经典例子：直角边 3 和 4
plain
a = 3, b = 43² + 4² = 9 + 16 = 25，√25 = 5，正好是整数。这就是 3-4-5 三角形，三条边都是整数的最小直角三角形，值得一眼认出，它的倍数 6-8-10 和 9-12-15 也一样。
勾股定理计算器
在画出的三角形上输入两条边，精确求出第三条，包括根式。
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两条直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积
在直角三角形中，而且只有在直角三角形中，a² + b² = c²，其中 c 是斜边：直角对面的那条边，也永远是三条边中最长的。这个定理说的是“面积”：在两条较短的边上各画一个正方形，它们的面积之和正好等于最长边上那个正方形的面积。这就是为什么所有边都要平方，最后还要开平方根。
运算往哪个方向走，取决于缺的是哪条边，大多数错误也出在这里。求斜边时，把两个平方“相加”。求直角边时，要“相减”：a² = c² − b²，因为斜边的平方是总和，已知直角边的平方只是其中一部分。该减的时候加了，得到的答案会比斜边还长，这是不可能的，正好可以用来检查。
这里的答案是精确的。直角边为 2 和 3 的三角形，斜边是 √13，页面报告的就是 √13，旁边附上 3.6056，并标明那是四舍五入的值。√20 会被化简为 2√5，而不是原样保留；三条边都是整数的三角形会被标记为勾股数。
需要注意的地方
- 这个定理只对直角三角形成立。在其他三角形中，a² + b² 和 c² 就是两个不同的数，这时要用更一般的余弦定理。
- c 永远是最长的边。如果你算出的斜边比某条直角边还短，说明某处把加法做成了减法。
- 求直角边是减法。a² = c² − b² 可以直接从定理推出，而这种情况比求斜边更容易出错。
- 大多数答案是无理数。三条边都是整数的三角形，比如 3-4-5、5-12-13，属于例外，所以根式形式很重要。
- 直角三角形的面积是 ab/2，两条直角边相乘再除以二。斜边不参与：两条直角边本来就垂直，一条是底，另一条就是高。
- 勾股数的任意倍数仍是勾股数。3-4-5 乘以 3 得到 9-12-15，所以练习题里总是反复出现那几个三角形。
如何求缺失的边
找出斜边
斜边是直角对面的边，也是三条边中最长的。这一步错了，后面每一步都会错，所以在计算之前先把它标出来。
确定是加还是减
缺斜边：把两条直角边的平方相加。缺直角边：用斜边的平方减去已知直角边的平方。
把已知边平方
先平方，再加或减。先加再平方，也就是 (a + b)²，是另一个大得多的数。
开平方根
这一步抵消平方，得到边长本身。如果开不尽，就化简根式，不要急着换成小数：√20 是 2√5。
检查大小是否合理
斜边必须比任意一条直角边长，又比两条直角边之和短。如果你的答案违反了其中任何一条，说明加法和减法弄反了。
直角三角形一览
值得记住的勾股数，以及答案不是整数时的情况。精确值一栏才是答案，小数是它的近似值。
| a | b | c | 精确值 | 小数 |
|---|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 5 | 5 |
| 6 | 8 | 10 | 10 | 10 |
| 5 | 12 | 13 | 13 | 13 |
| 8 | 15 | 17 | 17 | 17 |
| 7 | 24 | 25 | 25 | 25 |
| 1 | 1 | √2 | √2 | 1.4142 |
| 2 | 3 | √13 | √13 | 3.6056 |
| 2 | 4 | 2√5 | 2√5 | 4.4721 |
例题详解
斜边是无理数：直角边 2 和 3
plain
a = 2, b = 34 + 9 = 13，所以斜边是 √13。这就是答案：3.6056 只是它的近似值，3.6056 的平方是 12.9999…，而不是 13。大多数直角三角形都是这样，整数的情况才是例外。
化简根式：直角边 2 和 4
plain
a = 2, b = 44 + 16 = 20，√20 不会原样保留：20 = 4 · 5，4 从根号里开出来变成 2，得到 2√5。数值不变，而且这是所有评分标准都要求的形式。
求直角边：斜边 5，另一条直角边 4
plain
b = 4, c = 5先变形：a² = c² − b² = 25 − 16 = 9，所以 a = 3。如果做成加法，会得到 √41 ≈ 6.4，比斜边还长，这是不可能的，这个检查能立刻发现错误。
分数边长：直角边 3/2 和 2
plain
a = 3/2, b = 29/4 + 4 = 25/4，25/4 的平方根正好是 5/2。分数从头到尾都保持为分数，所以答案是 5/2 而不是 2.5，虽然在这里两者是同一个数。
常见错误
- 缺的是直角边时却做了加法。斜边的平方是“总和”，所以求直角边要从它里面减。
- 把和的平方当成平方和。a² + b² 不等于 (a + b)²；后者多出 2ab，对真实的三角形来说它永远不为零。
- 把错误的边当成斜边。斜边是直角对面的边，而不是最后画的那条或画在右边的那条。
- 忘了开平方根。3² + 4² = 25 是答案的平方，不是答案本身：斜边是 5，不是 25。
- 把定理用在没有直角的三角形上。它只对直角三角形成立，其他三角形要用余弦定理。
- 过早把根式四舍五入。√13 的平方正好是 13，但 3.61 的平方是 13.0321，在多步计算中这个误差会越来越大。
勾股定理常见问题
勾股定理是什么？
在直角三角形中，a² + b² = c²，其中 a 和 b 是两条较短的边（直角边），c 是直角对面的斜边。从面积的角度看：两条直角边上的正方形面积之和，正好等于斜边上的正方形面积。
怎么求斜边？
把两条直角边分别平方，相加，再开平方根：c = √(a² + b²)。直角边为 3 和 4 时就是 √25 = 5。如果开不尽，就保留为化简后的根式：√20 变成 2√5。
那怎么求直角边？
要减，不要加：a² = c² − b²，所以 a = √(c² − b²)。斜边为 5、一条直角边为 4 时，就是 √(25 − 16) = 3。这是最容易出错的情况，检查方法是：直角边一定比斜边短。
什么是勾股数？
满足勾股定理的三个整数：3-4-5、5-12-13、8-15-17、7-24-25。勾股数的任意倍数也是勾股数，所以有了 3-4-5，6-8-10 和 9-12-15 也就有了。大多数直角三角形“不是”勾股数，所以无理数答案才是常态。
勾股定理对任何三角形都成立吗？
不，只对直角三角形成立。对于其他三角形，一般形式是余弦定理 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，当 C 为 90°、余弦为零时，它正好变成勾股定理。
为什么这个页面保留平方根，而不是给小数？
因为根式是精确答案，小数只是它的近似值。√13 的平方不多不少正好是 13；3.61 的平方是 13.0321。在多步计算中这个差别会累积，而且大多数评分标准本来就要求精确形式。
怎么判断一个三角形是不是直角三角形？
用已知的三条边检验勾股定理：如果 a² + b² 正好等于 c²（c 是最长边），这个三角形就有一个直角。如果左边更大，这个角是锐角；如果更小，则是钝角。这就是勾股定理的逆定理，非常实用。
计算器能处理分数和小数吗？
可以，而且两者都保持精确。直角边为 3/2 和 2 时，斜边正好是 5/2；输入的小数会被读成它所表示的精确分数，而不是浮点近似值。
