完整的竖式：731 ÷ 4
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731 ÷ 47 里面有 1 个 4，余 3。落下 3：33 里面有 8 个 4，余 1。落下 1：11 里面有 2 个 4，余 3。所以商 182 余 3。再越过小数点继续，30 得 7，20 得 5，所以精确小数是 182.75。
长除法计算器
一级一级画出除法竖式，给出精确小数和余数。
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竖式除法就是一个循环，四个动作
竖式的每一层都是同样的四个动作：落下下一位数字，看除数能装进去几次，相乘，相减。相减后剩下的部分带到下一层，写在上面的数字组成了商。除此之外什么也不会发生：竖式除法就是一个很短的算法，被除数有几位，就重复几次。
只有第一层比较特殊：你要取足够多的位数，让除数至少能装进去一次。用 1234 除以 56 时，1 和 12 都不够大，所以第一段取 123，56 能装进去两次。之后严格是每层一位数字，零也算在内：当 56 一次也装不进去时，仍然要在商上写 0，漏掉它正是弄错数位的经典原因。
当数字用完了却还有剩余时，同样的循环会越过小数点继续进行，每次落下一个 0，小数其实就是这样来的。而当出现一个以前见过的余数时，两次出现之间的数字就必定无限重复：这就是 7 ÷ 12 = 0.58333… 会循环的原因，而且是竖式自己发现的，不是凭空断言的。
值得注意的地方
- 每一层都是同样的四个动作：落位、试商、相乘、相减，相减后剩下的数就是下一层的起点。
- 每一层的余数都比除数小。如果不是，说明上面那一位商写小了，这是竖式自带的检错机制。
- 商里的 0 也是一位数字。除数装不进去时，要写上 0，漏掉它会让后面每一位都错位。
- 小数就是同一个循环的延续：数字用完了，就越过小数点落下一个 0，继续算。
- 循环小数就是余数重复了。可能的余数只有有限几个，所以一个永远除不尽的除法，最终一定会再遇到某个余数，从那里开始，数字就无限循环下去。
如何列竖式做除法
取第一段
从左边开始读被除数的数字，直到这个数不小于除数。731 ÷ 4 只需要取 7；1234 ÷ 56 要取 123。
试商、相乘、相减
除数最多能完整地装进去几次？把这个数字写在上面，把乘积写在下面，再相减。4 装进 7 一次；7 - 4 剩下 3。
落下下一位，重复
把被除数的下一位数字接在余下的数后面，再对它做同样的三个动作。3 变成 33，4 能装进去 8 次。
数字用完了？带余数停下，或者越过小数点
最后剩下的就是余数：731 ÷ 4 = 182……3。如果想要小数，就在商上点上小数点，继续落下 0：182.75。
用三种方式读答案
同一道除法，题目可能要求的三种形式，以及各自在什么情况下是正确答案。
| 除法 | 商和余数 | 精确小数 | 分数形式 |
|---|---|---|---|
| 731 ÷ 4 | 182……3 | 182.75 | 731/4 = 182¾ |
| 1234 ÷ 56 | 22……2 | 22.03(571428) | 617/28 |
| 7 ÷ 12 | 0……7 | 0.58(3) | 7/12 |
| 100 ÷ 8 | 12……4 | 12.5 | 25/2 |
| 45 ÷ 9 | 5……0 | 5 | 5 |
| 10 ÷ 3 | 3……1 | 3.(3) | 10/3 |
| 1 ÷ 7 | 0……1 | 0.(142857) | 1/7 |
例题详解
两位数除数：1234 ÷ 56
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1234 ÷ 561 和 12 都装不下 56，所以第一段是 123：56 能装进去两次（112），余 11。落下 4：114 里面还是有 2 个 56（112），余 2。所以 1234 ÷ 56 = 22……2。除数变大后，唯一多出来的工作是估计每一位商，循环本身不变。
当场抓住一个循环小数：7 ÷ 12
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7 ÷ 127 比 12 小，所以整数部分是 0，竖式直接越过小数点：70 得 5（余 10），100 得 8（余 4），40 得 3（又余 4）。余数 4 之前已经出现过，所以从这里开始竖式只能重复自己，答案恰好是 0.583333…，也就是 0.58 后面 3 无限循环。
题目里有小数：12.5 ÷ 0.5
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12.5 ÷ 0.5把两个数都乘以 10，去掉小数点：125 ÷ 5。两个数同时扩大，商不变，两种写法答案都是 25，这就是课本上说“被除数和除数的小数点要移动相同的位数”的原因。之后竖式就在整数上进行。
常见错误
- 漏写商中间的 0。除数一次也装不进去时，上面仍然必须写 0，漏掉它会把 618 ÷ 6 = 103 变成 13。
- 让余数大到等于或超过除数。每一层剩下的数都必须比除数小；如果不是，说明上面那一位商应该再大一些。
- 一次落下两位数字。永远是每层一位，一次落两位会让后面每一列都错位。
- 只移动一个小数点。把 12.5 ÷ 0.5 化成整数，意味着两个数都要乘以 10；只改一个，变的就不只是写法，而是答案。
- 把余数当成小数来写：182……3 不是 182.3。余数 3 是还要再平分的 3 个“四分之一”，写成小数是 .75。
- 把循环小数四舍五入后当成答案。7 ÷ 12 精确地等于 0.583333…；0.58 只是近似值，拿不准时，分数 7/12 才是精确形式。
竖式除法常见问题
竖式除法有哪些步骤？
四个动作，不断重复：落下下一位数字，试商（除数最多能完整装进去几次？），用除数乘以这一位商，相减。剩下的数进入下一层，写在上面的数字组成商。上面的动画运行的正是这个循环，每点一次走一层。
第一步要取几位数字？
从左边开始读，直到这个数不小于除数。731 ÷ 4 只取 7 就够了；1234 ÷ 56 要取 123。第一段之后，严格是每层落下一位数字。
余数怎么处理？
取决于题目要什么。保持原样，731 ÷ 4 = 182……3。写成分数，就把余数放在除数上面：182¾。写成小数，就让竖式继续，越过小数点落下 0，直到除尽或者开始循环。上面三种形式都有展示。
竖式除法遇到小数怎么算？
把两个数同时乘以 10 的同一个幂，直到除数变成整数，比如 12.5 ÷ 0.5 变成 125 ÷ 5，然后照常相除。两个数同时扩大不会改变商。注意，这时的余数属于扩大后的题目，所以这个页面只对整数题给出商和余数。
为什么有些除法会无限循环？
因为竖式能产生的不同余数是有限的，比除数还少，所以一个永远除不到零的除法，最终一定会再遇到某个余数。从那一刻起，同样的几层就会循环重演：两次出现之间的数字就是循环节。除以 12，循环一定会在 11 位小数以内出现；除以 7，每 6 位循环一次。
怎么检验竖式除法的答案？
乘回去再加上余数：商 × 除数 + 余数，应该正好等于被除数。731 ÷ 4：182 × 4 = 728，加 3 等于 731。两类错误都能抓到：写错的商，以及大到超过除数的余数。
为什么精确答案有时是分数？
当小数无限循环，或者长到竖式无法清楚显示时，分数是写出精确值唯一有限的方式。7 ÷ 12 就是 7/12；小数 0.5833… 永远写不完。显示的分数总是最简分数。
