半径 3、高 5 的圆柱
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r = 3, h = 5V = πr²h = π · 3² · 5 = π · 9 · 5 = 45π，约等于 141.37。先把半径平方，再乘以高；顺序反过来会得到 225π，是正确值的五倍。
体积计算器
六种立体图形，每种都先写出公式再计算。
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每个体积公式都是底面积乘以高
棱柱，也就是长方体、圆柱这类从下到上横截面都相同的立体，体积等于底面积乘以高。这一个想法就涵盖了这里六种立体中的两种：长方体是长 × 宽 × 高，因为它的底面积是长 × 宽；圆柱是 πr²h，因为它的底面是面积为 πr² 的圆。掌握这个规律，比分别背公式更有用。
那些越往上越尖的立体，也就是圆锥和棱锥，体积恰好是能装下它们的棱柱的三分之一。底面相同、高相同，体积只有三分之一。这个 1/3 不是随便来的，却是这个主题里最常被忘掉的东西；和圆柱一样大的圆锥只能装三分之一的量，亲手把一个倒进另一个之后，就更容易记住了。
球是个例外，体积是 4/3πr³。它同样值得保留精确值，理由和这里的其他立体一样：π 是无理数，所以 36π 才是答案，113.1 只是它的近似值。这个页面保留 π 这个符号，在旁边给出小数，并且在表面积和斜高也能精确表示时，一并给出。
需要注意的地方
- 凡是棱柱形状的立体，体积都等于底面积 × 高。认识到这一点，四个公式就变成了一个想法加上对应的面积公式。
- 圆锥或棱锥的体积，是同底同高棱柱的三分之一。忘掉 1/3 是经典错误，会让答案恰好变成正确值的三倍。
- 开始计算前，所有尺寸必须统一单位，得到的体积就是这个单位的立方。厘米和米混用，会差上一百万倍。
- 一个维度加倍，体积加倍；三个维度都加倍，体积变成八倍。这就是体积比长度增长得快得多的原因。
- π 应该留在答案里，而不是在计算过程中展开。45π 是精确的，最后再乘出 141.37 不费事，也便于检查。
- 圆锥的斜高不是它的高。斜高是以半径和高为直角边的斜边，所以结果是一个平方根；侧面积公式需要的是它，体积公式不需要。
如何求体积
判断是哪种立体，写出公式
先写公式，再碰数字。正方体 s³，长方体 lwh，圆柱 πr²h，球 4/3πr³，圆锥 1/3πr²h，正四棱锥 1/3s²h。
检查单位是否一致
先把所有尺寸换算成同一个单位。这一步最容易悄悄毁掉答案，因为后面的计算看起来完全没问题。
代入尺寸
先把带有你的数字的公式完整写出来，再开始计算。在按步骤给分的题目里，这一行代入式通常本身就值一分。
先算乘方，再做乘法
半径 3、高 5 的圆柱：先把 3 平方得 9，再算 9 · 5 = 45，得到 45π。先乘后平方，会得到另一个错误的数。
用立方单位写出答案
半径以厘米为单位，体积就以立方厘米为单位。除非题目要求小数，否则保留 π。
六个公式，附计算示例
每个公式以及它在一个小例子中的结果。注意两种尖顶立体上的 1/3。
| 立体 | 公式 | 示例 | 精确体积 | 小数 |
|---|---|---|---|---|
| 正方体 | s³ | s = 4 | 64 | 64 |
| 长方体 | l · w · h | 2, 3, 4 | 24 | 24 |
| 圆柱 | πr²h | r = 3, h = 5 | 45π | 141.3717 |
| 球 | 4/3 πr³ | r = 3 | 36π | 113.0973 |
| 圆锥 | 1/3 πr²h | r = 3, h = 4 | 12π | 37.6991 |
| 正四棱锥 | 1/3 s²h | s = 6, h = 4 | 48 | 48 |
| 球 | 4/3 πr³ | r = 2 | 32π/3 | 33.5103 |
