Hệ số Pearson r từ dữ liệu của bạn, chính xác dưới dạng căn thức, kèm mức độ mạnh yếu và lời giải.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Hệ số tương quan r là một số duy nhất nằm giữa -1 và 1. Dấu của nó là chiều của xu hướng: dương khi y có xu hướng tăng lúc x tăng, âm khi y có xu hướng giảm. Độ lớn của nó là mức các điểm bám sát một đường thẳng: 1 hoặc -1 khi mọi điểm nằm trên một đường thẳng, 0 khi hoàn toàn không có xu hướng tuyến tính. r không có đơn vị, nên không đổi khi bạn đo x bằng xentimét thay vì mét.
Phép tính này chính là phép tính mà môn thống kê yêu cầu bạn trình bày. Lập bảng với x, y, xy, x² và y², cộng từng cột, rồi thay các tổng vào r = (nΣxy trừ ΣxΣy) chia cho căn bậc hai của (nΣx² trừ (Σx)²) nhân (nΣy² trừ (Σy)²). Trang này in bảng đó và công thức đã thay số bên dưới đáp án, nên con số đến cùng với lời giải.
Đáp án là chính xác. Với dữ liệu bạn nhập được, bình phương của r luôn là một phân số, nên bản thân r là căn bậc hai của một phân số kèm dấu, và đó là thứ trang này in ra: √15/5 cho bộ dữ liệu sách giáo khoa thay vì 0,77, vốn chỉ là hai chữ số của nó. Số thập phân nằm cạnh căn thức, và nhãn độ mạnh đọc nó theo các ngưỡng nêu bên dưới.
Với mỗi điểm, viết x, y, xy, x² và y², rồi cộng từng cột và đếm số điểm. Với x = 1, 2, 3, 4, 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5, ta có n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66, Σx² = 55 và Σy² = 86.
nΣxy trừ ΣxΣy = 5 × 66 trừ 15 × 20 = 30. Dấu của nó là dấu của r.
nΣx² trừ (Σx)² = 275 trừ 225 = 50, và nΣy² trừ (Σy)² = 430 trừ 400 = 30. Cả hai luôn dương, trừ khi mọi x hoặc mọi y đều bằng nhau.
r = 30 / √(50 × 30) = 30 / √1500 = 30 / (10√15) = √15/5. Dạng thập phân là khoảng 0,7746, một tương quan dương mạnh.
Các nhãn là nhãn mà máy tính này in ra. r² là r nhân với chính nó, nên dấu biến mất.
| r | Nhãn | r² | Biểu đồ phân tán trông thế nào |
|---|---|---|---|
| 1 | dương hoàn hảo | 1 | Mọi điểm nằm trên một đường đi lên |
| 0,9 | dương mạnh | 0,81 | Một dải hẹp đi lên về bên phải |
| 0,7 | dương mạnh | 0,49 | Một dải đi lên rõ ràng, hơi tản ra |
| 0,5 | dương vừa | 0,25 | Xu hướng đi lên với nhiều điểm tản mát |
| 0,2 | dương yếu | 0,04 | Độ nghiêng bạn sẽ bỏ qua nếu không có con số |
| 0,05 | không có tương quan tuyến tính | 0,0025 | Một đám mây không hình dạng, hoặc một đường cong |
| -0,8 | âm mạnh | 0,64 | Một dải đi xuống rõ ràng về bên phải |
| -1 | âm hoàn hảo | 1 | Mọi điểm nằm trên một đường đi xuống |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Tử số của công thức là 30 và hai ngoặc ở mẫu là 50 và 30, nên r = 30 / √1500 = √15/5, khoảng 0,7746. r² = 0,6 chính xác. Nhãn là dương mạnh, và đường thẳng khớp nhất là y = 0,6x + 2,2.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 10, 8, 9, 5, 4, 2Tử số là -168 và hai ngoặc là 105 và 296, nên r = -168 / √31080 = -2√7770/185, khoảng -0,9529. r² = 168/185, khoảng 0,9081. Khi x tăng, y giảm một cách đều đặn; một điểm phá vỡ quy luật, (3, 9), không đủ để làm nó yếu đi nhiều.
