相交于一点：2x + y = 5 和 x - y = 1
plain
2x + y = 5; x - y = 1两个方程相加，y 立刻被消掉，因为 +y 和 -y 互相抵消：3x = 6，所以 x = 2，再代入任一方程得 y = 1。图中两条直线相交于 (2, 1)：一个交点，一个答案。
方程组计算器
一步一步用消元法求解，画出两条直线并标出交点。
最后更新
想不用计算器也能解出这些题？
Coddy 数学课程教的是方法本身：你在交互式白板上完成每一步，哪一步出错都会准确告诉你。
方程组就是两条直线，解方程组就是找它们的交点
含 x 和 y 的两个方程，就是同一平面上的两条直线。同时满足两个方程的一对 (x, y)，就是同时落在两条直线上的点，也就是交点。整个思路就这么简单，而且它一次说明了所有情况：两条直线相交于一点，方程组有唯一解；两条直线平行，方程组无解；同一条直线画了两次，方程组有无穷多解。
消元法和代入法，只是不用画图也能找到交点的方法。这个页面两样都给你：一张图，让你看懂答案的含义；再把消元过程逐行写出来，让你看清答案是怎么算出来的。大多数计算器只给其中一样。
两种特殊情况会直接说明，而不是当成求解失败。“无解”和“无穷多解”都是真正的答案，各有明确的含义；一个遇到它们就耸耸肩的求解器，只会让你害怕这类题。这里会根据系数判断方程组的类型，所以即使没有唯一一组解可以给出，页面也能告诉你属于哪种情况。
看步骤时要注意什么
- 消元法的做法是：先让某个未知数在两个方程中的系数相同，再把两个方程相加或相减，把它消掉。整个方法就是这一个想法，反复使用。
- 相加还是相减，取决于符号。配好的系数符号相同就相减，符号相反就相加。把这一步弄反，是最常见的失误。
- 求出一个未知数后，把它代回任意一个原方程，就能求出另一个。代回哪个都行；如果两个方程算出的结果不同，说明前面某一步出错了。
- 平行线意味着斜率相同、截距不同。在代数上，它表现为 0 = -2 这样不可能成立的式子；这不是报错，而是答案本身。
- 三个未知数的做法相同：先消去一个，得到一个二元方程组，再接着解。这时图像就帮不上忙了，因为三个未知数对应的是平面，而不是直线。
如何使用方程组计算器
每行输入一个方程
像在纸上那样写：第一行写
2x + y = 5，第二行写x - y = 1。系数可以是分数或小数。看答案和类型
解在最上方。下面有一句话说明方程组在几何上是什么样子：相交于一点、互相平行，还是同一条直线写了两次。
看图像
图中画出了各条直线，并标出了交点。如果答案出乎你的意料，图像通常比代数更快说明原因。
跟着消元过程走
编号的步骤会说明消去了哪个未知数、怎么消的、还剩下什么。这正是考题要求你写出来的方法。
三种情况
每个二元一次方程组都属于下面的某一种；还没开始做代数运算，你就能从直线的关系判断出来。
| 情况 | 直线的关系 | 示例 |
|---|---|---|
| 唯一解 | 相交于一点 | 2x + y = 5, x - y = 1 → (2, 1) |
| 无解 | 平行，截距不同 | x + y = 3, x + y = 5 |
| 无穷多解 | 同一条直线写了两次 | x + y = 3, 2x + 2y = 6 |
| 只有一个方程 | 整条直线都是解 | 2x + 3y = 7 |
| 三个未知数 | 是平面，不是直线 | x + y + z = 6, x - y = 0, z = 2 |
例题详解
平行线：x + y = 3 和 x + y = 5
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x + y = 3; x + y = 5两式相减得到 0 = -2，没有任何一对数能让它成立。这不是求解器出错，而是答案本身。两条直线斜率相同、截距不同，永远不会相交，所以方程组无解。
同一条直线写了两次：x + y = 3 和 2x + 2y = 6
plain
x + y = 3; 2x + 2y = 6第二个方程是第一个方程乘以 2，所以画出来是同一条直线。这条直线上的每个点都同时满足两个方程，也就是有无穷多解。图中你只看到一条直线，因为本来就只有一条。
三个未知数：x + y + z = 6，x - y = 0，z = 2
plain
x + y + z = 6; x - y = 0; z = 2代入 z = 2 和 x = y，三个方程就变成一个，得到 x = y = 2。这里没有图像，因为三个未知数对应的是平面而不是直线；但消元的步骤完全一样，一次消去一个未知数。
常见错误
- 该减的时候加了。配好的系数符号相同时必须相减；只有符号相反时，相加才能抵消。
- 只给方程的一部分乘了倍数。如果你为了配系数而把一个方程放大，那么包括等号右边在内的每一项都要乘。
- 代回刚刚改过的方程。要代回原方程之一，否则你可能完全丢掉第二个条件。
- 求出一个未知数就停下了。二元一次方程组有两个未知数要求，只写出 x 只算答了一半。
- 把 0 = -2 当成计算错误，而不是“无解”。同样，0 = 0 表示无穷多解，而不是“这里出了什么问题”。
- 检验时搞混了哪条直线对应哪个方程。要把这对解代入两个原方程都检验一遍；只满足其中一个什么也证明不了。
方程组常见问题
怎么解方程组？
先让某个未知数在两个方程中的系数相同，再相加或相减把它消去。解出剩下的一元方程后，把这个值代回任意一个原方程，求出另一个未知数。最后把这组解代入两个方程检验。
消元法和代入法有什么区别？
消元法是把方程组合起来消去一个未知数；代入法是把一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程。两种方法得到的答案总是相同。系数比较整齐时，消元法通常更快；某个方程里已经单独出现一个未知数时，代入法更快。
方程组“无解”是什么意思？
意思是两条直线平行：斜率相同、截距不同，所以没有同时在两条直线上的点。在代数上，它表现为 0 = -2 这样不可能成立的式子。这是一个完整的答案，而不是没找到答案。
“无穷多解”是什么意思？
意思是两个方程描述的是同一条直线，其中一个是另一个的倍数。这条直线上的每个点都满足两个方程，所以解是整条直线，而不是某一组数。题目常常会要求你用其中一个变量来表示解。
能解三元一次方程组吗？
能，消元过程也会同样展示出来：先消去一个未知数，化成二元一次方程组，解出来后再往回代。图像只在两个未知数时绘制，因为三个未知数对应的是平面，画成平面图带来的误导会比帮助更多。
为什么要画出直线？
因为图像就是答案的含义。消元法是可靠的步骤，却把背后发生了什么藏了起来；两条直线相交于一点，一眼就能看出为什么恰好只有一个答案，以及为什么平行线没有答案。
支持分数和小数吗？
支持，而且是精确计算。0.5x + y = 3 会被读作二分之一；系数含分数的方程组，答案会以精确的分数给出，而不是四舍五入后的小数。
