Sin, cos và tan
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a cạnh đốib cạnh kềc cạnh huyền
Công thức lượng giác
Mọi công thức lượng giác trên một trang: ba tỉ số lượng giác, các hằng đẳng thức suy ra từ chúng, các công thức góc, định lý sin và định lý cos, radian và đồ thị.
Cập nhật lần cuối
Mọi công thức lượng giác trên một trang: ba tỉ số, các hằng đẳng thức, các công thức góc, các định lý cho mọi tam giác, radian và đồ thị. Mỗi ký hiệu đều được gọi tên ngay dưới công thức. Chuyển sang chế độ kiểm tra để ẩn các công thức và tự kiểm tra, hoặc in cả bảng.
Tỷ số lượng giác
Hệ thức nghịch đảo
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
Hệ thức thương
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
Góc đặc biệt
Gócsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
Hằng đẳng thức
Hệ thức Pythagoras
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
Hệ thức chẵn lẻ
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
Hệ thức góc phụ nhau
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
Công thức góc
Công thức cộng
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
Công thức nhân đôi
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
Công thức góc chia đôi
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
Công thức hạ bậc
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
Công thức biến đổi tích thành tổng
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
Công thức biến đổi tổng thành tích
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
Tam giác
Định lý sin
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C các góca, b, c các cạnh đối diện chúng
Định lý cos
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C các góca, b, c các cạnh đối diện chúng
Diện tích tam giác
- Diện tích
- A = ½ab sin C
C góc xen giữa cạnh a và b
Radian và đồ thị
Radian, cung và hình quạt
- 180° = π rad
- Đổi độ sang radian
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- Độ dài cung
- s = rθ
- Diện tích hình quạt
- A = ½r²θ
r bán kínhθ góc tính bằng radians độ dài cung
Đồ thị sin và cos
- y = A sin(Bx − C) + D
- Biên độ
- |A|
- Chu kỳ
- 2π / |B|
- Độ lệch pha
- C / B
- Đường trung bình
- y = D
Mọi thứ bắt đầu từ ba tỉ số
Trong một tam giác vuông, chọn một trong hai góc nhọn và gọi nó là θ. Cạnh nằm đối diện góc đó là cạnh đối, cạnh nằm sát góc đó là cạnh kề, và cạnh dài nhất là cạnh huyền. Khi đó:
- sin θ = cạnh đối / cạnh huyền
- cos θ = cạnh kề / cạnh huyền
- tan θ = cạnh đối / cạnh kề
Gần như mọi dòng khác trên bảng đều là một trong ba tỉ số này, được biến đổi lại.
Mọi hằng đẳng thức đến từ một hệ thức
Đặt tam giác vào trong một đường tròn bán kính 1. Cạnh huyền bằng 1, nên hai cạnh góc vuông đúng bằng cos θ và sin θ, và định lý Pythagore cho ta sin²θ + cos²θ = 1.
Chỉ một dòng đó cho ra hai hệ thức còn lại. Chia mọi số hạng cho cos²θ và bạn được tan²θ + 1 = sec²θ; còn chia cho sin²θ thì bạn được 1 + cot²θ = csc²θ. Trang đường tròn lượng giác cho thấy tam giác di chuyển quanh đường tròn.
Các công thức góc đến từ hai công thức
Hãy học công thức cộng cho sin và cos. Mọi thứ trong phần công thức góc đều suy ra từ chúng:
- Nhân đôi: đặt B = A trong công thức cộng, và sin(A + A) trở thành 2 sin A cos A.
- Hạ bậc: giải cos 2θ = 1 − 2sin²θ để tìm sin²θ.
- Góc chia đôi: công thức hạ bậc với θ được viết thành một nửa của 2θ, rồi lấy căn bậc hai.
- Công thức trừ: thay B bằng −B và dùng các hệ thức chẵn lẻ.
Mọi tam giác, không chỉ tam giác vuông
Các tỉ số cần có một góc vuông. Với mọi tam giác khác, đặt tên mỗi góc bằng một chữ in hoa và cạnh đối diện góc đó bằng cùng chữ cái viết thường. Khi đó:
- Định lý sin liên hệ mỗi cạnh với góc đối diện nó. Dùng định lý này khi bạn biết một cạnh và góc đối diện với cạnh đó.
- Định lý cos là định lý Pythagore có thêm phần hiệu chỉnh theo góc: khi C = 90°, cos C = 0 và định lý trở thành c² = a² + b². Dùng định lý này khi bạn biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết cả ba cạnh.
Độ và radian
Một vòng tròn đầy đủ là 360°, tức 2π radian, nên 180° = π radian. Các hằng đẳng thức đúng với cả hai đơn vị. Độ dài cung s = rθ và diện tích hình quạt A = ½r²θ cần θ tính bằng radian: chính điều đó làm chúng gọn đến vậy.
Thử một bài
Học tiếp ở đâu
Để biết các giá trị này từ đâu mà có, hãy đọc SOHCAHTOA và đường tròn lượng giác. Bảng công thức hình học có các công thức diện tích, thể tích và tọa độ.
Câu hỏi thường gặp
Có bảng hằng đẳng thức lượng giác để in không?
Có. Mọi thứ trên trang này cũng có dạng PDF khổ A4 và PNG miễn phí. Nút tải xuống nằm phía trên bảng và lặp lại ở phía dưới.
Ba hệ thức Pythagore là gì?
sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ và 1 + cot²θ = csc²θ. Chỉ cần nhớ hệ thức đầu tiên: chia nó cho cos²θ để được hệ thức thứ hai, và chia cho sin²θ để được hệ thức thứ ba.
Khi nào dùng định lý sin, khi nào dùng định lý cos?
Dùng định lý sin khi bạn biết một góc và cạnh đối diện với góc đó, cùng thêm một cạnh hoặc một góc nữa. Dùng định lý cos khi bạn biết hai cạnh và góc xen giữa, hoặc biết cả ba cạnh. Trong tam giác vuông, bạn không cần định lý nào: các tỉ số sin, cos và tan là đủ.
Cần học thuộc những công thức lượng giác nào?
Ba tỉ số lượng giác, sin²θ + cos²θ = 1 và công thức cộng cho sin và cos. Công thức nhân đôi là công thức cộng với B = A, công thức góc chia đôi và công thức hạ bậc suy ra từ công thức nhân đôi, còn các hệ thức nghịch đảo và hệ thức thương chỉ là định nghĩa.
Các công thức có đúng với cả độ và radian không?
Có, mọi hằng đẳng thức đều đúng với cả hai đơn vị. Chỉ những công thức kết hợp góc với độ dài mới cần radian: độ dài cung s = rθ và diện tích hình quạt A = ½r²θ chỉ đúng khi θ tính bằng radian.
