负斜率：(3, 8) 和 (5, 2)
纵向变化是 2 - 8 = -6，横向变化是 5 - 3 = 2，所以斜率是 -6/2 = -3。直线每向右走一步下降三个单位。注意顺序：反过来求差得到 6 和 -2，斜率相同；不能做的是 y 按一个顺序减，x 按另一个顺序减。
斜率计算器
拖动两个点，看斜率、直线和每一种方程形式随之变化。
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想不用计算器也能解出这些题？
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斜率就是纵向变化除以横向变化，而且你可以亲眼看到
直线的斜率表示它每向右走一步上升多少：取直线上任意两点，y 的变化量除以 x 的变化量。关于斜率的每一条规则都来自这一句话：斜率为正，直线上升；斜率为负，直线下降；水平线的斜率为零；竖直线则根本没有斜率，因为它的横向变化为零，而任何数都不能除以零。
这话说起来容易，从公式里却很难体会。所以本页把它画出来：在你的两个点之间，横向走一段、纵向升一段，像一级台阶。拖动其中一个点，看看哪个数在变。纵向变化加倍，斜率加倍；横向变化加倍，斜率减半；沿着直线移动一个点，两者都不变，这正是斜率值得定义的原因。
两个点能确定的其他一切，你也能精确地得到：作业可能要求的三种直线方程形式、以精确根式表示的两点间距离、中点、截距，以及垂直线的斜率。全程不取近似值：(0,0) 和 (2,3) 之间的距离是 √13，而不是 3.6056。
拖动时要注意什么
- 只要两个点在同一条直线上，斜率就与选哪两个点无关。沿着直线拖动一个点，斜率保持不变：正因如此，斜率是直线的属性，而不是点的属性。
- 正负号表示方向。从左到右上升为正，下降为负，水平线正好为零。
- 竖直线没有斜率。不是零，而是不存在，因为横向变化为零。斜率为零和斜率不存在是两个极端，把它们弄混是这个主题里最常见的错误。
- 陡峭程度看的是斜率的绝对值，不看正负号。斜率 -4 比斜率 2 更陡。
- 互相垂直的两条直线，斜率之积为 -1。拖到斜率为 2，垂线斜率就显示 -1/2；这个关系值得亲眼看看，而不是死记硬背。
如何使用斜率计算器
输入两个点，或者拖动它们
填写四个格子，或者在平面上拖动任意一个点。方向键也可以用，每次移动一个单位，所以不用鼠标也能操作。
先看斜率，再看方程形式
斜率以精确分数显示在最上方，旁边附有小数。下面是同一条直线的斜截式、点斜式和标准式，题目要哪种就看哪种。
看那级台阶
两点之间的虚线就是横向变化和纵向变化。如果分数看起来不对，就数一数格子：图和算式必须一致。
需要的话，看看其他结果
距离、中点、两个截距、与 x 轴的夹角以及垂线斜率都在下面算好了，这些也是两点问题通常会问到的。
斜率速查表
本页每个数字背后的公式，以及各自适用的情况。
| 项目 | 公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 斜率 | m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) | 纵向变化除以横向变化，顺序不能反 |
| 斜截式 | y = mx + b | b 是直线与 y 轴交点的纵坐标 |
| 点斜式 | y - y₁ = m(x - x₁) | 已知一点和斜率时最快 |
| 标准式 | Ax + By = C | A、B、C 为整数，A 为正数 |
| 水平线 | m = 0 | y = c |
| 竖直线 | m 不存在 | x = c |
| 平行线 | m 相同 | 永不相交 |
| 垂直线 | m₁ × m₂ = -1 | 互为负倒数 |
| 距离 | √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²) | 对台阶用勾股定理 |
| 中点 | ((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2) | 每个坐标取平均值 |
例题详解
分数斜率：(1, 2) 和 (4, 6)
纵向变化 4，横向变化 3，所以斜率是 4/3，保持分数形式。1.33 只是它的近似值，在斜率题里，分数才是答案。直线方程是 y = 4x/3 + 2/3，所以写成标准式（4x - 3y = -2）往往更整洁。
竖直线：(2, 5) 和 (2, -1)
两个点的 x 都是 2，所以横向变化为零，斜率不存在，而不是零。这条直线是 x = 2，根本无法写成 y = mx + b。光看公式不会告诉你这种情况，所以页面会用文字说明。
水平线：(-3, 4) 和 (5, 4)
纵向变化为零，所以斜率是 0/8 = 0。这条直线是 y = 4。和上面的竖直线对比一下：分子为零，斜率为零；分母为零，斜率不存在，两者截然不同。
常见错误
- 把横向变化放在分子上。斜率是纵向变化除以横向变化，即 y 的变化量除以 x 的变化量，不能反过来。
- 相减的顺序不一致。分子用 y₂ - y₁，分母就要用 x₂ - x₁。顺序混用会让符号反过来。
- 说竖直线的斜率为零。竖直线没有斜率；斜率为零的是水平线。
- 负坐标丢了负号。4 - (-3) 等于 7，不是 1，大多数算错的斜率都出在这里。
- 把分数取近似值。斜率 4/3 是精确的，1.33 不是，评分标准能看出来。
- 用垂线斜率时丢了负号。2 的负倒数是 -1/2，不是 1/2。
斜率常见问题
两点之间的斜率怎么求？
两个 y 坐标相减得到纵向变化，两个 x 坐标按相同顺序相减得到横向变化，再相除：m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。然后约分。本页的步骤就是把你的数代入后的这个计算。
纵向变化除以横向变化是什么意思？
这就是用图来描述的斜率：直线向右走一段（横向变化）时上升了多少（纵向变化）。上面平面里的虚线台阶就画在你的两个点之间，所以分数和图是同一回事。
竖直线的斜率是多少？
不存在。两个点的 x 相同，所以横向变化为零，而任何数都不能除以零。这和水平线不同，水平线的斜率正好为零。竖直线的方程是 x = c，无法写成 y = mx + b。
怎么由两点求直线方程？
先求斜率，再把其中一个点代入 y = mx + b，解出 b。本页两步都会写出，还会给出点斜式，它省去了第二步：一旦求出斜率，y - y₁ = m(x - x₁) 就是方程。
平行线和垂直线的斜率有什么关系？
平行线的斜率相同。垂直线的斜率之积为 -1，也就是说一个是另一个的负倒数：2 和 -1/2，或者 -3/4 和 4/3。垂线斜率显示在答案下方。
它也会给出距离和中点吗？
会，而且都是精确值。距离就是对同样的纵向变化和横向变化用勾股定理，所以常常是无理数：它会以 2√10 这样的最简根式给出，旁边附上小数，而不只是一个近似值。
坐标可以输入分数或小数吗？
可以。格子里可以输入整数、1/2 这样的分数和 0.75 这样的小数，后续的一切都保持精确：0.5 会被读作二分之一。拖动时会吸附到整数，这样数格子就很方便。
