩어짐으로 나누므로, 결과는 단위에 좌우되지 않고 어느 방향으로도 1을 넘을 수 없습니다.

손으로 구해 보기

점 다섯 개를 봅시다. x = 1, 2, 3, 4, 5, y = 2, 4, 5, 4, 5입니다. x의 평균은 3, y의 평균은 4입니다.

따라서 r = 6/√60 = √15/5이고, 약 0.7746으로 강한 양의 상관입니다.

정확한 답이 제곱근이라는 점을 눈여겨보세요. 여기서 r²는 정확히 3/5라는 평범한 분수가 되고, r은 그 제곱근에 분자의 부호를 붙인 것입니다. 그래서 상관계수 계산기는 r을 반올림한 소수만이 아니라 근호로 나타내고 옆에 소수 값을 적습니다.

많은 교과서는 같은 공식을 평균을 먼저 빼지 않고 누적 합만으로 계산하는 꼴로 제시합니다.

r = (nΣxy - ΣxΣy) / √((nΣx² - (Σx)²)(nΣy² - (Σy)²))

같은 다섯 점에서 n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55, Σy² = 86입니다. 분자는 5 × 66에서 15 × 20을 뺀 30이고, 아래의 두 괄호는 50과 30이므로 r = 30 / √1500, 역시 √15/5입니다.

r과 r²

r을 제곱하면 결정계수 r²가 나옵니다. 위의 다섯 점에서 r² = 0.6입니다. 이것은 비율로 읽습니다. 이 점들을 지나는 회귀직선이 y의 변동 중 60%를 설명하고, 나머지 40%는 직선이 설명하지 못하는 흩어짐입니다.

두 수는 서로 다른 질문에 답합니다. r은 방향과 세기를 함께 알려 주므로 관계를 설명할 때 알맞습니다. r²는 부호를 버리므로 r = -0.9와 r = 0.9는 둘 다 0.81이 되고, 직선이 얼마나 설명하는지가 질문일 때 인용할 수입니다. 또한 r이 0이나 ±1이 아닌 한 r²는 언제나 |r|보다 작으므로, 그럴듯하게 들리는 r = 0.5는 r² = 0.25가 됩니다. 직선이 변동의 4분의 1을 설명한다는 뜻입니다.

상관관계는 인과관계가 아니다

강한 r은 이 데이터에서 두 양이 함께 움직인다는 뜻입니다. 이유는 말해 주지 않으며, 한쪽이 다른 쪽을 일으키는 것과 무관한 흔한 이유가 세 가지 있습니다.

• 제3의 양이 둘을 함께 움직인다. 아이스크림 판매와 물놀이 사고는 함께 늘고 줄어듭니다. 더운 날씨가 둘 다 일으킵니다.
• 원인이 반대 방향이다. 바람이 센 날일수록 풍차가 빨리 돕니다. 바람이 풍차를 돌리는 것이지, 풍차가 바람을 만드는 것이 아닙니다.
• 우연. 관계없는 수열을 충분히 많이 비교하면, 특히 몇 해 정도의 짧은 기간이라면 일부는 우연히 들어맞습니다.

x가 y의 원인임을 보이려면 상관이 줄 수 없는 것이 필요합니다. 통제된 실험, 또는 다른 설명들을 배제하는 작동 원리에 대한 논증입니다.

r이 보지 못하는 것

이 수는 요약이고, 요약은 무언가를 감춥니다. 알아 둘 만한 것이 세 가지 있습니다.

곡선. 점 (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)는 정확히 y = x^2 위에 있는데, 상관계수는 정확히 0입니다. 왼쪽 절반은 내려가고 오른쪽 절반은 올라가서 곱들이 상쇄됩니다. r은 직선 관계만 재므로 완벽한 곡선도 0점을 받을 수 있습니다.

이상값. 위의 다섯 점, r ≈ 0.7746에서 시작해 점 (10, 0) 하나를 더해 보세요. 새 r은 약 -0.5529입니다. 점 하나가 부호를 뒤집었습니다. 반대 방향도 됩니다. x = 1부터 5와 y = 3, 1, 4, 1, 5는 r ≈ 0.3536으로 약하지만, 점 (12, 12) 하나를 더하면 나머지 다섯 점은 그대로인데 약 0.9084로 올라갑니다. 그래프에서 둘 다 해 보세요. 점 하나를 모서리로 끌고 가서 r을 지켜보면 됩니다.

상관없는 것. 단위를 바꿔도 r은 그대로입니다. x를 미터 대신 센티미터로 재거나 모든 x에 10을 곱해도 r은 여전히 √15/5입니다. 어느 변수를 x로, 어느 변수를 y로 둘지 바꿔도 r은 변하지 않습니다. x와 y를 바꾸면 달라지는 회귀직선과는 다릅니다.

그러니 r을 인용하기 전에 산점도를 보고, 맞춘 직선의 잔차에 이 수가 감출 만한 패턴이 있는지 확인하세요.

하나 풀어 보기

두 양의 상관계수가 r = -0.9입니다. r²는 얼마인가요?

r이 음수인데도 답은 양수이고, 0.9보다 작습니다. -0.81이 나왔다면 부호를 제곱에 그대로 가져간 것이고, 0.9가 나왔다면 제곱을 건너뛴 것입니다. 여러분의 데이터로 r을 구하려면 두 열을 상관계수 계산기에 붙여넣으세요. 합계 표와 수를 채운 공식을 보여 줍니다.