| 圆柱 | πr²h | r = 1/2, h = 4 | π | 3.1416 |
例题详解
半径 3 的球
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r = 3V = 4/3 πr³ = 4/3 · π · 27 = 36π，约等于 113.1。27 和 4/3 在这里正好约掉，所以每本教科书都爱用半径 3 当例子。它的表面积 4πr² 也是 36π，这是 r = 3 独有的巧合。
半径 3、高 4 的圆锥
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r = 3, h = 4V = 1/3 πr²h = 1/3 · π · 9 · 4 = 12π，约等于 37.7。和同底同高、体积为 36π 的圆柱比一比：圆锥恰好是它的三分之一。它的斜高是 √(3² + 4²) = 5，体积用不到它，但侧面积要用。
棱长 4 的正方体
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s = 4V = s³ = 4³ = 64，完全没有 π。它的表面积是 6s² = 96，因为正方体有六个完全相同的正方形面。两个答案都是整数，很适合用来检验你的方法。
答案保留分数的情况：半径 2 的球
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r = 2V = 4/3 · π · 8 = 32π/3，约等于 33.51。3 不能整除 32，所以精确答案要保留分数；写成 33.5 就丢掉了它，如果后面的题目还要接着用这个值，误差会一路传下去。
常见错误
- 圆锥或棱锥忘了乘 1/3。答案会恰好是正确值的三倍；只要知道要检查这一点，这是最容易发现的错误。
- 单位混用。先换算：半径用厘米、高用米，算出来的数字毫无意义。
- 先乘后平方。在 πr²h 中，平方的是半径，而不是乘积；π · (3 · 5)² 是完全不同的量。
- 把直径当成半径。这会让 r 翻倍，圆柱的体积变成四倍，球的体积变成八倍。
- 把体积和表面积搞混。一个是内部的空间，用立方单位；另一个是外表皮，用平方单位。
- 计算圆锥体积时用了斜高。体积需要的是垂直高度；斜高是用来算侧面积的。
体积常见问题
圆柱的体积公式是什么？
V = πr²h，也就是圆形底面的面积乘以高。半径 3、高 5 时，就是 π · 9 · 5 = 45π，约等于 141.37。先把半径平方，再乘以高。
球的体积怎么算？
V = 4/3 πr³。半径 3 的球，体积是 4/3 · π · 27 = 36π，约等于 113.1。它是这里唯一不能理解为底面积乘以高的公式，所以只能记住。
为什么圆锥和棱锥的公式里有 1/3？
因为圆锥或棱锥的体积，恰好是同底同高棱柱的三分之一。把装满的圆锥倒进同样大小的圆柱，正好装满三分之一。这个系数是尖顶形状本身的性质，不是凑出来的。
体积用什么单位？
你的尺寸用什么单位，体积就用那个单位的立方。厘米得到立方厘米，米得到立方米。所有尺寸必须在计算之前换算成同一个单位，否则答案没有意义。
长方体的体积怎么算？
把三个维度相乘：V = l · w · h。它和所有棱柱一样是底面积乘以高，因为长方体的底面积就是 l · w。2 × 3 × 4 的长方体，体积是 24 个立方单位。
体积和表面积有什么区别？
体积是内部的空间，用立方单位度量；表面积是外部的总面积，用平方单位度量。只要表面积能精确表示，这个页面就会同时给出两者，包括正方体、长方体、圆柱和球。
圆锥的斜高是什么？
从顶点沿侧面到底面边缘的距离：根据勾股定理，由半径和高求得 √(r² + h²)。它比高要长，侧面积公式需要它，但它和体积无关。
为什么保留 π，而不是乘出来？
因为 45π 是精确的，而 141.37 是近似值。考题经常要求用 π 表示答案，正是因为这样不用计算器就能检查；在多步计算中过早取近似，会丢掉后面步骤需要的精度。
