两个整数根：x² - 5x + 6 = 0
plain
a = 1, b = -5, c = 6判别式是 (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1。它的平方根正好是 1，所以两个根是 (5 + 1)/2 = 3 和 (5 - 1)/2 = 2。因为判别式是完全平方数，两个根都是有理数，方程也可以分解为 (x - 3)(x - 2) = 0。这种情况下，因式分解会更快。
一元二次方程求根公式计算器
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Coddy 数学课程教的是方法本身：你在交互式白板上完成每一步，哪一步出错都会准确告诉你。
求根公式到底做了什么
一元二次方程就是能写成 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a 不为零。求根公式 x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a 能解出所有这样的方程，这一点很不寻常，值得好好体会。因式分解只在数字恰好好算时才管用；配方法永远管用，但需要练习；求根公式永远管用，只需要细心。
真正起作用的是根号下的部分。b² - 4ac 叫作判别式，在你计算其他任何东西之前，它的符号就决定了答案的形态：正数表示有两个根，零表示有一个重根，负数表示根本没有实数解。先检查判别式，你就知道该期待什么样的答案，这也是之后发现计算失误最快的方法。
求根公式不是一步就完成的，这是对它最常见的误解。它是一个简短的流程：代入、计算判别式、开平方根、拆开 ±、再分别化简每一支。这个计算器会走完全部五步，让你看清自己会在哪一步出错。
计算步骤中要注意什么
- 每个负系数都要带括号代入。b = -5 时，-b 是 -(-5) = 5，丢掉这个负号是整个知识点中最常见的错误。
- 判别式单独占一行，最先计算。它的符号就是答案的形态。
- √12 会被化简为 2√3，而不是原样保留或变成 3.464。精确的根式才是答案；小数只是对它的测量。
- ± 会被明确拆成两种情况。它是两次独立计算的简写，而不是一个可以一直带到最后的运算。
- 两个根都是有理数时，会给出因式分解形式作为检验：把它展开，应该能得回你最初的方程。
- 求根公式并不是凭空而来的规则：它就是配方法，用一般形式做一次，以后谁都不用再做。下面的推导就是那一次。
如何用求根公式解一元二次方程
输入三个系数
在输入框中填入 a、b 和 c。整数、小数和 1/2 这样的分数都可以。缺少某一项就表示它的系数为零：对于 x² - 4 = 0，b 是 0。
或者直接粘贴整个方程
在方程输入框中输入类似
2x^2 - 5x + 2 = 0的内容，然后点击“读取”。等号两边的项会自动移到左边，所以3x^2 = 2x + 1也可以。先看判别式，再看根
第四步给出 b² - 4ac。记下它的符号，在继续往下看之前先预测答案的形态：两个根、一个根，还是没有根。
逐行对照你自己的计算
如果你的答案不一致，有用的问题不是哪个数对，而是从哪一步开始出现分歧。找到那一行，错误自然就清楚了。
求根公式是怎么来的
求根公式不是公理。它是对一般方程做一次配方得到的结果，这样以后谁都不用再拿自己的数字重新配方。亲手推导一遍，就是“记住公式”和“懂得公式”的区别。
从一般的一元二次方程出发
a x^2 + b x + c = 0
a 不能为零：没有 x² 项，就不是二次方程了，而且分母中的 2a 也会变成零。
每一项都除以 a
x^2 + (b/a) x + c/a = 0
配方需要一个单独的 x²，所以要把前面的 a 去掉。也正是这一步把 a 放进了分母，并在之后的推导中一直留在那里。
把常数项移到另一边
x^2 + (b/a) x = -c/a
两边同时加上一次项系数一半的平方
x^2 + (b/a) x + b^2/(4a^2) = -c/a + b^2/(4a^2)
b/a 的一半是 b/2a，它的平方是 b²/4a²。整个推导的关键就在这一步：左边要成为完全平方式，缺的正是这一项。
左边写成平方，右边通分
(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)
判别式 b² - 4ac 就在这里出现了，在有人给它起名字之前，它就自己冒了出来。
两边同时开平方根
x + b/(2a) = ±sqrt(b^2 - 4ac)/(2a)
正负两个符号都要，因为它们的平方相同。2a 从 √(4a²) 中开出来是 |2a|，前面的 ± 无论如何都能吸收这个符号。
减去 b/2a，写成一个分数
x = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)
这七行推导中没有用到任何特定的 a、b 或 c，所以结果对所有一元二次方程都成立。这也是判别式决定答案形态的原因：它是根号下的数，如果它是负数，第六步就无法进行下去。
判别式告诉你什么
在开任何平方根之前，b² - 4ac 的值就已经决定了答案的形态。
| 判别式 | 实数根 | 图像 | 例子 |
|---|---|---|---|
| b² - 4ac > 0 | 两个不相等的实数根 | 与 x 轴有两个交点 | x² - 5x + 6 = 0 → x = 3, x = 2 |
