已知半径为 3
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r = 3C = 2π · 3 = 6π（精确值），约等于 18.8496。面积是 π · 3² = 9π，约等于 28.27。注意：求面积时半径要平方，求周长时不用。这个知识点上的大多数错误都出在这一个区别上。
圆周长计算器
已知圆的任意一个量，求出其余各量，保留 pi。
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一个数就能完全确定一个圆
圆只有一个自由度，所以知道任意一个量，其他量就都确定了。由半径 r 出发：直径是 2r，周长是 2πr，面积是 πr²。这三个公式就是全部内容，唯一需要分清的是：周长只用一次半径，而面积用了两次，是平方，不是乘以 2。
π 正是圆之所以为圆的原因：它是任何一个圆的周长与自身直径之比，对画过的每一个圆都是同一个数。π 是无理数，没有精确的小数形式，这正是本页把它保留为字母 π 的原因。周长 6π 是精确答案，18.85 只是近似值；当评分标准要求其中一种时，两者不能互换。
反过来算也同样精确。输入周长 10，半径就是 5/π，依然精确，依然是实数，面积则是 25/π。其他计算器第一步就乘以 3.14159，因此永远给不出学校题目想要的那个答案。
需要注意的地方
- C = 2πr 和 C = πd 是同一个公式，因为 d = 2r。题目给了哪个量就直接用哪个，不必先换算。
- 面积要把半径平方，周长不用。半径变为原来的 2 倍，周长变为 2 倍，面积却变为 4 倍。
- π 是一个比值，不是长度：它等于周长除以直径，对每个圆都一样。整个知识点都建立在这个事实之上。
- 答案 6π 是精确的，18.85 不是。除非题目要求小数，或给出了 π 的取值，否则就保留 π。
- 由周长反推要除以 2π，于是 π 留在分母里。5/π 是一个普通的数，约等于 1.59。
- 单位跟着量走：半径以厘米为单位，周长也以厘米为单位，面积则以平方厘米为单位。
怎样求圆的周长
先确认题目给了什么
半径、直径还是周长。应用题里很容易把它们弄混，而在公式需要半径的地方用了直径，答案就会大一倍。
如果给的是直径，先除以 2
r = d/2。先做这一步，就只需要记一个公式，而不是两个。
乘以 2π
C = 2πr。暂时把 π 当作字母保留：2π · 3 就是 6π，这已经是一个完整的精确答案。
最后才换成小数
如果题目要的是数值，在最后一步再乘以 3.14159…。过早取近似值，会丢掉多步题后面几步需要的精度。
反推时用除法
由周长求半径：r = C/(2π)。π 留在分母里，结果是精确的；在这一步除以 3.14，正是精度最常丢失的地方。
常见圆的数据
常见半径对应的四个量。精确列才是答案，小数只是它的近似值。
| 半径 | 直径 | 周长 | 面积 | 周长的小数值 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 2π | π | 6.2832 |
| 2 | 4 | 4π | 4π | 12.5664 |
| 3 | 6 | 6π | 9π | 18.8496 |
| 5 | 10 | 10π | 25π | 31.4159 |
| 7 | 14 | 14π | 49π | 43.9823 |
| 10 | 20 | 20π | 100π | 62.8319 |
| 1/2 | 1 | π | π/4 | 3.1416 |
| 2.5 | 5 | 5π | 6.25π | 15.708 |
例题详解
已知直径为 10
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d = 10先除以 2：r = 5。于是 C = 2π · 5 = 10π，A = π · 5² = 25π。如果直接把直径代入 C = 2πr，会得到 20π，正好大了一倍，这也是这里最常见的错误。
已知周长为 10，反推
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C = 10r = 10/(2π) = 5/π，这是精确值，约等于 1.5915。面积则是 π · (5/π)² = 25/π，约等于 7.96。把 π 留在分母里，结果才是精确的；如果先用 10 除以 6.28，还没开始算面积就已经取了近似值。
分数半径：1/2
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r = 1/2C = 2π · 1/2 = π（精确值）：半径为二分之一的圆，周长正好是 π。它的面积是 π/4。分数始终保持分数形式，计算过程中没有任何损失。
为什么 6π 不等于 18.85
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r = 36π 是一个精确的数。18.8496 是一个小数，前四位小数与它一致，之后就永远不同了，因为 π 是无理数。如果题目说“结果用 π 表示”，答案就是 6π，写 18.85 会被判错。
常见错误
- 把直径代入 C = 2πr。这样答案会大一倍；应先除以 2 得到半径，或者改用 C = πd。
- 求周长时把半径平方。C = 2πr 只用一次 r，只有面积才要平方。
- 一开始就把 π 取近似值。如果需要小数，在最后一步再乘出来，让中间步骤保持精确。
- 把 22/7 当成 π 来用。它只是一个粗略的近似值，误差大约千分之一，心算可以用，要精确答案时就错了。
- 忘了面积的单位要平方。半径以米为单位，周长也以米为单位，而面积以平方米为单位。
- 把圆的周长和其他图形的周长混为一谈。圆的周长专指绕圆一圈的长度；直边图形的周长则是各边长度之和。
圆的周长常见问题
圆的周长公式是什么？
已知半径时用 C = 2πr，已知直径时用完全等价的 C = πd，因为直径等于两个半径。半径为 3 时周长是 6π，约等于 18.85。题目实际给了哪个量，就用哪个公式。
已知周长怎么求半径？
除以 2π：r = C/(2π)。周长为 10 时，r = 5/π，约等于 1.59。把 π 留在分母里，答案就是精确的；先除以 3.14，就相当于还没算完就取了近似值。
圆的周长和面积有什么区别？
周长是绕边缘一圈的长度，只用一次半径：2πr。面积是圆内部的大小，用了两次半径：πr²。这就是为什么半径加倍时，周长变为 2 倍，面积却变为 4 倍。
“用 π 表示”是什么意思？
把 π 当作符号保留，不要乘出来：写 6π，而不是 18.85。这才是精确答案。大多数考试题都这样要求，因为不用计算器也能核对，而且 18.85 只是一个近似值。
22/7 等于 π 吗？
不等于。22/7 是 3.142857…，而 π 是 3.141592…，两者从小数点后第三位开始就不同了。心算时它是个方便的近似值，但只要需要精确答案就是错的；π 是无理数，根本不存在精确的分数形式。
为什么每个圆的 π 都一样？
因为所有圆的形状都相同，只是放大或缩小，而缩放会让周长和直径乘以同一个倍数，所以它们的比值永远不变。这个不变的比值就是 π，所以它会出现在每一个与圆有关的公式里。
已知周长怎么求直径？
除以 π：d = C/π。因为 C = πd，所以一步就能算出，不需要两步。周长为 10 时，直径是 10/π，约等于 3.18，它的一半就是半径。
这个计算器能输入面积吗？
不能，这是有意为之。由面积求半径要用 r = √(A/π)，它既不是分数，也不是分数乘以 π 的幂，所以接受面积输入就只能给出近似答案，或者一个假的精确答案。面积总会显示出来，只是不能作为输入。
