考试得分 85，均值 70，标准差 6
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x = 85, μ = 70, σ = 685 减 70 等于 15，15 除以 6 等于 5/2，所以 z = 2.5。2.5 左侧的面积是 0.9938，所以这个分数大约在第 99.4 百分位：每一百个学生中，得分更高的不到一个。
Z 分数计算器
一个值距离平均数多少个标准差，精确计算，并给出它所在的百分位。
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z 分数就是以标准差为单位的距离
从一个分布中任取一个值，减去均值，再除以标准差。结果就是这个值距离中心有多少个标准差，以及在哪一侧。z 为 2 表示比均值高两个标准差；z 为负 0.5 表示比均值低半个标准差。公式就这么多，值得亲手算一次，因为统计学后面的每个概念，从置信区间到假设检验，本质上都是换了装扮的 z 分数。
z 分数之所以重要，是因为它把所有正态分布放到了同一把尺子上。均值 70、标准差 6 的考试中考了 85 分，z = 2.5；均值 175、标准差 6 的人群中身高 190 cm，z 也是 2.5。两者处在同一个百分位，大约第 99.4 百分位，用一张表就能查两者。这个页面替你查这张表：画出正态曲线，把你的数值左侧的面积涂色，并给出高于它的比例，以及距离均值在这个范围之内的比例。
这里的计算保持精确。z 为 15 除以 6，就是 5/2，页面会显示 5/2 并在旁边写上 2.5，而不是只给一个小数；数字不那么整齐时，小数就不得不四舍五入了。百分位是曲线下的面积，必然是小数，页面也会这样标注。
关于 z 分数你需要知道的
- 正负号告诉你在哪一侧。负数在均值以下，正数在均值以上；z 为 0 就是均值本身。
- 几乎所有数据都在三个标准差以内。正态总体中约 68% 在一个标准差以内，95% 在两个以内，99.7% 在三个以内。z 为 4 的情况确实罕见。
- 百分位就是左侧的面积。z 为 1.28 大约在第 90 百分位，1.645 在第 95 百分位，2.33 在第 99 百分位。
- 同一个公式可以反过来用。给定 z 对应的数值等于均值加上 z 乘以标准差，分数线就是这样定的：考试前 5% 从均值加 1.645 个 sigma 开始。
- z 分数假设分布大致是正态的。分数本身总能算出来；但只有在钟形曲线成立时，百分位才有意义。
如何手算 z 分数
用你的数值减去均值
保留正负号。低于均值的数值会得到负的差，这个符号会一直带到最后的答案。
除以标准差
有总体标准差就用总体标准差，只有样本标准差就用样本的。如果除不尽，就保留精确结果。
从正态曲线读出百分位
z 左侧的面积，就是总体中低于你的数值的比例。查表可以得到它，这个页面会直接算出来。
反过来求，就先乘再加
数值等于均值加上 z 乘以标准差。百分位分数线就是这样换算回分数的。
常用 z 分数及其百分位
标准正态曲线上 z 左侧的面积。
| z | 百分位 | 高于它的比例 | 用途 |
|---|---|---|---|
| −2 | 2.3% | 97.7% | 低于均值两个标准差 |
| −1 | 15.9% | 84.1% | 低于均值一个标准差 |
| 0 | 50% | 50% | 均值 |
| 1 | 84.1% | 15.9% | 高于均值一个标准差 |
| 1.28 | 90% | 10% | 前 10% 的分数线 |
| 1.645 | 95% | 5% | 单尾 5% 检验 |
| 1.96 | 97.5% | 2.5% | 双尾 5% 检验 |
| 2.33 | 99% | 1% | 前 1% 的分数线 |
例题详解
读数 48，均值 50，标准差 2.5
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x = 48, μ = 50, σ = 2.548 减 50 等于负 2，负 2 除以 2.5 等于负 4/5，所以 z = −0.8。约 21% 的读数比它低。z 为负并不代表不好，只是低于中间值而已。
均值 1000、标准差 150 时，前 5% 的分数线是多少？
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z = 1.645, μ = 1000, σ = 150这是反向问题。前 5% 从 z = 1.645 开始，1000 加上 1.645 乘以 150，约等于 1247。把页面切换到“求某个 z 分数对应的数值”，就能看到代入过程。
z 分数的常见错误
- 除以方差而不是标准差。方差是标准差的平方，这样算出的答案会差一个 sigma 的倍数。
- 丢掉正负号。z 为 −1.5 和 z 为 1.5 分别在第 7 和第 93 百分位，根本不是同一个位置。
- 看错了表的哪一侧。有的表给的是左侧面积，有的是均值到 z 之间的面积，有的是右尾面积。先弄清楚你手上的是哪一种。
- 查表前先把 z 四舍五入。把 1.96 四舍五入成 2.0，百分位就从 97.5 变成 97.7；放在分数线上，这关系到实实在在的人。
- 对完全不像正态分布的数据使用 z 分数。数字照样能算出来，但百分位就成了虚构。
z 分数常见问题
z 分数的公式是什么？
z 等于 x 减去均值，再整体除以标准差。用符号表示就是 z = (x − μ) / σ。结果是数值 x 距离均值有多少个标准差，高于均值为正，低于均值为负。
怎么把 z 分数换算成百分位？
百分位就是标准正态曲线下 z 左侧的面积。z 为 0 是第 50 百分位，z 为 1 约为第 84 百分位，z 为 2 约为第 97.7 百分位。在上方输入数值，页面会在曲线上把这块面积涂色并显示出来。
z 分数多少算好？
这完全取决于测量的是什么。考试成绩的 z 是较大的正数就是好。血压读数或送达时间，z 接近零才好，无论往哪个方向偏离很大都是警告。z 分数说明的是一个数值有多不寻常，而不是不寻常是否值得高兴。
z 分数可以是负数吗？
可以。z 分数为负表示数值低于均值。z 为 −1 表示低于均值一个标准差，正态总体中约有 16% 比它更低。
怎么从 z 分数求出原始值？
把公式变形：x = μ + zσ。用 z 分数乘以标准差，再加上均值。把页面切换到反向模式，就能看到逐步的代入过程。
z 分数和 t 分数有什么区别？
z 分数使用已知的总体标准差和正态曲线。t 统计量使用样本标准差和 t 分布曲线，t 分布的尾部更厚，考虑了用同一份数据估计 sigma 带来的额外不确定性。样本很大时两者一致；样本很小时，t 才是诚实的选择。
为什么这个页面把 z 分数保留成分数？
因为分数是精确的，而 z 一旦四舍五入，百分位也就跟着四舍五入了。z 为 5/2 时怎么写都是 2.5，但 z 为 7/3 时并不等于 2.33；页面宁愿显示 7/3 并在旁边写上 2.3333，也不会假装那个小数就是答案。
