Khoảng tin cậy cho trung bình hoặc tỉ lệ ở mức 90, 95 hoặc 99%, có tính sai số biên.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Trung bình mẫu là một phỏng đoán về trung bình tổng thể, và phỏng đoán không kèm khoảng là phỏng đoán bạn không kiểm tra được. Khoảng tin cậy chính là khoảng đó: ước lượng, cộng và trừ một sai số biên. Sai số biên bằng giá trị tới hạn nhân sai số chuẩn, và mỗi thừa số trả lời một câu hỏi khác nhau. Sai số chuẩn là mức ước lượng sẽ thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác; giá trị tới hạn là số sai số chuẩn mà khoảng cần trải ra để đạt độ tin cậy bạn yêu cầu.
Với trung bình, trang làm theo cách chuẩn. Từ dữ liệu thô, trang tính chính xác trung bình và độ lệch chuẩn mẫu, độ lệch chuẩn được giữ ở dạng căn thức; từ số liệu tóm tắt, trang dùng đúng các số bạn nhập. Khi độ lệch chuẩn được ước lượng từ mẫu, giá trị tới hạn lấy từ đường cong t với n trừ 1 bậc tự do, đó là lựa chọn trung thực và là mặc định ở đây; phiên bản z chỉ cách một nút gạt, dùng khi biết sigma hoặc n lớn. Với tỉ lệ, trang đưa ra hai khoảng: khoảng Wald, có trong hầu hết sách giáo khoa, và khoảng Wilson, khoảng nên báo cáo, vì Wald hoạt động kém khi tỉ lệ gần 0 hoặc 1 hay khi mẫu nhỏ.
Khoảng tin cậy được vẽ trên trục số bên dưới đáp án, có đánh dấu ước lượng, vì hình vẽ một khoảng nói lên điều mà một cặp số không nói được: khoảng rộng bao nhiêu so với vị trí của nó. Một khoảng cho trung bình chạy từ 4,9 đến 5,1 và một khoảng chạy từ 2 đến 8 đều là khoảng tin cậy; chỉ một trong hai đáng được báo cáo đến ba chữ số thập phân.
Trung bình mẫu hoặc tỉ lệ mẫu. Giữ chính xác nếu có thể; trang này làm vậy.
Với trung bình, lấy độ lệch chuẩn chia căn n. Với tỉ lệ, lấy căn của p(1 − p) chia n.
Với trung bình có sigma ước lượng, tra trên đường cong t với n trừ 1 bậc tự do ở mức bạn chọn. Khi biết sigma hoặc với tỉ lệ, tra trên đường cong chuẩn: 1,645, 1,960 hoặc 2,576 cho 90, 95 hoặc 99%.
Sai số biên bằng giá trị tới hạn nhân sai số chuẩn. Khoảng tin cậy chạy từ ước lượng trừ sai số biên đến ước lượng cộng sai số biên.
Số sai số chuẩn mà khoảng tin cậy trải ra ở mỗi phía của ước lượng.
| Độ tin cậy | z | t, df = 5 | t, df = 10 | t, df = 30 |
|---|---|---|---|---|
| 90% | 1,645 | 2,015 | 1,812 | 1,697 |
| 95% | 1,960 | 2,571 | 2,228 | 2,042 |
| 99% | 2,576 | 4,032 | 3,169 | 2,750 |
x̄ = 50, s = 10, n = 25, 95%Sai số chuẩn là 10 chia 5, tức 2. Với 24 bậc tự do, giá trị t tới hạn ở mức 95% là 2,064, nên sai số biên khoảng 4,13 và khoảng tin cậy chạy từ 45,87 đến 54,13. Dùng z thay vào sẽ được 1,96 nhân 2, sai số biên 3,92, hơi quá hẹp với mẫu 25 phần tử.
2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9Trung bình đúng bằng 5 và độ lệch chuẩn mẫu là 4√14/7, khoảng 2,138. Chia cho căn 8 được sai số chuẩn khoảng 0,756; với 7 bậc tự do, giá trị t là 2,365, và khoảng tin cậy 95% vào khoảng từ 3,21 đến 6,79.
40 lần thành công trong 100 lần thửTỉ lệ mẫu là 0,4. Khoảng Wald là 0,4 cộng trừ 1,96 nhân 0,049, tức từ 0,304 đến 0,496. Khoảng Wilson là từ 0,309 đến 0,498: dịch nhẹ về phía giữa, chính là phần hiệu chỉnh giúp nó đáng tin ở hai đầu. Với 40 và 60 đều lớn hơn 10 nhiều, hai khoảng gần như trùng nhau; với 3 lần thành công trong 10 lần thử thì sẽ không như vậy.
Lấy trung bình mẫu, tính sai số chuẩn bằng độ lệch chuẩn chia căn bậc hai của n, nhân với giá trị tới hạn cho mức 95% (1,96 với z, hoặc giá trị t với n trừ 1 bậc tự do khi độ lệch chuẩn được ước lượng), rồi cộng và trừ sai số biên đó vào trung bình. Trang thực hiện mỗi bước trên một dòng riêng.
Nghĩa là phương pháp tạo ra khoảng đó bắt được giá trị thật trong 95% số lần qua nhiều lần lấy mẫu. Không có nghĩa là có 95% xác suất giá trị thật nằm trong khoảng cụ thể này; giá trị đó cố định, và khoảng hoặc chứa nó, hoặc không. Cách hiểu thực tế: các giá trị bên trong phù hợp với dữ liệu, các giá trị bên ngoài thì không.
Dùng t mỗi khi độ lệch chuẩn được ước lượng từ chính mẫu đó, đây là trường hợp thường gặp. Dùng z khi biết độ lệch chuẩn của tổng thể, hoặc như một xấp xỉ khi n lớn, trên vài trăm. Với n = 10, chênh lệch là 2,26 so với 1,96, quá lớn để bỏ qua.
Một nửa độ rộng của khoảng tin cậy: giá trị tới hạn nhân sai số chuẩn. Đó là con số cộng trừ mà các cuộc thăm dò hay nêu. Sai số biên 3% trên kết quả 52% nghĩa là khoảng chạy từ 49% đến 55%.
Khoảng Wald là công thức sách giáo khoa, p cộng trừ z nhân căn của p(1 − p) chia n; đơn giản và là thứ hầu hết các khóa học dạy. Khoảng Wilson khắc phục những điểm yếu đã biết của Wald gần 0, gần 1 và với mẫu nhỏ, và là khoảng các nhà thống kê khuyên nên báo cáo. Cả hai được hiển thị để bạn thấy cả đáp án sách giáo khoa lẫn đáp án tốt hơn.
Biến đổi công thức sai số biên: n = (z × σ / E)². Với tỉ lệ ở trường hợp xấu nhất p = 0,5, n = (z / (2E))², nên sai số biên 3% ở mức 95% cần khoảng 1.068 người. Giảm sai số biên một nửa thì cỡ mẫu gấp bốn.
Có, theo một chiều: nếu khoảng 95% cho một hiệu số không chứa 0, hiệu số đó có ý nghĩa ở mức 5%, và nếu khoảng cho trung bình không chứa giá trị giả thuyết, kiểm định một mẫu sẽ bác bỏ giá trị đó. Khoảng tin cậy còn cho biết hiệu ứng lớn đến đâu, điều mà riêng kiểm định không cho biết.
