Ví dụ kinh điển: căn 72
plain
sqrt(72)72 = 2 mũ 3 x 3 mũ 2. Các cặp là 2x2 và 3x3, đưa một số 2 và một số 3 ra ngoài, để lại một số 2 bên trong. Vậy căn 72 = 6 căn 2, và bình phương lại cho 36 x 2 = 72.
Máy tính căn thức
Rút gọn, cộng trừ và trục căn thức ở mẫu: đáp án là một dạng biểu thức, không phải số thập phân.
Cập nhật lần cuối
Muốn tự giải mà không cần máy tính?
Khóa học toán của Coddy dạy chính phương pháp giải: bạn làm từng bước trên một bảng tương tác và được chỉ ra chính xác bước nào bị sai.
Đáp án của bài toán căn thức là một dạng viết, không phải số thập phân
Máy tính sẽ cho bạn biết căn bậc hai của 72 là 8.4852814. Đó gần như không bao giờ là đáp án mà bài toán căn thức cần. Điều bài toán cần là 6 nhân căn 2: cùng một đại lượng nhưng viết sao cho không còn lũy thừa hoàn hảo nào ẩn dưới dấu căn. Khác biệt đó chính là toàn bộ chủ đề: rút gọn căn là viết lại, không phải tính giá trị, và một số thập phân vứt bỏ sự chính xác mà bạn được yêu cầu giữ lại.
Mọi thứ trên trang này đều chính xác. Căn bậc hai của 72 là 6 căn 2, căn bậc ba của 54 là 3 căn bậc ba của 2, căn bậc hai của hai phần ba là căn 6 chia 3, và một chia cho hai cộng căn 3 đúng bằng 2 trừ căn 3. Mỗi đáp án có kèm số thập phân bên cạnh, ghi rõ là giá trị gần đúng, vì đôi khi bạn thực sự muốn biết đại lượng đó lớn cỡ nào, nhưng nó không bao giờ thay thế đáp án.
Ba dạng bài dùng chung trang này vì chúng dùng chung một kỹ năng. Rút gọn là tìm lũy thừa hoàn hảo lớn nhất trong biểu thức dưới dấu căn. Cộng căn cho bạn biết hai căn có phải căn đồng dạng không, điều chỉ biết được khi cả hai đã rút gọn. Trục căn thức đưa căn ra khỏi mẫu số bằng chính căn đó hoặc bằng biểu thức liên hợp. Cả ba đều quy về cùng một quy tắc: căn của một tích bằng tích các căn.
Điều cần lưu ý
- Đưa ra ngoài số chính phương LỚN NHẤT, không phải số đầu tiên bạn nhìn thấy. 72 là 4 nhân 18, và dừng ở đó sẽ để lại căn 18, vẫn chưa phải dạng tối giản. 72 cũng là 36 nhân 2, và 6 căn 2 là đã xong.
- Phân tích ra thừa số nguyên tố là nơi lũy thừa hoàn hảo lộ diện. Khi 72 được viết thành 2 mũ 3 nhân 3 mũ 2, mỗi cặp thừa số nguyên tố bằng nhau là một thừa số có thể đưa ra ngoài dấu căn bậc hai.
- Hai căn chỉ cộng được khi số còn lại dưới dấu căn giống hệt nhau. Căn 8 cộng căn 18 thì được, vì cả hai thực chất đều là bội của căn 2. Căn 8 cộng căn 27 thì không, và 2 căn 2 cộng 3 căn 3 là đáp án cuối cùng.
- Phân số dưới dấu căn và căn ở mẫu số là cùng một vấn đề. Căn của hai phần ba chưa phải dạng tối giản; nhân bên trong với 3 phần 3 sẽ biến nó thành căn 6 chia 3, và đó mới là dạng tối giản.
- Chỉ số căn cho biết lũy thừa nào được đưa ra. Dưới căn bậc hai bạn cần từng cặp, dưới căn bậc ba cần bộ ba, dưới căn bậc bốn cần nhóm bốn. Vì vậy căn bậc ba của 54 cho ra 3 chứ không phải 6.
Cách rút gọn căn thức bằng tay
Phân tích số dưới dấu căn ra thừa số nguyên tố
Viết số dưới dấu căn thành tích các số nguyên tố. Với 72, đó là 2 x 2 x 2 x 3 x 3, tức 2 mũ 3 nhân 3 mũ 2. Làm bước này trước để bạn không bao giờ phải đoán xem có số chính phương nào ẩn trong đó.
