Đường thẳng khớp nhất với các điểm của bạn, chính xác, kèm r và từng bước giải.
Cập nhật lần cuối
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Dữ liệu thực tế không bao giờ nằm gọn trên một đường thẳng, nên bất kỳ đường nào bạn vẽ qua nó cũng lệch khỏi phần lớn các điểm. Mỗi độ lệch là một phần dư: giá trị y thực tế trừ đi giá trị y mà đường thẳng dự đoán. Hồi quy tuyến tính bình phương từng phần dư, cộng các bình phương lại và chọn đường thẳng duy nhất làm tổng này nhỏ nhất. Đường đó là đường hồi quy bình phương tối thiểu, còn gọi là đường thẳng khớp nhất, và với mọi tập điểm có các giá trị x không bằng nhau hết thì chỉ có đúng một đường như vậy.
Để tìm nó, bạn cần năm số: số điểm n và các tổng của x, y, xy và x². Hệ số góc là m = (nΣxy trừ ΣxΣy) chia cho (nΣx² trừ (Σx)²), còn tung độ gốc là b = (Σy trừ mΣx) chia cho n. Trang này lập bảng các tổng đó, thay số của bạn vào cả hai công thức và hiển thị từng dòng tính toán, vì bảng này chính là phần giáo viên sẽ kiểm tra.
Hệ số góc và tung độ gốc được giữ ở dạng phân số chính xác. Với dữ liệu gồm số nguyên, số thập phân và phân số, chúng luôn là số hữu tỉ, nên hệ số góc 162/35 được in ra là 162/35 chứ không phải 4.6286, vốn chỉ là giá trị làm tròn. Hệ số tương quan r là một căn bậc hai, nên nó được hiển thị dưới dạng căn thức kèm số thập phân bên cạnh. Nút Sao chép cho bạn phương trình đường thẳng ở dạng thập phân, sẵn sàng dán vào bảng tính.
Viết mỗi điểm thành một hàng với bốn cột: x, y, xy và x². Cộng từng cột và đếm số điểm. Với x = 1, 2, 3, 4, 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5, bạn được n = 5, Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 và Σx² = 55.
m = (nΣxy trừ ΣxΣy) / (nΣx² trừ (Σx)²). Ở đây là (5 × 66 trừ 15 × 20) / (5 × 55 trừ 15²) = 30 / 50 = 0.6. Giữ ở dạng phân số nếu kết quả không phải là một số thập phân ngắn.
b = (Σy trừ mΣx) / n. Ở đây (20 trừ 0.6 × 15) / 5 = 11/5 = 2.2. Dùng hệ số góc chính xác từ bước trước, không dùng giá trị đã làm tròn.
y = 0.6x + 2.2. Kiểm tra xem đường thẳng có đi qua điểm trung bình (3, 4) không: 0.6 × 3 + 2.2 = 4. Nếu không, một trong các tổng đã bị tính sai.
Tính r, hoặc xem các phần dư. Ở đây r = √15/5, khoảng 0.7746, và các phần dư là -0.8, 0.6, 1, -0.6 và -0.2, tổng bình phương của chúng bằng 2.4.
Mỗi hàng là một tập dữ liệu được nhập vào máy tính ở trên. Hệ số góc và tung độ gốc là giá trị chính xác; r được hiển thị dưới dạng căn thức kèm số thập phân.
| Giá trị x | Giá trị y | Đường thẳng khớp nhất | r | r² |
|---|---|---|---|---|
| 1, 2, 3, 4, 5 | 2, 4, 5, 4, 5 | y = 0.6x + 2.2 | √15/5 ≈ 0.7746 | 0.6 |
| 0, 1, 2, 3 | 7, 5, 3, 1 | y = -2x + 7 | -1 | 1 |
| 2, 4, 6, 8, 10 | 3, 7, 8, 12, 15 | y = 1.45x + 0.3 | 29√215/430 ≈ 0.9889 | 841/860 |
| 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 52, 58, 61, 67, 70, 76 | y = (162/35)x + 47.8 | 9√15/35 ≈ 0.9959 | 243/245 |
| 1, 2, 3, 4, 5 | 3, 1, 4, 1, 5 | y = 0.4x + 1.6 | √2/4 ≈ 0.3536 | 0.125 |
| 1, 3 | 2, 8 | y = 3x - 1 | 1 | 1 |
| -2, -1, 0, 1, 2 | 4, 1, 0, 1, 4 | y = 2 | 0 | 0 |
x: 1, 2, 3, 4, 5; y: 2, 4, 5, 4, 5Các tổng là Σx = 15, Σy = 20, Σxy = 66 và Σx² = 55 với n = 5. Hệ số góc là 30/50 = 0.6 và tung độ gốc là 11/5 = 2.2, nên đường thẳng là y = 0.6x + 2.2. Các phần dư là -0.8, 0.6, 1, -0.6 và -0.2, cộng lại bằng 0, và tổng bình phương của chúng bằng 2.4. Hệ số tương quan là r = √15/5, khoảng 0.7746: tương quan thuận và mạnh.
