完全平方数

“完全平方数”听起来像是有人给一串数字贴的标签，你现在只好把它们背下来。其实不是。这个名字描述的是一个形状，一旦你能看到这个形状，这串数字就完全不用背了。

拖动滑块，看看每次加上的是什么。

名字就是字面意思

6^2 = 36 的意思不是“6 经过了平方运算”。它的意思是：拿 36 个单位小方块，你能把它们拼成一个每边是 6 的正方形。拿 35 个就不行，总会多出一块或缺一块。定义就这么多，这也是为什么它叫“平方”，而不是什么抽象的名字。

把同一幅图倒过来读，就是平方根。sqrt(36) = 6 问的是：“如果 36 个小方块拼成一个正方形，它的边长是多少？”一个数的平方根是整数，当且仅当它是完全平方数，所以这两个概念总是放在一起教。

值得记住的列表

这二十个数基本上涵盖了学校里的每一道题，因为出题人是从便于核对的答案倒推出题目的。

相邻平方数之差是奇数

滑块真正要展示的就是这个事实。把它从 5 推到 6，数一数新出现的 L 形阴影：新的一边 5 块，新的顶边 5 块，角上 1 块，一共 11 块。

一般地，从 n^2 到 (n+1)^2 要加上 2n+1 块，总是奇数。所以相邻平方数之差依次是 3、5、7、9、11、13……而按顺序把奇数加起来，就按顺序得到了平方数：

1 = 1，1 + 3 = 4，1 + 3 + 5 = 9，1 + 3 + 5 + 7 = 16。

这也是在脑子里扩展平方表的一个真正快捷的办法。如果你知道 14^2 = 196，想求 15^2，就加上 2*14 + 1 = 29：225。

不用计算器怎么判断

两道筛选就能解决大部分问题。

看个位数。 任何数平方后，个位都是 0、1、4、5、6 或 9，永远不会是 2、3、7 或 8。所以 4,398 不是完全平方数，你根本不用算。这不是巧合：乘积的个位只取决于相乘的两个数的个位，而 0 到 9 的平方只会得到这六种个位。

再把它夹住。 200 在 14^2 = 196 和 15^2 = 225 之间，所以没有哪个整数的平方是它。严格介于两个相邻平方数之间的数，都不是完全平方数。

为什么它们总是出现

有些二次式能漂亮地因式分解、有些不能，原因就在于完全平方数。x^2 - 49 可以按平方差公式分解，因为 49 是完全平方数；x^2 - 50 就不行。它们也是根式能够化简的原因：sqrt(75) 能变成 5sqrt(3)，正是因为 75 里面藏着完全平方数 25。

试一题

sqrt(225)

再来一道反方向的，这次是解方程，而不是查表。注意它有两个解，这正是关于平方根最常出错的地方：

x^2 = 49

7 和 -7 的平方都是 49，所以两个都是解。sqrt(49) 这个符号只表示正的那个，这是关于符号的约定，而不是关于方程的事实。