الجيب وجيب التمام والظل
- sin θ = a / c
- cos θ = b / c
- tan θ = a / b
a الضلع المقابلb الضلع المجاورc الوتر
قوانين حساب المثلثات
كل قوانين حساب المثلثات في ورقة واحدة: النسب الثلاث، والمتطابقات الناتجة عنها، وقوانين الزوايا، وقانونا الجيب وجيب التمام، والراديان والتمثيل البياني.
آخر تحديث
كل قوانين حساب المثلثات في صفحة واحدة: النسب الثلاث، والمتطابقات، وقوانين الزوايا، والقوانين التي تصلح لأي مثلث، والراديان والتمثيل البياني. كل رمز مسمّى تحت قانونه. انتقل إلى وضع الاختبار لتخفي القوانين وتختبر نفسك، أو اطبع الورقة كاملة.
النسب المثلثية
متطابقات المقلوب
- csc θ = 1 / sin θ
- sec θ = 1 / cos θ
- cot θ = 1 / tan θ
متطابقات القسمة
- tan θ = sin θ / cos θ
- cot θ = cos θ / sin θ
الزوايا الخاصة
الزاويةsincostan
0°010
30°π/61/2√3/2√3/3
45°π/4√2/2√2/21
60°π/3√3/21/2√3
90°π/210—
المتطابقات
متطابقات فيثاغورس
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
المتطابقات الزوجية والفردية
- sin(−θ) = −sin θ
- cos(−θ) = cos θ
- tan(−θ) = −tan θ
متطابقات الزاويتين المتتامتين
- sin(90° − θ) = cos θ
- cos(90° − θ) = sin θ
- tan(90° − θ) = cot θ
قوانين الزوايا
قوانين المجموع والفرق
- sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B
- cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B
- tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B)
قوانين ضعف الزاوية
- sin 2θ = 2 sin θ cos θ
- cos 2θ = cos²θ − sin²θ
- cos 2θ = 2cos²θ − 1 = 1 − 2sin²θ
- tan 2θ = 2 tan θ / (1 − tan²θ)
قوانين نصف الزاوية
- sin(θ/2) = ±√((1 − cos θ) / 2)
- cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ) / 2)
- tan(θ/2) = (1 − cos θ) / sin θ = sin θ / (1 + cos θ)
قوانين تخفيض القوة
- sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
- cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2
تحويل الضرب إلى جمع
- sin A sin B = ½[cos(A − B) − cos(A + B)]
- cos A cos B = ½[cos(A − B) + cos(A + B)]
- sin A cos B = ½[sin(A + B) + sin(A − B)]
تحويل الجمع إلى ضرب
- sin A + sin B = 2 sin((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- sin A − sin B = 2 cos((A + B)/2) sin((A − B)/2)
- cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) cos((A − B)/2)
- cos A − cos B = −2 sin((A + B)/2) sin((A − B)/2)
المثلثات
قانون الجيب
- a / sin A = b / sin B = c / sin C
A, B, C الزواياa, b, c الأضلاع المقابلة لها
قانون جيب التمام
- c² = a² + b² − 2ab cos C
A, B, C الزواياa, b, c الأضلاع المقابلة لها
مساحة المثلث
- المساحة
- A = ½ab sin C
C الزاوية بين الضلعين a وb
الراديان والتمثيل البياني
الراديان والأقواس والقطاعات
- 180° = π rad
- من الدرجات إلى الراديان
- θ(rad) = θ(°) · π / 180°
- طول القوس
- s = rθ
- مساحة القطاع
- A = ½r²θ
r نصف القطرθ الزاوية بالراديانs طول القوس
منحنيا الجيب وجيب التمام
- y = A sin(Bx − C) + D
- السعة
- |A|
- الدورة
- 2π / |B|
- الإزاحة الأفقية
- C / B
- خط المنتصف
- y = D
كل شيء يبدأ بثلاث نسب
في مثلث قائم، اختر إحدى الزاويتين الحادتين وسمّها θ. الضلع الذي يقابلها هو الضلع المقابل، والضلع الذي يجاورها هو الضلع المجاور، وأطول ضلع هو الوتر. عندها:
- sin θ = المقابل / الوتر
- cos θ = المجاور / الوتر
- tan θ = المقابل / المجاور
كل سطر آخر في الورقة تقريبًا هو واحدة من هذه الثلاث بعد إعادة ترتيبها.