| b² - 4ac = 0 | 一个重根 | 与 x 轴相切于一点 | x² - 4x + 4 = 0 → x = 2 |
| b² - 4ac < 0 | 没有实数解 | 与 x 轴没有交点 | x² + 2x + 5 = 0 |
| 完全平方数 | 两个有理数根 | 与 x 轴交于两个分数或整数处 | 2x² - 5x + 2 = 0 → x = 2, x = 1/2 |
| 正数，但不是完全平方数 | 两个无理数根 | 与 x 轴交于两个根式处 | x² - 4x + 1 = 0 → x = 2 ± √3 |
例题详解
分数根：2x² - 5x + 2 = 0
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a = 2, b = -5, c = 2判别式是 25 - 16 = 9，所以 √9 = 3，两个根是 (5 + 3)/4 = 2 和 (5 - 3)/4 = 1/2。注意第二个根保留为 1/2，从不显示为 0.5：分数是精确值，小数只是它的近似，只不过这里刚好比较短。
无理数根：x² - 4x + 1 = 0
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a = 1, b = -4, c = 1判别式是 16 - 4 = 12，不是完全平方数。√12 化简为 2√3，所以两个根是 (4 ± 2√3)/2 = 2 ± √3。大多数计算器到这里就开始输出 3.7320508，也就不再有用了：2 + √3 才是答案，任何小数都只是它的近似值。
没有实数解：x² + 2x + 5 = 0
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a = 1, b = 2, c = 5判别式是 4 - 20 = -16。没有哪个实数的平方是负数，所以方程没有实数解，推导到此为止。抛物线完全位于 x 轴上方。如果你的课程已经学到复数，两个根是 -1 ± 2i，但这算不算答案，取决于你被要求在哪个数系中求解。
常见错误
- 丢掉 -b 的负号。如果 b = -5，那么 -b = +5。代入 -5 就会得到一对看似合理、实则错误的根。
- 忘了 a 可以是负数。在 -x² + 2x = 0 中，a 是 -1，分母中的 2a 是 -2。
- 只除了分子的一部分。在 (4 ± 2√3)/2 中，4 和 2√3 都要除以 2。只把 4 减半是非常常见的失误。
- 把 ± 一直带到最后，当成一个答案。它代表两次独立的计算，必须分别算完。
- a = 0 时还用求根公式。那是一元一次方程，而公式要除以 2a，也就是零。
- 停在 x = (5 + 1)/2。这还不是答案，只是还没做完的算术。
求根公式常见问题
一元二次方程求根公式是什么？
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。它给出任何形如 ax² + bx + c = 0（a 不为零）的方程的解。它是对一般方程配方推导出来的，所以普遍适用，而不只对好算的数字有效。
求根公式是怎么推导出来的？
对 ax² + bx + c = 0 进行配方。两边同除以 a，把常数项移到另一边，两边同时加上 (b/2a)² 使左边成为完全平方式，两边开平方根（± 就是在这里出现的），再减去 b/2a。这七行推导上面都已列出。其中没有任何一步依赖具体数字，所以结果对每个一元二次方程都成立。
为什么求根公式里有 ±？
因为推导时要对两边开平方根，而一个正数有两个平方根：3 和 -3 的平方都是 9。两个都要保留下来，所以 ± 是两次独立计算的简写，这也是一元二次方程通常有两个解而不是一个的原因。
这个计算器免费吗？计算步骤也免费吗？
两者都免费，无需注册。值得明确说明这一点，是因为两个最知名的分步数学网站会给你看答案，然后要求订阅才能看到推导过程。这个页面的意义就在于：计算过程才是有用的部分。
为什么显示 2 + √3 而不是 3.732？
因为 2 + √3 才是答案，3.732 只是它的近似值。如果作业要求精确值，写小数会被判错。下方也给出了近似值，方便你核对图像或测量结果。
判别式为负数是什么意思？
意思是方程没有实数解：抛物线与 x 轴没有交点。在学过复数的课程中，仍然有两个解，写成 a ± bi 的形式，但在那之前，“没有实数解”就是完整而正确的答案。
应该用求根公式还是因式分解？
如果几秒钟内就能看出因式，先用因式分解：更快，也更不容易出错。当数字不好分解、x² 的系数不是 1，或者你怀疑根是无理数时，用求根公式。求根公式从不失效；因式分解只适用于本来就设计成可以分解的方程。
系数可以是分数和小数吗？
可以。分数输入为 1/2 或 3/4，小数输入为 0.5。小数在内部会转换为精确分数，所以 0.1 就是十分之一，而不是浮点计算器使用的二进制近似值。
怎么把方程化成 ax² + bx + c = 0 的形式？
把所有项移到一边，使另一边为零，然后合并同类项。对于 3x² = 2x + 1，两边同时减去 2x 和 1，得到 3x² - 2x - 1 = 0。如果你把原方程粘贴到本页的方程输入框里，它会自动帮你完成移项。
