Tam giác 30-60-90

Tam giác vuông nào cũng có tỷ lệ giữa các cạnh. Với gần như tất cả, các tỷ lệ đó là những số thập phân lẻ cần đến máy tính. Chỉ với đúng hai tam giác, chúng là những biểu thức chính xác ngắn gọn bạn có thể viết ra, và đó là lý do hai tam giác này xuất hiện hết bài này đến bài khác.

Chuyển qua lại giữa hai tam giác bên dưới, và thay đổi kích thước.

Tam giác 30-60-90 từ đâu mà có

Bắt đầu với một tam giác đều: ba cạnh bằng nhau, ba góc 60°. Cắt thẳng xuống chính giữa, từ đỉnh trên đến trung điểm của cạnh đáy.

Đường cắt vuông góc với cạnh đáy, nên bạn có một góc vuông. Một trong hai góc 60° ở đáy vẫn còn nguyên. Góc 60° ở đỉnh bị chia đôi, thành 30°. Đó chính là tam giác 30-60-90, và nó sinh ra từ một hình mà bạn đã biết các cạnh.

Giờ hãy đọc các cạnh. Nếu tam giác đều có cạnh bằng 2, cạnh huyền của nửa tam giác vẫn là 2 và cạnh đáy bị chia đôi còn 1. Đường cao suy ra từ định lý Pythagoras:

h^2 = 2^2 - 1^2 = 3, nên h = sqrt(3).

Các cạnh 1, sqrt(3) và 2: đó là tỷ lệ cần tìm, và nó chính xác vì đến từ một phép dựng hình chính xác chứ không phải từ việc đo đạc.

Cạnh nào nằm ở đâu

Quy tắc giúp tránh phần lớn sai lầm: cạnh lớn nhất đối diện góc lớn nhất.

Vậy cạnh huyền gấp đôi cạnh ngắn, không bao giờ gấp đôi cạnh dài. Và vì sqrt(3) xấp xỉ 1,73, cạnh góc vuông dài nằm giữa hai cạnh kia, một cách kiểm tra nhanh cho bất kỳ đáp án nào bạn viết ra.

Tam giác 45-45-90 là hình vuông cắt đôi

Cùng một mẹo, khác hình. Lấy một hình vuông cạnh 1 rồi cắt theo đường chéo. Cả hai góc còn lại đều là 45°, hai cạnh góc vuông bằng nhau, và đường chéo trở thành cạnh huyền:

d^2 = 1^2 + 1^2 = 2, nên d = sqrt(2).

Tỷ lệ 1 : 1 : sqrt(2). Tam giác này xuất hiện ở bất cứ đâu có hình vuông: đường chéo màn hình, viên gạch lát, bàn cờ.

Tìm cạnh còn thiếu

Luôn quay về cạnh ngắn trước, rồi nhân lên.

Biết cạnh huyền. Tam giác 30-60-90 có cạnh huyền 14: chia đôi, nên cạnh ngắn là 7, và cạnh góc vuông dài là 7sqrt(3).

Biết cạnh góc vuông dài. Tam giác 30-60-90 có cạnh góc vuông dài 9: chia cho sqrt(3) để được cạnh ngắn, 3sqrt(3), nên cạnh huyền là 6sqrt(3).

Biết một cạnh góc vuông của tam giác 45-45-90. Cạnh góc vuông còn lại bằng nó, và cạnh huyền bằng cạnh đó nhân sqrt(2).

Kéo thanh trượt trên hình trong lúc đọc các ví dụ đó: phép tính ở trên chỉ là số đọc được ở ba kích thước khác nhau.

Thử một bài

Một tam giác 30-60-90 có cạnh ngắn bằng 6. Cạnh góc vuông dài của nó bằng bao nhiêu?

Một tam giác 30-60-90 có cạnh ngắn bằng 6. Cạnh góc vuông đối diện góc 60 độ dài bao nhiêu?

Hãy để đáp án là 6sqrt(3) chứ không phải 10,39. Dạng chính xác mới là thứ bước tiếp theo của bài toán thực sự dùng được, và cũng là thứ người chấm thi muốn thấy.

Giá trị lượng giác chính xác hiện ra ngay

Vì hai tam giác này có các cạnh chính xác, chúng cũng có giá trị sin và cos chính xác, và đó là nguồn gốc của các con số trong mọi bảng đường tròn lượng giác:

Chỉ có ba giá trị khác nhau trong cả góc phần tư thứ nhất, và 30° với 60° là cùng một cặp đổi chỗ cho nhau, đúng như bạn mong đợi từ một tam giác được đọc từ hai góc nhọn khác nhau của nó.