z = 1.96，双尾
plain
z = 1.96正态曲线上 1.96 右侧的面积是 0.025；双尾翻倍后是 0.05。这正是临界情形：在 5% 水平下刚好显著，这也是人人都记得 1.96 的原因。
P 值计算器
从 z、t 或卡方统计量求 P 值，画出尾部区域并解释结论。
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p 值是一块面积，这个页面把它画出来
p 值只回答一个很窄的问题：如果原假设成立，至少这么极端的统计量出现的频率有多高？这个“频率”就是曲线下的一块面积，而曲线取决于统计量本身。z 分数对应标准正态曲线，t 统计量对应其自由度下尾部更厚的 t 曲线，卡方统计量对应一条从零开始、只有右尾的曲线。大多数计算器只给你一个数字；这个页面把数字代表的面积涂上阴影，因为看得见的 p 值才讲得清楚。
单尾还是双尾，是学生最容易丢分的地方。双尾检验问的是统计量在任一方向上是否极端，所以两侧的面积都要算，由对称性就是单侧面积的两倍。单尾检验只关心一个方向。卡方检验总是右尾，因为统计量大说明拟合差，统计量小说明拟合好，两个方向都不是反常。尾部的选择要和你在看数据之前写下的假设一致。
在 p 值旁边，页面列出了 α 为 0.10、0.05、0.01 和 0.001 时的临界值，你也可以用老办法做决定：拿统计量和查表得到的值比较。两条路的结论永远一致：p 小于 α，恰好等价于统计量超过临界值。两者同时摆在眼前，这个等价关系就一目了然。远端的尾部面积是直接计算的，而不是用 1 减去一个四舍五入后的数，所以亿分之一的 p 值会如实显示，不会变成零。
关于 p 值，你需要知道的
- p 值不是原假设为真的概率，也不是结果纯属偶然的概率。它是在假设原假设成立的前提下，得到这么极端数据的概率。
- 显著性是你事先选定的门槛。同样是 p = 0.03，在 0.05 水平下显著，在 0.01 水平下不显著；数字没变，变的是你的标准。
- 双尾的代价是单尾的两倍。z = 1.96 时，双尾 p = 0.05，单尾 p = 0.025。看到结果的正负号之后才选单尾，就是作弊。
- t 曲线的尾部比正态曲线更厚，所以自由度小时，同一个统计量对应的 p 更大。df = 30 时两者已经很接近；df = 1000 时保留两位小数就完全相同。
- 卡方检验的 p 值永远取右尾。不存在双尾的卡方拟合检验。
如何由检验统计量求 p 值
确认统计量类型
z 分数来自正态模型或大样本比例检验。t 统计量来自均值的 t 检验，并带有自由度。卡方统计量来自列联表或拟合优度检验，同样带有自由度。
根据假设确定尾部
“不同于”是双尾。“大于”是右尾，“小于”是左尾。卡方检验天生就是右尾。
求统计量以外的面积
在对应的曲线上，这块面积就是 p 值。双尾检验时，先求绝对值一侧以外的面积，再乘以 2。
与 α 或临界值比较
p 小于 α 就是显著。等价地，统计量超过该 α 下的临界值也是显著。两种方式页面都会给出，它们从不矛盾。
临界值一览
双尾检验（或右尾卡方检验）要达到显著，统计量必须达到的值。
| 检验 | α = 0.10 | α = 0.05 | α = 0.01 |
|---|---|---|---|
| z，双尾 | 1.645 | 1.960 | 2.576 |
| t，df = 10，双尾 | 1.812 | 2.228 | 3.169 |
| t，df = 30，双尾 | 1.697 | 2.042 | 2.750 |
| 卡方，df = 1 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
| 卡方，df = 4 | 7.779 | 9.488 | 13.277 |
例题详解
t = 2.5，自由度为 12
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t = 2.5, df = 12在自由度为 12 的 t 曲线上，双尾 p 约为 0.028。同样的 2.5 放在正态曲线上会得到 0.012；样本小时，t 曲线更厚的尾部让同一个统计量显得没那么有说服力。
卡方 = 7.8，自由度为 3
plain
χ² = 7.8, df = 37.8 以外的右尾面积约为 0.050，所以结果正好落在 5% 的边界上。自由度为 3 时，0.05 水平的临界值是 7.815，7.8 差一点没到，这是从另一个角度得出的同一个结论。
p 值的常见错误
- 把 p 值理解成原假设为真的概率。它是在原假设下得到这些数据的概率，条件方向完全不同。
- 看到结果之后才选尾部。如果假设写的是“不同”，即使结果朝你希望的方向走，检验也是双尾。
- 对小样本的 t 统计量使用正态曲线。自由度低于 30 左右时差别明显，而且真实的 p 总是更大。
- 把 p = 0.049 和 p = 0.051 当成两个世界。它们是同样的证据，只是门槛把它们分开了。
- 报告 p = 0.000。p 值永远不会是零。应写成 p < 0.001，或者写出这个页面算出的那个极小的数。
- 忘记自由度。没有 df 的 t 或卡方统计量根本没有 p 值。
p 值常见问题
怎么由 z 分数计算 p 值？
求标准正态曲线下 z 分数以外的面积。右尾检验取 z 右侧的面积；双尾检验取 z 绝对值以外的面积再乘以 2。z = 2.0 时，单尾 p 为 0.0228，双尾 p 为 0.0455。在上方输入 z，页面会把它报告的面积涂上阴影。
单尾 p 值和双尾 p 值有什么区别？
双尾 p 值把两个方向的极端结果都算进去，所以对于对称曲线，它是单尾值的两倍。假设是“不同于”时用双尾；假设是“大于”或“小于”，而且方向在看数据之前就已确定时，用单尾。
p = 0.05 算显著吗？
在 5% 水平下，p 值必须小于 0.05，所以恰好等于 0.05 正好在边界上，大多数惯例认为不显著。实际上 0.049 和 0.051 之间的差别根本不算证据；直接报告这个数字，让读者自己看它有多接近。
怎么由 t 统计量求 p 值？
除了 t，你还需要自由度。p 值是该自由度下 t 曲线中统计量以外的面积，双尾检验时再乘以 2。单样本或配对检验的自由度是 n 减 1；合并方差的双样本检验的自由度是 n1 加 n2 减 2。
为什么卡方检验总是右尾？
因为卡方统计量衡量的是观测频数与期望频数之间的总距离，而距离不会是负数。统计量大，说明观测频数远离原假设的预测；统计量小，说明两者接近。只有大的一侧才是反对原假设的证据，所以只计算右尾。
p 值为 0.0001 是什么意思？
意思是如果原假设成立，这么极端的数据大约一万次才会出现一次。这是反对原假设的有力证据。但它不能说明效应有多大，那是置信区间要回答的问题。
没有检验统计量能求 p 值吗？
在这个页面上不行。你需要先做完检验，拿到它的 z、t 或卡方值。如果你手上是原始数据，均值用 t 检验计算器，频数用卡方计算器；两者都会同时算出统计量和 p 值。