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 3, 1, 4, 1, 5r = √2/4, khoảng 0,3536, và r² = 0,125, nên một đường thẳng giải thích được một phần tám biến thiên của y. Nhãn là dương yếu: có độ nghiêng đi lên, nhưng biểu đồ phân tán sẽ cho thấy chủ yếu là nhiễu.
x: -2, -1, 0, 1, 2; y: 4, 1, 0, 1, 4Mọi điểm đều nằm trên y = x², vậy mà r = 0 chính xác. Tử số của công thức là 5 × 0 trừ 0 × 10 = 0: nửa trái đi xuống triệt tiêu nửa phải đi lên. r chỉ đo quan hệ tuyến tính, vì vậy biểu đồ phân tán phải xem trước.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 10; y: 2, 4, 5, 4, 5, 0Đây là bộ dữ liệu sách giáo khoa thêm một điểm ở (10, 0). r giảm từ khoảng 0,7746 xuống -52√8845/8845, khoảng -0,5529: chỉ một điểm nằm đủ xa là đảo ngược được dấu. Điều tương tự xảy ra theo chiều ngược lại: x = 1 đến 5 với y = 3, 1, 4, 1, 5 có r ≈ 0,3536, và thêm (12, 12) sẽ đẩy nó lên khoảng 0,9084.
Lập bảng x, y, xy, x² và y² cho mọi điểm và cộng từng cột. Khi đó r = (nΣxy trừ ΣxΣy) / √((nΣx² trừ (Σx)²)(nΣy² trừ (Σy)²)). Với x = 1 đến 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5, kết quả là 30 / √(50 × 30) = √15/5, khoảng 0,7746. Dán hai cột của bạn vào phía trên và trang sẽ điền công thức theo cùng cách đó.
Máy tính này gọi |r| từ 0,7 trở lên là mạnh, từ 0,4 đến dưới 0,7 là vừa, từ 0,1 đến dưới 0,4 là yếu và dưới 0,1 là không có tương quan tuyến tính. Đó là các ngưỡng sách giáo khoa phổ biến, không phải ngưỡng chung cho mọi nơi: trong phòng thí nghiệm vật lý, 0,9 có thể là đáng thất vọng, còn trong khoa học xã hội, 0,4 có thể là kết quả đáng chú ý.
r có dấu còn r² thì không. r cho biết chiều và độ mạnh; r² cho biết phần biến thiên của y mà đường thẳng khớp nhất giải thích được. r = 0,7746 cho r² = 0,6, nghĩa là đường thẳng giải thích 60% biến thiên và để lại 40% là phần tản mát.
Không. r luôn nằm giữa -1 và 1 và chỉ chạm một trong hai đầu khi mọi điểm nằm trên một đường thẳng. Đáp án lớn hơn 1 nghĩa là có một tổng bị tính sai, thường gặp nhất là Σx² bị tính thành (Σx)².
Không. Nó có nghĩa là hai đại lượng biến đổi cùng nhau trong dữ liệu này. Một yếu tố thứ ba có thể tác động lên cả hai, như trời nóng làm tăng cả doanh số kem lẫn tai nạn đuối nước, hoặc quan hệ nhân quả có thể theo chiều ngược lại. Muốn chứng minh nhân quả cần một thí nghiệm hoặc một lập luận về cơ chế.
Là r của Pearson, hệ số tương quan thông dụng, đo mức một đường thẳng khớp với chính các giá trị. Hệ số Spearman áp dụng cùng công thức cho thứ hạng của các giá trị, nên nó đo mọi quan hệ tăng hoặc giảm đều đặn và ít nhạy với điểm ngoại lai hơn.
Vì đó là giá trị chính xác của nó. Với dữ liệu bạn nhập được, r² luôn là một phân số, nên r là căn bậc hai của phân số đó kèm dấu: √15/5 cho bộ dữ liệu sách giáo khoa. Số thập phân 0,7746 được in bên cạnh như một giá trị gần đúng, và nhãn độ mạnh đọc theo số đó.
Ít nhất ba điểm ở đây. Với hai điểm, r luôn là 1 hoặc -1, vì luôn có một đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ, nên con số không nói lên gì về dữ liệu. Ngay cả với vài điểm, r vẫn có thể dao động nhiều, nên hãy coi r từ năm điểm chỉ là một ước đoán sơ bộ.