Nhóm các thừa số nguyên tố theo chỉ số căn
Với căn bậc hai, gom các thừa số thành từng cặp; với căn bậc ba, thành từng bộ ba. Trong 72, các cặp là 2 x 2 và 3 x 3, còn thừa lại một số 2.
Mỗi nhóm đầy đủ đưa một thừa số ra ngoài dấu căn
Mỗi cặp đưa một thừa số nguyên tố đó ra ngoài căn. Cặp số 2 cho ra 2 và cặp số 3 cho ra 3, nên 6 được đưa ra ngoài, còn số 2 lẻ loi ở lại bên dưới: 6 căn 2.
Khử phân số dưới dấu căn
Nếu còn mẫu số bên trong, nhân cả tử và mẫu bên trong với số làm cho mẫu thành lũy thừa hoàn hảo. Với hai phần ba, nhân với 3 phần 3 để được 6 phần 9, và ra căn 6 chia 3.
Kiểm tra bằng cách bình phương lại đáp án
6 căn 2 bình phương lên là 36 nhân 2, tức 72. Phép kiểm tra một dòng này bắt được lỗi phổ biến nhất: đưa ra một thừa số quá nhỏ sẽ để lại bình phương không đủ bằng số dưới dấu căn.
Căn thức ở dạng tối giản
Các trường hợp gặp nhiều nhất, mỗi trường hợp ghi rõ lũy thừa hoàn hảo đã được dùng để rút gọn.
| Căn thức | Lũy thừa hoàn hảo bên trong | Dạng tối giản | Xấp xỉ |
|---|---|---|---|
| √8 | 4 | 2√2 | 2.828 |
| √12 | 4 | 2√3 | 3.464 |
| √18 | 9 | 3√2 | 4.243 |
| √32 | 16 | 4√2 | 5.657 |
| √50 | 25 | 5√2 | 7.071 |
| √72 | 36 | 6√2 | 8.485 |
| √(2/3) | không có: khử số 3 | √6 / 3 | 0.816 |
| ∛54 | 27 | 3∛2 | 3.780 |
| 3 / √2 | không có: trục căn thức | 3√2 / 2 | 2.121 |
| 1 / (2 + √3) | không có: nhân liên hợp | 2 - √3 | 0.268 |
Ví dụ có lời giải
Có hệ số phía trước: 3 căn 8
plain
3*sqrt(8)Rút gọn căn trước: căn 8 là 2 căn 2. Rồi nhân các hệ số: 3 x 2 = 6, nên đáp án là 6 căn 2. Hệ số không bao giờ được đưa vào dưới dấu căn.
Cộng những thứ tưởng không cộng được: căn 8 + căn 18
plain
sqrt(8) + sqrt(18)Không số hạng nào có căn 2 cho đến khi bạn rút gọn: căn 8 là 2 căn 2 và căn 18 là 3 căn 2. Giờ chúng là căn đồng dạng, nên cộng các hệ số: 5 căn 2.
Căn không đồng dạng: căn 8 + căn 27
plain
sqrt(8) + sqrt(27)Sau khi rút gọn, hai căn này là 2 căn 2 và 3 căn 3. Số dưới dấu căn khác nhau nghĩa là chúng không đồng dạng, nên 2 căn 2 + 3 căn 3 là đáp án: không còn gì để làm nữa.
Căn ở mẫu số: 3 chia căn 2
plain
3/sqrt(2)Nhân cả tử và mẫu với căn 2. Giá trị không đổi, vì căn 2 chia căn 2 bằng 1, và mẫu số thành 2. Đáp án là 3 căn 2 chia 2.
Biểu thức liên hợp: 1 chia cho 2 cộng căn 3
plain
1/(2 + sqrt(3))Nhân cả tử và mẫu với 2 trừ căn 3. Khi đó mẫu số là 2 bình phương trừ căn 3 bình phương, tức 4 - 3 = 1, nên cả biểu thức đúng bằng 2 - căn 3.
Những lỗi thường gặp
- Đưa ra số chính phương đầu tiên thay vì số lớn nhất. Viết căn 72 thành 2 căn 18 thì đúng nhưng chưa xong, và sẽ bị chấm sai khi đề yêu cầu "dạng căn tối giản".
