单位圆

这张图给出了全部 16 个特殊角的正弦和余弦，同时标出角度和弧度。你可以切换为同时显示 tan，或者切换成空白单位圆，打印出来自己填写。

单位圆图表

单位圆上的值

图上的每个值都在这张表里。tan 是 sin 除以 cos，所以在 cos 为 0 的地方它没有值。

为什么点是 (cos, sin)

把点沿着圆拖动，观察两条虚线直角边。

圆的半径是 1，诀窍全在这里。从圆心按某个角度向圆画一条线，再从交点向 x 轴作一条垂线。这样就得到一个直角三角形，它的斜边就是半径，所以斜边等于 1。

在这个三角形里，余弦等于邻边除以斜边。邻边是水平的那条直角边，斜边是 1，所以余弦就是水平直角边的长度。同样的道理，正弦就是竖直直角边的长度。所以这个点是 (cos(x), sin(x))：先水平距离，再竖直距离，x 在 y 前面。

真正需要记住的三个数

单位圆用到的所有值都在第一象限里：

只有三个不同的值：1/2、√2/2 和 √3/2。注意 30° 和 60° 是同一组数调换了位置。这两个角加起来是 90°，所以它们的三角形其实是同一个三角形，只是从另一端去看。

各象限的符号

第一象限以外的每个角，用的都是这三个数之一，再加上正负号。要找到它，先求参考角，也就是那条线与 x 轴之间的夹角：150° 比 180° 少 30°，所以它的参考角是 30°，它的值就是 30° 的值换上新的符号。

符号取决于点所在的位置。cos 是水平距离，所以在圆的左半边为负。sin 是竖直距离，所以在下半边为负。图上为每个象限标出了 (cos, sin) 的符号：

所以 150° 是 (−√3/2, 1/2)，而参考角同样是 30° 的 210° 是 (−√3/2, −1/2)。

用弧度表示的单位圆

转一整圈是 360°，也是 2π 弧度，因为半径为 1 的圆周长是 2π：1 弧度就是长度等于一个半径的弧。半圈是 180°，也就是 π。

由此，特殊角都是半圈的几分之几。30° 是 180° 的六分之一，所以是 π/6；45° 是四分之一，π/4；60° 是三分之一，π/3。分母告诉你半圈里能放下几个这样的角，分子则数出有几个：150° 是半圈的六分之五，也就是 5π/6。

单位圆上的正切

tan 是比值 sin(x)/cos(x)，也就是从圆心到该点的那条线的斜率。在 45° 时 sin 和 cos 相等，所以 tan 正好是 1。30° 时它是 √3/3，60° 时是 √3。

在 90° 时，点在正上方的 (0, 1)，所以 cos 为 0，tan 没有定义：没有哪个数等于 1 除以 0，而竖直线也没有斜率。270° 时也一样。其他地方的 tan 都遵循符号规则：sin 和 cos 同号时为正（第 I 和第 III 象限），异号时为负。图表的 tan 版本列出了所有值。

单位圆测验与练习

把上面可拖动的单位圆切换到考考我：它会隐藏数值，你先说出答案，再核对。或者凭记忆回答这道题：

cos(60°)

想在纸上练习，就打印空白图表，把 16 个点全部填上。当你不看任何资料、两分钟内就能填完时，你就真正掌握了单位圆。