x: 1, 2, 3, 4, 5, 6; y: 52, 58, 61, 67, 70, 76Giá trị trung bình là 3.5 giờ và 64 điểm. Hệ số góc là 162/35, khoảng 4.63 điểm mỗi giờ, và tung độ gốc là 64 trừ (162/35) × 3.5 = 47.8, nên y = (162/35)x + 47.8 với r ≈ 0.9959. Với 4.5 giờ, đường thẳng dự đoán 2402/35, khoảng 68.63. Với 12 giờ, nó dự đoán khoảng 103.34 trên một bài thi thang điểm 100: một phép ngoại suy mà dữ liệu không thể chống đỡ.
x: 0, 1, 2, 3; y: 7, 5, 3, 1Mỗi khi x tăng 1 thì y giảm 2, nên các điểm nằm đúng trên y = -2x + 7. Máy tính tìm ra đường đó, mọi phần dư đều bằng 0, tổng bình phương phần dư bằng 0, và r = -1: tương quan nghịch hoàn hảo.
x: 2, 4, 6, 8, 10; y: 3, 7, 8, 12, 15Đường thẳng là y = 1.45x + 0.3 với r ≈ 0.9889, và nó đi qua điểm trung bình (6, 9). Tại x = 7, nằm trong dữ liệu, nó dự đoán 10.45, và đó là phép nội suy đáng tin cậy ngang với độ khớp. Tại x = 60, nó dự đoán 87.3, vượt điểm cuối cùng tới năm mươi đơn vị, nơi không có gì trong dữ liệu cho thấy xu hướng vẫn còn đúng.
x: 0, 1, 2, 3, 4, 5; y: 0, 1, 4, 9, 16, 25Đường thẳng khớp nhất là y = 5x - 10/3 với r ≈ 0.9599, nghe có vẻ rất tốt. Các phần dư là 10/3, -2/3, -8/3, -8/3, -2/3 và 10/3: dương ở hai đầu, âm ở giữa. Hình chữ U đó cho thấy các điểm nằm trên một đường cong, và hồi quy bậc hai khớp chúng chính xác thành y = x².
Lập bảng gồm x, y, xy và x² cho mỗi điểm rồi cộng các cột. Hệ số góc là m = (nΣxy trừ ΣxΣy) / (nΣx² trừ (Σx)²) và tung độ gốc là b = (Σy trừ mΣx) / n. Với x = 1 đến 5 và y = 2, 4, 5, 4, 5, bạn được m = 30/50 = 0.6 và b = 11/5 = 2.2, nên y = 0.6x + 2.2. Trang này in ra đúng bảng đó và điền số vào cả hai công thức để bạn kiểm tra từng dòng.
Đó là đường thẳng làm cho tổng bình phương các phần dư nhỏ nhất có thể, trong đó phần dư là giá trị y thực tế của một điểm trừ đi giá trị y mà đường thẳng dự đoán. Đường này là duy nhất khi các giá trị x không bằng nhau hết. Với năm điểm ở trên, không có đường nào khác đưa tổng bình phương xuống dưới 2.4.
Hệ số góc là mức thay đổi trung bình của y khi x tăng 1, tính bằng đơn vị của y trên mỗi đơn vị của x. Tung độ gốc là giá trị y dự đoán khi x bằng 0. Tung độ gốc chỉ có ý nghĩa nếu x = 0 nằm trong hoặc gần dữ liệu; hồi quy cân nặng theo chiều cao có tung độ gốc ở chiều cao 0, không mô tả một người thật nào cả.
Có. Trong thống kê, đường thẳng khớp nhất chính là đường hồi quy bình phương tối thiểu, và đó là thứ máy tính này tính ra. Một đường khớp nhất vẽ bằng mắt trên giấy chỉ là ước lượng của nó, và đường đó nên đi qua điểm trung bình, như đường được tính toán luôn làm.
Điều đó tùy vào lĩnh vực. r² là tỷ lệ biến thiên của y mà đường thẳng giải thích được, nên 0.9 nghĩa là 90%. Số đo từ một thí nghiệm vật lý có kiểm soát thường đạt 0.99; dữ liệu về con người thường chỉ dừng ở mức từ 0.3 đến 0.5 mà vẫn hữu ích. r² cao không chứng minh rằng đường thẳng là dạng đúng, nên hãy kiểm tra cả các phần dư.
Hai điểm xác định một đường thẳng, nên máy tính chấp nhận hai điểm, nhưng đường đi qua hai điểm luôn khớp hoàn hảo và không nói gì về dữ liệu. Từ ba điểm trở lên, các phần dư, r và r² mới bắt đầu mang thông tin, và càng nhiều điểm thì hệ số góc càng đáng tin cậy.
Trong khoảng các giá trị x của bạn thì có: đó là phép nội suy, và nó tốt ngang với độ khớp. Ngoài khoảng đó là phép ngoại suy, và không có gì trong dữ liệu cho thấy xu hướng còn tiếp tục. Ví dụ về điểm thi trên trang này dự đoán khoảng 103 điểm cho 12 giờ học, trên một bài thi thang điểm 100.
Vì hệ số góc và tung độ gốc của đường bình phương tối thiểu trên dữ liệu hữu tỉ là số hữu tỉ, và phân số là giá trị chính xác. 162/35 là hệ số góc; 4.6286 là giá trị làm tròn của nó, và mọi dự đoán dựa trên giá trị làm tròn đều mang theo sai số. Nút Sao chép cho bạn số thập phân khi cần.