- Trả lời bằng số thập phân. 8.485 không phải là căn bậc hai của 72; nó là giá trị làm tròn. Nếu đề bài dùng dấu căn, đáp án vẫn giữ dấu căn, trừ khi khai căn ra số nguyên.
- Cộng các số dưới dấu căn. Căn 4 cộng căn 9 là 2 + 3 = 5, không phải căn 13. Căn chỉ cộng được khi đồng dạng, không bao giờ cộng bên trong dấu căn.
- Nhân hai căn khác chỉ số. Căn 2 nhân căn bậc ba của 2 không phải căn 2 hay căn bậc ba của 4: quy tắc nhân yêu cầu hai chỉ số căn bằng nhau thì mới được gộp.
- Để căn ở mẫu số. Căn 2 chia 2 và 1 chia căn 2 là cùng một số, nhưng chỉ dạng đầu là tối giản; dạng sau vẫn còn căn ở dưới mẫu.
- Coi căn của một tổng là tổng các căn. Căn của 9 + 16 là căn 25 = 5, không phải 3 + 4 = 7. Quy tắc nhân tách được tích, không tách được tổng.
- Quên rằng căn bậc chẵn của số âm không phải số thực, còn căn bậc lẻ thì có. Không có căn bậc bốn thực của -16, nhưng căn bậc ba của -8 đúng bằng -2.
Câu hỏi thường gặp về căn thức
Dạng căn tối giản là gì?
Một căn thức ở dạng tối giản khi số dưới dấu căn không còn thừa số nào là lũy thừa hoàn hảo, không có phân số bên trong dấu căn, và không có căn ở mẫu số. Vì vậy 6 căn 2 là dạng tối giản còn 2 căn 18 thì không, dù chúng là cùng một số.
Làm sao để rút gọn căn bậc hai?
Phân tích số dưới dấu căn ra thừa số nguyên tố, gom các thừa số thành từng cặp, và đưa một thừa số của mỗi cặp ra ngoài dấu căn. Thừa số nào không có cặp thì ở lại bên dưới. Căn 72 thành 6 căn 2 vì 72 là 2 mũ 3 nhân 3 mũ 2.
Sao không cho luôn số thập phân?
Vì số thập phân là giá trị gần đúng còn căn thức là chính xác. Căn 2 không có dạng thập phân hữu hạn, nên 1.414 đã sai từ chữ số thứ tư; đáp án bài kiểm tra, các phép biến đổi đại số tiếp theo và mọi phép giản ước về sau đều cần dạng chính xác để đúng.
Khi nào hai căn thức cộng được với nhau?
Chỉ khi số còn lại dưới dấu căn giống nhau sau khi rút gọn, và chỉ số căn bằng nhau. Khi đó chúng hoạt động y như x + x: cộng các hệ số và giữ nguyên căn. Căn 8 cộng căn 18 là 5 căn 2; căn 8 cộng căn 27 thì không gộp được.
Làm sao để trục căn thức ở mẫu?
Nếu mẫu số là một căn đơn, nhân cả tử và mẫu với chính căn đó. Nếu mẫu là tổng hoặc hiệu như 2 cộng căn 3, nhân với biểu thức liên hợp của nó, 2 trừ căn 3: hiệu hai bình phương thu được không còn căn. Dù cách nào thì bạn cũng đang nhân với 1, nên giá trị không bao giờ thay đổi.
Biểu thức liên hợp là gì?
Là cùng hai số hạng đó nhưng đổi dấu ở giữa: liên hợp của 3 trừ 2 căn 2 là 3 cộng 2 căn 2. Nhân một nhị thức với biểu thức liên hợp của nó cho ra hiệu hai bình phương, và bình phương một căn bậc hai sẽ khử được căn, đó chính là cách làm sạch mẫu số.
Ở đây có rút gọn được căn bậc ba và bậc bốn không?
Có, mọi chỉ số căn từ 2 đến 6. Quy tắc được mở rộng: dưới căn bậc ba, bạn tìm bộ ba thừa số nguyên tố bằng nhau thay vì từng cặp, nên căn bậc ba của 54 là 3 căn bậc ba của 2 vì 54 là 27 nhân 2.
Vì sao √(2/3) không bằng √2/√3?
Thực ra là bằng: chúng là cùng một số, và cả hai đều chưa ở dạng tối giản. Căn bậc hai của phân số 2/3 bằng √2 chia √3, và nhân cả tử và mẫu với √3 cho √6 chia 3, không còn căn ở mẫu, và đó là đáp án cuối cùng.