المتطابقات حقيقة واحدة مقسومة
ضع المثلث داخل دائرة نصف قطرها 1. يكون الوتر 1، فيصبح ضلعا القائمة cos θ وsin θ تمامًا، وتعطي نظرية فيثاغورس sin²θ + cos²θ = 1.
هذا السطر الواحد يعطي المتطابقتين الأخريين. اقسم كل حد على cos²θ فتحصل على tan²θ + 1 = sec²θ، واقسم بدلًا من ذلك على sin²θ فتحصل على 1 + cot²θ = csc²θ. وتعرض صفحة دائرة الوحدة المثلث وهو يدور حول الدائرة.
قوانين الزوايا تأتي من قانونين
احفظ قانوني المجموع للجيب وجيب التمام. كل ما في قسم قوانين الزوايا ينتج عنهما:
- ضعف الزاوية: ضع B = A في قانون المجموع، فيصبح sin(A + A) مساويًا 2 sin A cos A.
- تخفيض القوة: حلّ cos 2θ = 1 − 2sin²θ لإيجاد sin²θ.
- نصف الزاوية: قانون تخفيض القوة بعد كتابة θ على أنها نصف 2θ، ثم أخذ الجذر التربيعي.
- الفرق: ضع −B مكان B واستخدم المتطابقات الزوجية والفردية.
أي مثلث، لا المثلث القائم فقط
النسب تحتاج إلى زاوية قائمة. في أي مثلث آخر، سمِّ كل زاوية بحرف كبير والضلع المقابل لها بالحرف الصغير نفسه. عندها:
- قانون الجيب يربط كل ضلع بالزاوية المقابلة له. استخدمه عندما تعرف ضلعًا والزاوية المقابلة له.
- قانون جيب التمام هو نظرية فيثاغورس مع تصحيح للزاوية: عندما C = 90° يكون cos C = 0 ويصبح القانون c² = a² + b². استخدمه عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة.
الدرجات والراديان
الدورة الكاملة 360°، أو 2π راديان، إذن 180° = π راديان. المتطابقات صحيحة بأي من الوحدتين. أما طول القوس s = rθ ومساحة القطاع A = ½r²θ فيحتاجان إلى أن تكون θ بالراديان: وهذا ما يجعلهما بهذا القِصر.
جرّب واحدة
إلى أين بعد ذلك
لتعرف من أين تأتي هذه القيم، اقرأ SOHCAHTOA ودائرة الوحدة. وفي ورقة قوانين الهندسة قوانين المساحة والحجم والإحداثيات.
أسئلة متكررة
هل توجد ورقة متطابقات مثلثية للطباعة؟
نعم. كل ما في هذه الصفحة متاح أيضًا مجانًا كملف PDF بحجم A4 وكصورة PNG. أزرار التنزيل فوق الورقة ومرة أخرى تحتها.
ما متطابقات فيثاغورس الثلاث؟
sin²θ + cos²θ = 1 و1 + tan²θ = sec²θ و1 + cot²θ = csc²θ. الأولى وحدها تستحق الحفظ: اقسمها على cos²θ لتحصل على الثانية، وعلى sin²θ لتحصل على الثالثة.
متى أستخدم قانون الجيب ومتى أستخدم قانون جيب التمام؟
استخدم قانون الجيب عندما تعرف زاوية والضلع المقابل لها، ومعهما ضلع آخر أو زاوية أخرى. واستخدم قانون جيب التمام عندما تعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة. وفي المثلث القائم لا تحتاج إلى أيّ منهما: تكفي النسب sin وcos وtan.
ما قوانين حساب المثلثات التي يجب أن أحفظها؟
النسب الثلاث، وsin²θ + cos²θ = 1، وقانوني المجموع لـ sin وcos. قوانين ضعف الزاوية هي قوانين المجموع عندما B = A، وقوانين نصف الزاوية وتخفيض القوة تأتي من قوانين ضعف الزاوية، ومتطابقات المقلوب والقسمة تعريفات.
هل تصلح القوانين بالدرجات وبالراديان؟
نعم، كل متطابقة صحيحة بأي من الوحدتين. القوانين التي تجمع بين زاوية وطول هي وحدها التي تحتاج إلى الراديان: طول القوس s = rθ ومساحة القطاع A = ½r²θ لا يصحّان إلا عندما تكون θ بالراديان.
