المربع
- المساحة
- A = s²
- المحيط
- P = 4s
s الضلع
قوانين الهندسة
كل قانون تحتاجه في مادة الهندسة في ورقة واحدة: المساحة والمحيط، والدائرة، والمثلثات، والحجم والمساحة الكلية، والهندسة الإحداثية، ولكل قانون رسم وكل رمز فيه مسمّى.
آخر تحديث
كل قانون تحتاجه في مادة الهندسة في صفحة واحدة. لكل شكل رسمه، فترى أي طول هو القاعدة وأيّها الارتفاع، وكل رمز مسمّى تحت القانون. انتقل إلى وضع الاختبار لتخفي القوانين وتختبر نفسك، أو اطبع الورقة كاملة.
المساحة والمحيط
المستطيل
- المساحة
- A = lw
- المحيط
- P = 2l + 2w
l الطولw العرض
المثلث
- المساحة
- A = ½bh
- المحيط
- P = a + b + c
b القاعدةh الارتفاعa, b, c الأضلاع
متوازي الأضلاع
- المساحة
- A = bh
- المحيط
- P = 2a + 2b
b القاعدةh الارتفاعa الضلع
شبه المنحرف
- المساحة
- A = ½(a + b)h
a, b الضلعان المتوازيانh الارتفاع
المعيّن
- المساحة
- A = ½d₁d₂
- المحيط
- P = 4s
d₁, d₂ القطرانs الضلع
المضلع المنتظم
- المساحة
- A = ½aP
- مجموع الزوايا الداخلية
- S = (n − 2) · 180°
- قياس كل زاوية داخلية
- (n − 2) · 180° / n
a العامد من المركزP المحيطn عدد الأضلاع
الدائرة
الدائرة
- محيط الدائرة
- C = 2πr = πd
- المساحة
- A = πr²
- d = 2r
r نصف القطرd القطر
القوس والقطاع الدائري
- طول القوس
- L = (θ / 360°) · 2πr
- مساحة القطاع
- A = (θ / 360°) · πr²
θ الزاوية المركزيةr نصف القطر
معادلة الدائرة
- (x − h)² + (y − k)² = r²
(h, k) المركزr نصف القطر
المثلثات
نظرية فيثاغورس
- a² + b² = c²
a, b ضلعا القائمةc الوتر
الزوايا
- زوايا المثلث
- α + β + γ = 180°
- الزاويتان المتتامتان
- α + β = 90°
- الزاويتان المتكاملتان
- α + β = 180°
المثلثات القائمة الخاصة
- أضلاع 30-60-90
- x : x√3 : 2x
- أضلاع 45-45-90
- x : x : x√2
المثلث متساوي الأضلاع
- المساحة
- A = (√3 / 4)s²
- الارتفاع
- h = (√3 / 2)s
s الضلع
قانون هيرون
- المساحة
- A = √(s(s − a)(s − b)(s − c))
- s = (a + b + c) / 2
a, b, c الأضلاعs نصف المحيط
الحجم والمساحة الكلية
المكعب
- الحجم
- V = s³
- المساحة الكلية
- SA = 6s²
s الضلع
متوازي المستطيلات
- الحجم
- V = lwh
- المساحة الكلية
- SA = 2(lw + lh + wh)
l الطولw العرضh الارتفاع
المنشور
- الحجم
- V = Bh
- المساحة الكلية
- SA = 2B + Ph
B مساحة القاعدةP محيط القاعدةh الارتفاع
الأسطوانة
- الحجم
- V = πr²h
- المساحة الكلية
- SA = 2πr² + 2πrh
r نصف القطرh الارتفاع
المخروط
- الحجم
- V = ⅓πr²h
- المساحة الكلية
- SA = πr² + πrℓ
- ℓ = √(r² + h²)
r نصف القطرh الارتفاعℓ الارتفاع الجانبي
الهرم
- الحجم
- V = ⅓Bh
- المساحة الكلية
- SA = B + ½Pℓ
B مساحة القاعدةP محيط القاعدةh الارتفاعℓ الارتفاع الجانبي
الكرة
- الحجم
- V = ⁴⁄₃πr³
- المساحة الكلية
- SA = 4πr²
r نصف القطر
الهندسة الإحداثية
قانون المسافة بين نقطتين
- d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) النقطتان
قانون نقطة المنتصف
- M = ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2)
(x₁, y₁), (x₂, y₂) النقطتان
الميل
- m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
- المستقيمان المتوازيان
- m₁ = m₂
- المستقيمان المتعامدان
- m₁ · m₂ = −1
m الميل
معادلة المستقيم
- صيغة الميل والمقطع
- y = mx + b
- صيغة النقطة والميل
- y − y₁ = m(x − x₁)
m الميلb المقطع الصادي
كيف تقرأ الورقة
ابحث عن الشكل، ثم طابق كل حرف في القانون مع الرسم. الحروف هي المعتادة في الكتب المدرسية: b للقاعدة، وh للارتفاع، وr لنصف القطر. يُقاس الارتفاع دائمًا عموديًا على القاعدة، ولهذا ترسمه الأشكال خطًا متقطعًا مع مربع صغير: في شكل مائل مثل متوازي الأضلاع، الارتفاع ليس الضلع المائل.
