指数运算法则

每个人都会把指数运算法则抄到卡片上，可一个学期后，有一半人把它们用在了不该用的地方。这不是记性不好。一条只靠死记的规则，没法告诉你它是否适用，于是凡是表面上看着合适的地方，都会被拿来套用。

解决办法是别再把它们当成规则。在下面选一条，读一读中间那一行。

每条法则都是一次计数

a^3 是一种简写。它真正的意思是 a · a · a，也就是三个 a 相乘。只要把法则两边都这样写出来，法则就不再是一个断言，而变成了数个数。

相乘： 两个 a 挨着三个 a，就是五个 a。

a^2 · a^3 = (a·a)(a·a·a) = a^5

你把指数相加，不是因为某条规则这么说，而是因为你在数这一行里最后有几个 a。

相除： 分子五个 a，分母两个 a，约掉两个。

a5/a2 = (a·a·a·a·a)/(a·a) = a^3

幂的乘方： 三组“两个 a”，就是六个 a。

(a2)3 = (a·a)(a·a)(a·a) = a^6

三条法则，一个道理。人们之所以把“相加”和“相乘”搞混，是因为记住的是动词，而不是数的过程。

零指数和负指数是推出来的，不是选出来的

这两条感觉像是有人随便定下的约定，其实不是。

看 a3/a3。任何数除以它自己都等于 1。但相除法则说它等于 a^(3-3) = a^0。两者描述的是同一个除法，所以只有 a^0 = 1 才能让这些法则互不矛盾。

继续往下走。指数每减 1，就再除以一次 a：

到了零也没有任何转折，只是一直减半下去。负指数就是这么回事：a^-n = 1/a^n。特别要注意，它不是负数。2^-3 等于 1/8，是正数。

值得点名的三个错误

底数不同不能合并。 2^3 · 3^4 只能保持原样。这些法则数的是同一个东西的个数，而这里数的是两种不同的东西。

相加不是相乘。 x^2 + x^3 不等于 x^5。写出来看：两个 x 相乘加上三个 x 相乘，并不是五个 x 相乘，而是两个不同的量之和。既不能约，也不能合并。

幂可以分配到乘积上，不能分配到和上。 (ab)^2 = a2b2 是对的，两个 ab 相乘就是两个 a 和两个 b。但 (a+b)^2 不等于 a^2 + b^2；它展开后是 a^2 + 2ab + b^2，中间那一项正是乘法分配律所预言的。

试一题

3^4/3^2

如果你伸手去拿计算器了，就换成约分再做一遍：分子四个 3，分母两个 3，剩下两个 3，两个 3 相乘是 9。底数换成 x 而不是 3 时，这种做法依然管用。

接下来会用到哪里

科学计数法的运算靠的是指数运算法则，把根式变成分数指数幂靠的是它，对数能把乘法变成加法，靠的也是它。这三者都是同样的五条法则，只是换个方向来读，这也正是要靠理解而不是死记来掌握它们的好理由。