الحرف الكبير B يعني مساحة القاعدة، لا طولًا. في V = Bh تجد أولًا مساحة الوجه الطرفي (مثلث أو دائرة أو أي شكل)، ثم تضربها في الارتفاع.
المساحة والمحيط والحجم تجيب عن أسئلة مختلفة
خذ مستطيلًا أبعاده 3 cm و4 cm. محيطه هو المسافة حوله: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 cm. ومساحته هي عدد المربعات التي طول ضلعها 1 cm وتتسع داخله: 3 · 4 = 12 cm². اجعله صندوقًا ارتفاعه 5 cm، فيكون الحجم عدد المكعبات التي طول حرفها 1 cm وتتسع داخله: 3 · 4 · 5 = 60 cm³.
الوحدات تخبرك بالقانون الذي تحتاجه. طول في طول مساحة، وطول في طول في طول حجم. وإذا خرج جواب سؤال عن الحجم بوحدات مربعة، فهناك عامل ناقص.
القوانين أقل مما تبدو
معظم الورقة أفكار قليلة تتكرر على أشكال مختلفة.
- المثلث نصف متوازي أضلاع. نسختان من أي مثلث تتركبان معًا في متوازي أضلاع له القاعدة نفسها والارتفاع نفسه، ولذلك تكون المساحة ½bh.
- شبه المنحرف مستطيل عرضه هو المتوسط. مساحته ½(a + b)h هي متوسط الضلعين المتوازيين مضروبًا في الارتفاع.
- كل مجسم مقطعه ثابت من أسفله إلى أعلاه حجمه القاعدة في الارتفاع. المكعب والصندوق والمنشور والأسطوانة كلها تستخدم V = Bh، ولا يتغير إلا مساحة القاعدة.
- كل مجسم ينتهي برأس حجمه الثلث. يتسع المخروط والهرم لثلث الأسطوانة أو المنشور الذي يحيط بهما، ولذلك V = ⅓Bh.
- الدائرة كلها تدور حول π. محيطها 2πr ومساحتها πr²، والقوس أو القطاع جزء منهما بنسبة زاويته إلى 360°.
مثال محلول
علبة ارتفاعها 10 cm ونصف قطرها 3 cm. كم تتسع؟
العلبة أسطوانة، إذن V = πr²h. القاعدة دائرة مساحتها π · 3² = 9π، والارتفاع 10، فيكون الحجم 90π، أي نحو 283 cm³. وهذا يساوي 283 ml: أقل قليلًا من علبة المشروب الغازي العادية التي تتسع لـ 330 ml.
جرّب واحدة
إلى أين بعد ذلك
القوانين تخبرك بما يجب أن تحسبه، أما حاسبة نظرية فيثاغورس وحاسبة الحجم فتقومان بالحساب وتعرضان كل خطوة. وللزوايا والنسب داخل المثلثات، الصفحة التالية هي ورقة قوانين حساب المثلثات.
أسئلة متكررة
هل توجد ورقة قوانين هندسة للطباعة؟
نعم. الورقة الموجودة في هذه الصفحة متاحة أيضًا مجانًا كملف PDF بحجم A4 وكصورة PNG، بالرسوم والقوانين نفسها. أزرار التنزيل فوق الورقة ومرة أخرى تحتها.
ما الفرق بين المساحة والمساحة الكلية؟
المساحة تقيس شكلًا مستويًا: كم ورقة يغطي المستطيل. والمساحة الكلية تقيس السطح الخارجي لمجسم: كم ورقة تحتاج لتغليف صندوق. المساحة الكلية للصندوق هي مجموع مساحات أوجهه الستة، ومن هنا يأتي القانون SA = 2(lw + lh + wh).
لماذا حجم المخروط ثلث حجم الأسطوانة؟
يدخل المخروط داخل أسطوانة لها القاعدة نفسها والارتفاع نفسه، ويتسع لثلثها تمامًا: املأ المخروط بالماء ثلاث مرات وصبّه فيها فتمتلئ الأسطوانة. ويظهر الثلث نفسه في الهرم داخل المنشور، ولذلك يصلح القانون V = (1/3)Bh للاثنين.
ما قوانين الهندسة التي يجب أن أحفظها؟
أقل مما توحي به الورقة. احفظ المستطيل، والمثلث (نصف مستطيل)، والدائرة، والقانون V = Bh لكل مجسم أضلاعه مستقيمة ومقطعه ثابت من أسفله إلى أعلاه، والثلث لكل مجسم ينتهي برأس. ومعظم الباقي هو هذه القوانين نفسها بعد وضع قاعدة معيّنة فيها.
ما وحدات المساحة والحجم؟
الأطوال والمحيطات بوحدات طول عادية (cm)، والمساحات بوحدات مربعة (cm²)، والحجوم بوحدات مكعبة (cm³). التحقق من الوحدات أسرع طريقة لكشف قانون خاطئ: إذا خرج الحجم بوحدة cm² فقد سقط منك طول.
تريد تجربتها على أرقامك؟
حاسبة الحجم افتح الحاسبة